点、线、面的位置关系

数学高考总复习：点、线、面的位置关系

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目标认知

考试大纲要求

（一）理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

（二）以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.

理解以下判定定理：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

（三）理解以下性质定理，并能够证明.

如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.

垂直于同一个平面的两条直线平行.

如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

（四）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

重点：

掌握平面的基本性质；掌握线线、线面、面面的位置关系及其判定定理和性质定理。

难点：

线线、线面、面面的位置关系的判定定理和性质定理的应用。

知识要点梳理：

知识点一：平面

1．概念：

平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。

2．平面的画法及其表示方法：

①常用平行四边形表示平面，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍，画两个平面相

交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。

②一般用一个希腊字母、、……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面

等。

知识点二：点、线、面的基本位置关系

1．符号表示如下表所示（引用集合语言表示相互间的关系）：

图形符号语言文字语言（读法）

点在直线上

点不在直线上

点在平面内

点不在平面内

直线、交于点

直线在平面内

直线与平面无公共点

直线与平面交于点

平面、相交于直线注意：（平面外的直线）表示或

2. 空间两条直线的位置关系：

3. 直线与平面的位置关系：

（1）直线在平面内（有无数个公共点）；

（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线与平面平行（没有公共点）.

分别记作：；；.

4. 平面的位置关系：

（1）平行（没有公共点），记作；

（2）相交（有一条公共直线），记作.

知识点三：平面的基本性质

借助实物模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，从文字语言、图形语言、符号语言三个角度，了解可以作为推理依据的公理和定理. 列表如下：

公理1公理2公理3公理4等角定理

文文字语言如果一条直线上

的两点在一个平

面内，那么这条直

线在此平面内.

过不在一条直线

上的三点，有且只

有一个平面.

如果两个不重合的

平面有一个公共点，

那么它们有且只有

一条过该点的公共

直线.

平行于同一条直

线的两条直线互

相平行.

空间中如果两个角

的两边分别对应平

行，那么这两个角

相等或互补.

符符号语言图图形语言

理理解判定直线或点在

平面内的依据，检

验水平.

刻画平面特有性

质，是确定平面的

依据.

判定平面是否相交，

点是否在直线上.

平行的传递性，

判断直线平行的

依据.

由平面图形推广到

立体图形.

知识点四：平行位置关系

1.直线与平面

（1）直线和平面的位置关系

①直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:；

②直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: ；

③直线和平面平行（没有公共点）；符号表示为: ．

（2）线面平行的判定定理：

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个

平面平行．

推理模式：．

（3）线面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直

线和交线平行．

推理模式：．

2.平面与平面

（1）面面平行的定义：

如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．

（2）图形表示：

画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．

（3）平行平面的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．

推理模式：．

（4）平行平面的性质定理：

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

推理模式：．

（5）面面平行的另一性质：

如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．

推理模式：．

知识点五：垂直位置关系

1.直线与平面

（1）线面垂直定义：

如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和

这个平面互相垂直，其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足。

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α。

（2）直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（3）直线和平面垂直的性质定理:

如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行。

2.平面与平面

（1）两个平面垂直的定义：

两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面

（2）两平面垂直的判定定理：