空间向量的数量积运算精选课件PPT

A D 3 , A A 5 , B A D 9 0 , B A A D A A 6 0 ,
求对角线 AC 的长。
D'
C'
A'
B'
|AC|85
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D A
C
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B
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解 决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直; 2.求两点之间的距离或线段长度; 3.证明线面垂直; 4.求两直线所成角的余弦值等等.
果 A B a ,A C B D b ，求 C 、D 之间的距离。
C
b
a
A
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解：由 AC，可知 A CA B.
由 D B D 3 0 知 C A ,B D 1 2 0 .
D b
D'
|CD|2CD CD(CAABBD)2 |CA|2 | AB|2 |BD|2 2CA AB 2CA BD2AB BD
P
aPAa(POOA)
aPOaOA
O A a l
0
a P A ,即 l P A . 逆命题成立吗?
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
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三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
l
gl
m
m nmg
Fra Baidu bibliotek
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例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l,m,n,g
上取非零向量 l,m,n,g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数( x , y ) ,使
3.1.3空间向量的数量积运算
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复习：
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角： 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O，
作OA= a,OB= b,则AOB叫做向量 a与 b的夹角。
A
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B
B
O
A
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平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
求证： l OA
P
O A a
l
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变式
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
叫做向量a, b的数量积，记作 ab
即 ab |a||b|co s
并规定 a00
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你能类比平面向量的数量积的有关概 念、计算方法和运算律推导出空间向 量的数量积的有关概念、计算方法和 运算律
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概念
1） 两个向量的夹角的定义
如图，已知两量 个 a,b.在 非空 零间 向任O 取 ，一
作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向 a与b量 的夹角
记作 a,b：
a
b
A
a
B O
b
范围 0： a,b在这个规定下量 ，的 两夹 个角 向
被唯一确定了 a,， b＝并 b,a且
如果 a,b,则称 a与 b互相垂直， a并 b
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2）两个向量的数量积
设OAa,则有向O线 的 A段 长度叫a的 做长 向度 量,记 或作 模 a ： 已知空间两 a,b， 个则 向 abc量 oas,b叫做向 a,b的 量数量 记作 ab： ,即
ababcoas,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
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3)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b ，有：
1) ae a cosa,e
2) a b ab 0
2
3) a aa
注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据；
②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
gxm yn,lg x lm y ln , l
lm 0 ,lm 0,
gl
m
lg 0 ,即 l g .
m
n n g
l g , 即 l 垂 直 于 平 面 内 任 一 直 线 . l .
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例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
，线段 B D A B ，线段 DD， D B D 3 0 ，如
B
b2 a2 b2 2b2cos120
a2 b2
CD a2b2
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课堂练习
A1
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中, 若AB= 2 BB1,则AB1与C1B所成角
的大小为( B ) A
A.1 0 5 B. 9 0 C.6 0 D. 7 5
C1 B1
C B
2.已知在平行六面体 A B C D A B C D 中，AB4,
2.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1__3_5_.
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典型例题
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
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4)空间向量的数量积满足的运算律
1)(a)b(ab)
2)abba (交换律） 3）a(bc)abac (分配律）
注意： 数量积不满足结合律 （ ab)ca(bc)
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思考
1.下列命题成立吗?
①若abac,则 b c
②若 abk ,则 a k
b
③ (a b )c a (b c )
A B A C 0 , A B A D 0 , A C A D 0
则△BCD是 (C )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
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例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
求证： l PA
分析：用向量来证明
P
两直线垂直，只需证
明两直线的方向向量
O A a
的数量积为零即可！
l
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如图,已知: P O ,A O 为 射 影 , l , 且 l O A 求证：l PA
证明：在直线l上取向量 a ,只要证 aPA0
a P O 0 ,a O A 0