中考数学第22讲与圆有关的计算复习教案2

课题：第22讲与圆有关的计算

教学目标：

1．掌握：正多边形和圆的有关概念；弧长公式及扇形面积公式．

2．会：进行正多边形的有关计算，计算弧长及扇形的面积，借助分割的方法与转化的思想巧求阴影部分图形的面积．

3．通过本节的复习，进一步体会数学中的化归思想，在解决问题的过程中了解数学的价值，增强“用数学”的信心．

重点与难点：

重点：正多边形的有关计算，弧长及扇形的面积的计算，与圆有关的阴影面积的计算．难点：与圆有关的阴影面积的计算．

课前准备：：制作学案、多媒体课件．

教学过程：

一、考点自主梳理，热身反馈

考点1正多边形的有关计算（多媒体出示）

【热身训练】

1．（2013•咸宁）如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为

（）

A．30°B．36°C．38°D．45°

2．（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（）

A．：3B．：2C．1：2D．：2

3．(2013·绵阳中考)如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为()

A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm

4．（2013•自贡）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）

A．4B．5C．6D．7

【归纳总结】

1．概念：正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的；外接圆的半径叫做

（

这个正多边形的半径，正多边形每一条边所对的

叫做正多边形的中心角；中心到

正多边形一边的距离叫做正多边形的

．

2．计算：设正 n 边形的半径为 R ，边心距为 r ，则：

n

n

⑴正 n 边形的每个内角为 ；每个外角为 ；中心角为 ；

⑵正 n 边形的边长为 ； ⑶正 n 边形的边心距为 ； ⑷正 n 边形的面积为

．

处理方式：先让学生独立做【热身训练】，师生共同校对答案，然后自主梳理归纳正多

边形的有关概念及正多边形与圆的关系．

考点 2 弧长及扇形的面积（多媒体出示）

【热身训练】

1．（2014▪北海）已知一个扇形的半径为 12，圆心角为 150°，则此扇形的弧长是（ ）

A ． 5π

B ． 6π

C ． 8π

D ．10π

2．（2014▪东营）如图，已知扇形的圆心角为 60 ︒ ，半径为

3 ，

则图中弓形的面积为（

）

A ． 4π - 3 3

B ． π - 3

C ． 2π - 3 3

D ． π - 3 3

4 4

4

2

第 2 题图 3．（2014▪衡阳）圆心角为120 ，弧长为12 π 的扇形半径为（

）

A ． 6

B ． 9

C ．18

D ． 36

4． 2014•绥化）一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的面积为 （结

果保留π） 5．（2014•河北）如图，将长为 8cm 的铁丝首尾相接围成半径为 2cm 的扇形．则 S 扇形= cm 2．

【归纳总结】

第 2 题图

1．弧长公式：设弧所对的圆心角为 n ︒ ，所在圆的半径为 R ，则弧长为

．

2．扇形面积公式：设扇形的圆心角为 n ︒ ，所在圆的半径为 R ， l 为扇形弧长，那么扇

形的面积为

，或 ．

处理方式：先让学生独立做【热身训练】，师生共同校对答案，然后自主梳理归纳弧长

与扇形面积公式．

【知识树】

① r 2 + ⎪ = R 2 (r 表示边心距，R 表示半径，a 表示边长).

设计意图：通过设计“热身训练”，让学生在解题的过程中回顾正多边形、弧长与扇形的

相关知识,再借助知识树让学生将零散、孤立的知识形成网络，完成知识脉络的梳理，明确

正多边形、弧长与扇形在相应的知识体系中的位置，有助于学生掌握知识的纵横联系，为下

一步灵活运用这些知识打好基础．

二、考向互动探究，方法归纳

探究一 正多边形的有关计算

例 1 (2014 天津)正六边形的边心距为 ，则该正六边形的边长是（ ） A ． B ． 2 C ． 3 D ． 2

处理方式：先找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师

引导学生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：

【方法归纳】：正多边形的有关计算的常用公式

(1)有关角的计算：正 n 边形的内角和，外角和、中心角；

(2)有关边的计算：

⎛ a ⎫2

⎝ 2 ⎭

② l = na (l 表示周长，n 表示边数，a 表示边长).

③S 正 n 边形= 1 2

lr (l 表示周长，r 表示边心距).

探究二 弧长及扇形的面积

360

例 2 （2014•兰州）如图， 在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60°得 △A ′B ′C ′，则点 B 转过的路径长为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． π

例 3 （2014•莆田）如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以点 B ，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧 相交于点 A ，连接 AB ，AC ，AD ，点 E 为 AD 上一点，连接 BE ， CE ．

（1）求证：BE=CE ；

（2）以点 E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交 BE ，CE 于点 F ，G ． 若 BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．

处理方式：先找两名学生板演，其余学生在练习本上完成，师生共同纠错，然后教师引导学

生归纳这一类题目的解法（多媒体出示）：

【方法归纳】：1．解决动点运动的路线长问题，通过探究得出这个点所经过的路线情

况，利用弧长公式求出运动的路线长．

2.当已知半径 r 和圆心角的度数 n 求扇形面积时，应选用 S n π r 2

扇 = ；当已知半径 r 和

弧长 l 求扇形面积时，应选用公式 S 1

扇 = 2 lr ．

探究三

与圆有关的阴影面积的计算

例 4 （2014 昆明）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是边 AC 上的一点，连接 BD ，

使∠A=2∠1，E 是 BC 上的一点，以 BE 为直径的⊙O 经过点 D.

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）若∠A=60°，⊙O 的半径为 2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）

处理方式：先让学生独立思考，然后小组交流，再找两名学生板演，其余学生在练习本