误差理论与数据处理习题答案 章

1
= [ ± 0.00005 − 2 × (±0.0005) ]×100% ≈ ±0.054%
1.04230
2.0480
如果（h1+h2）测出为（1.04220±0.0005）m，为使g的误差能小于 0.001m/s2，即： ∆g < 0.001
就是
∆g = 4π 2 T2
[∆(h1
+
h2
)
−
2∆T T
2a
2a
3
2-2. 测量某物体重量共 8 次，测得数据（单位为 g）为 236.45，236.37，236.51，236.34，236.39， 236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。
【解】①选参考值 x0 = 236.00 ，计算差值 ∆xi = xi − 236.00 、 ∆x0 和残差 ∆ν i 等列于表中。
1
∑ 或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得：
x
=
1 8
8 i =1
xi
=
236.43 （g）
n
∑ ②计算标准差：用贝塞尔公式计算：σ =
νi2
i =1
=
0.0251 = 0.0599 ( g )
n −1
ห้องสมุดไป่ตู้
8 −1
2-3. 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题 2-2 的标准差，并比较之。
【解】（1） 用别捷尔斯法计算
（3） 最大误差法计算
8 个测量数据的最大残差为： ν i max = ν 4 = 0.09 查教材P19 表 2-5，n=8 时，1/K’n＝0.61
σ = ν i max = 0.09 × 0.61 = 0.0549 ( g ) Kn'
2-4. 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
(h1
+
h2 )∆T
=
4π 2 T2
[∆(h1
+
h2 )
−
2∆T T
(h1
+
h2 )]
g 的最大相对误差为： ∆g = 4π 2 T 2 [(∆(h1 + h2 ) − 2∆T T (h1 + h2 )] = ∆(h1 + h2 ) − 2∆T
g
4π 2 T 2 (h1 + h2 )
h1 + h2
T
1-3. 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa，问二 等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞 压力计测量值的误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa）。
(h1
+
h2 )
得：
g = 4π 2 ×1.04230 = 9.81053 （m/s2） 2.04802
当（h1+h2）有微小变化 ∆(h1 + h2 ) 、T有ΔT变化时，g的变化量为：
∆g
=
∂g ∂(h1 +
h2 )
∆(h1
+
h2 )
+
∂g ∂T
∆T
=
4π 2 T2
∆(h1
+
h2 )
−
8π 2 T3
1-10. 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm和±9μm ；而 用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测 量方法精度的高低。 【解】测量长度L1的两种测量方法的测量误差分别为：δ1＝±11（um）；δ2＝±9（um） 两种测量方法的相对误差分别为： δ1／L1＝±11 um /110mm＝±11/110000＝±0.01% δ2／L1＝±9um/110mm＝±9/110000 ＝±0.0082% 用第三种测量方法的测量误差为：δ3＝±12（um） δ3／L2＝±12 um /150mm＝±12/150000＝±0.008%
rx
=
∆xm x
= ± xm x
× s%
式中：Δxm为仪表某标称量程内的最大绝对误差，x为被测量，xm为标称量程上限。选定仪表后， 被测量x的值越接近于标称量程上限，测量的相对误差rx越小，测量越准确。
1-8. 用两种方法分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为 50.004mm，80.006mm。试评定两种 方法测量精度的高低。
rm
=
∆U m Um
=2 100
=
2%
由于： 2% < 2.5%
所以该电压表合格。
1-7. 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的 2/3 范围内使用？ 【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级
s 选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为：
n
∑νi
σ = 1.253× i=1
= 1.253× 0.41 = 0.0687 ( g )
n(n −1)
8×7
（2） 用极差法计算
8 个测量数据的极差为：ωn= xmax − xmin = x3 − x4 =236.51－236.34=0.17，
查教材P18 表 2-4，n=8 时d n=2.85 σ = ωn = 0.17 = 0.0596 (g) d n 2.85
i =1
=
0.43
νi
+0.02 -0.06 +0.08 -0.09 -0.04 +0.05 +0.04 -0.03
8
∑νi = −0.03
i =1
ν
2 i
0.0004 0.0036 0.0064 0.0081 0.0016 0.0025 0.0016 0.0009
8
∑ν
2 i
=
0.0251
i =1
【解】两种测量方法进行的测量绝对误差分别为：
δ1＝50.004－50＝0.004（mm）； 两种测量方法的相对误差分别为：
δ2＝80.006－80＝0.006（mm）
δ1／L1＝0.004/50=0.008 %
和
δ2／L2＝0.006/80=0.0075 %
显然，测量L2尺寸的方法测量精度高些。
2
1-9. 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.1km；在射击场中，优秀射
x
=
1 5
8 i =1
xi
= 168.488 （mA）
2
n
∑ ②计算标准差：用贝塞尔公式计算：σ =
νi2
i =1
=
0.02708 = 0.0823 ( mA )
n −1
5 −1
n
∑νi
［若用别捷尔斯法计算：σ = 1.253× i=1
= 1.253× 0.332 = 0.0930 ］
n(n −1)
2-5. 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据（单位为 mm）为 20.0015，
20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99%的置信概率确
定测量结果。
【解】①求算术平均值 x ：
n
∑ x =
li
i =1
= 100.0075 = 20.0015
【解】①选参考值 x0 = 168.5 ，计算差值 ∆xi = xi −168.5 、 ∆x0 和残差ν i 等列于表中。
序号
1 2 3 4 5
xi
Δx i
168.41 168.54 168.59 168.40 168.50
x = x0 + ∆x 0 = 168.488
-0.09 0.04 0.09 -0.10
显然，第三种测量方法精度最高。而测量L1时有测量误差±11 um的测量方法精度最低。
3
第二章 误差的基本性质与处理 习题及参考答案
2-1. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－ 2σ ， 2σ ］中的概率。
【解】（1）误差服从正态分布时
∫ ∫ P(± 2σ ) = 1
δ e d = 2σ −δ 2 (2σ 2 )
平均误差：θ ≈ 4 σ = 4 × 0.0823 = 0.06584 ( mA ) 55
算术平均值的标准差σ x ：σ x
=
σ n
= 0.0823 = 0.037 5
算术平均值或然误差 R： R ≈ 2 σ = 2 × 0.037 = 0.0247 ( mA ) 3X 3
算术平均值平均误差 T：T ≈ 4 σ = 4 × 0.037 = 0.0296 ( mA ) 5X 5
手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高。
【解】两种射击的射击偏差即绝对误差分别为：
δ1＝0.1（km）；
δ2＝2（cm）＝2×10-2（m）
两种射击的相对误差分别为：
δ1／L1＝0.1/10000=0.001 % 和 δ2／L2＝2×10-2/50=0.04 % 多级弹导火箭的射击精度高。
2
e dδ 2σ −δ 2 (2σ 2 )
σ 2π − 2σ
σ 2π 0
引入新变量t： t = δ σ , δ = tσ , 经变换上式成为：
∫ P(± 2σ ) = 2 t e−t2 2 dt = 2Φ(t) = 2Φ( 2) = 2 × 0.4195 = 0.84 = 84%
2π 0
（2）误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为：σ = a ，所以区间［ − 2σ ， 2σ ］＝［ − a ， a ］，故 2
序号
1 2 3 4 5 6 7 8
xi
Δx i
236.45 236.37 236.51 236.34 236.39 236.48 236.47 236.40
x = x0 + ∆x0 = 236.43
0.45 0.37 0.51 0.34 0.39 0.48 0.47 0.40
∑ ∆ x0
=
1 8
8
∆xi
m，振动时间T为（2.0480±0.0005）s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）测出为（1.04220
±0.0005）m，为了使g的误差能小于 0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？
【解】测得（h1+h2）的平均值为
1.04230（m），T的平均值为
2.0480（s）。由
g
=
4π 2 T2
1-4. 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20μm，试求其最大相对误差。 【解】因 ∆L＝L－L0 求得真值：L0＝L－∆L＝2310－0.020＝2309.98（mm）。 故：最大相对误差＝0.020／2309.98＝8.66×10-4 %＝0.000866%
1-5. 使用凯特摆时，g由公式g=4π2（h1+h2）/T2给定。今测出长度（h1+h2）为（1.04230±0.00005）
5×4
［用极差法计算：n=5 时d n=2.33，σ = ωn = 168.59 −168.40 = 0.19 = 0.0815 (mA) ］
dn
2.33
2.33
下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据：
或然误差： ρ ≈ 2 σ = 2 × 0.0823 = 0.0549 ( mA )； 33
0
∑ ∆ x0
=
1 5
5 i =1
∆xi
=
−0.012
νi
-0.078 +0.052 +0.102 -0.088 +0.012
5
∑νi = 0
i =1
ν
2 i
0.006084 0.002704 0.010404 0.007744 0.000144
5
∑ν
2 i
=
0.02708
i =1
∑ 或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得：
第一章 习题及参考答案
1-1. 测得某三角块的三个角度之和为 180°00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差。 【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2” 相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60”）=3.086×10-4 %
1-2. 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该 被测件的真实长度为多少？ 【解】 绝对误差＝测得值－真值，即： ∆L＝L－L0 已知：L＝50，∆L＝1μm＝0.001mm， 测件的真实长度Ｌ0＝L－∆L＝50－0.001＝49.999（mm）
(h1
+
h2
)]
< 0.001
4π 2 ± 0.0005 − 2 × ∆T ×1.04220 < 0.001
2.0480 2
2.0480
± 0.0005 −1.01778∆T < 0.00106
求得：
∆T < 0.00055(s)
1-6. 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：
∫ P(± 2σ ) = 1 a 1 dδ = 1
π −a a2 − δ 2
（3） 误差服从均匀分布时
因其标准差为：σ = a
，所以区间［ − 3
2σ ，
2σ ］＝［ −
2a ，
3
2a ］，故
3
∫ P(± 2σ ) = 23a 1 dδ = 1 × 2 × 2 a = 0.82 = 82%
−
2 3
a