高考数学压轴题归类100题(66页)

导数压轴题题型归纳

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例2已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝e x (cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点 P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。

例3已知函数)(x f 满足2

1

2

1)0()1(')(x x f e

f x f x +

-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥

2

2

1)(，求b a )1(+的最大值。

例4已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标）

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围。

例5设函数2

()1x

f x e x ax =---（2010全国新课标）

(1)若0a =，求()f x 的单调区间； (2)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

例6已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . （2009宁夏、海南）

(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

例7（构造函数，最值定位）设函数()()2

1x

f x x e kx =--(其中k ∈R ).

(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .

例8（分类讨论，区间划分）已知函数32

11()(0)32

f x x ax x b a =

+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数.

(1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值;

(2)若函数()'()ax

g x e f x -=⋅,求函数()g x 的单调区间.

例9（切线）设函数.

a x x f -=2

)(

（1）当时，求函数在区间上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交

于点求证：.

例10（极值比较）已知函数

其中 ⑴当时，求曲线处的切线的斜率；

⑵当时，求函数的单调区间与极值.

例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln ,().x

f x x

g x e ==

⑴若函数φ (x ) = f (x )－

，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．

例12（最值问题，两边分求）已知函数. ⑵ 时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意，存在，使

，求实数取值范围.

1=a )()(x xf x g =]1,0[0>a )(x f y =)))((,(111a x x f x P >l l x )0,(2x A a x x >>2122()(23)(),x

f x x ax a a e x =+-+∈R a ∈R 0a =()(1,(1))y f x f =在点2

3a ≠

()f x 1

1

x x 1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R 1

2

a ≤

()f x 2()2 4.g x x bx =-+1

4

a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b

例13（二阶导转换）已知函数

⑴若

，求的极大值；

⑵若

在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.

例14（综合技巧）设函数

⑴讨论函数的单调性；

⑵若有两个极值点，记过点的直线斜率为,

问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

②交点与根的分布

例15（切线交点）已知函数在点处的切线方程

为． ⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

例16（根的个数）已知函数，函数是区间[-1，1]上的减函数.

（I ）求的最大值；

（II ）若

上恒成立，求t 的取值范围；

（Ⅲ）讨论关于x 的方程的根的个数．

例17（综合应用）已知函数

x x f ln )(=)()()(R a x a

x f x F ∈+=

)(x F kx x f x G -=2

)]([)(1

()ln ().f x x a x a R x =-

-∈()f x ()f x 12,x x 11(,()),A x f x 22(,())

B x f x k a 2k a =-a ()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈()()

1,1f 20y +=()f x []2,2-12,x x ()()12f x f x c -≤c ()()2,2M m m ≠()y f x =m x x f =)(x x f x g sin )()(+=λλ]1,1[1)(2

-∈++

ex x x f x

+-=2)(ln 2.23)32ln()(2

x x x f -

+=