激光原理 十一、高斯光束的传播特性
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u00 (x, y) C00e
3.3 高斯光束的传播特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布 3.3.2 高斯光束的相位分布 3.3.3 高斯光束的远场发散角 3.3.4 高斯光束的高亮度
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
一、共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umn x, y, z CmnHm
exp
1
2
2
x2 y2
s2
基横模TEM00的光强
I00 U002
C020
exp
1
4
2
x2 y2
s2
(3-30)
2、光斑振幅下降为最大值1/e时的光斑半径（截面半径）
镜面光束半径
(z) s 1 2 s 1 4z2
2
2
L2
(3-31)
(z) s 1 2 s
2
2
ωs xs2 ys2 L
在z = 0处变成一个平面波; 在 z＞0处又变成发散球面波。
3.共焦场中等相位面的分布如图所示
图 共焦腔中等位相面的分布
——共焦腔的等相面是凹面向着腔的中心的球面
可以证明： 如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反
射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返回 ，这样共焦场分布将不会受到扰动，这是非常重要的性质。
y2
L 2z0
2
令：
R0
=
z
0
[1
+
(
L 2z
0
)2 ]
(3-38)
则有：
z z0
x2 y2 2R0
R0
1
x2 y2 R02
R0
R02 x2 y2 R0
x2 y2
x2 y2
z z0 2R0 R0 1 R02 R0
R02 x2 y2 R0
球面方程
R02 x2 y2 z z0 R0 2
Nanjing University of Information Science & Technology
物理学专业方向选修课
激光原理与技术
Laser Principle & Technology
3.3 高斯光束的传播特性
物理与光电工程学院 顾芳
求解对称开腔中的自再现模积分方程,给出了对称 共焦腔内外场的分布。
——等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面
二、讨论
1. R02 x2 y2 z z0 R0 2
表明等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面
二、讨论
2. 由式子 z
-
z0
=-
2z 0
x 2 +y 2
轾 犏 犏 犏 臌1 +
骣 琪 琪 桫2Lz
0
2
R0
=
z
L 0[1+( 2z 0
)2 ]
=
1
4z2 L2
(z)
L [1 ( 2z )2 ]
2
L
(3-32)
——仅取决于腔长 ①当z=0时(共焦腔中心），(z)达到最小值 L
0
1 2
s
1 2
L
(3-33)
——高斯光束的基模束腰半径(光腰)
②当 z f L 时，即在镜面上时，有：
2
z
20
L
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
2z
z
-
z0
=-
L 1 + 骣琪琪桫2Lz
2
x
2 +y L
2
?
2z 0
L 1+琪桫骣琪2Lz 0
2
x
2
+y L
2
=-
2z 0
x 2 +y 2
轾 犏犏1 + 犏臌
骣琪琪桫2Lz
0
2
3、等相位面的特点
2z
2z0
z
z0
L
1
2z L
2
x2
L
y2
L
1
2z0 L
2
x2
L
y2
2z0
x2 1
3、z在纵截面上的表达式
( 0
z)
1 2
L [1 2 s
(
1 2
2z )2] L
L
(
z)
0
1
z
(
2 0
)2
2 02
(
z
2 0
2
)2
1
2 02
(
z
2 0
2
)2
1
——基模光斑半径随z按照双 曲线规律变化。
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
3.3.2 高斯光束的相位分布（本征函数的幅角）
k[ L (1 2
பைடு நூலகம்
2z L
)
1
2z L (2z L)2
x2
y2 ] (m n 1)(
L
2
)
(0,0, z0)
k
L 2
1
2z L
2z
1
L 2z L
2
x2
L
y2
2
z
k
L 2
1
2z0 L
2
z0
若忽略由于z 的变化而造成附加相移因子的微小变化，则在近轴 情况下，z 处的等相位面方程为：
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
2 ws
y
exp
1
2
2
x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
其中：
(3-29a)
1、 Hm
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
2 ws
y
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
是行波场横向振幅分布因子
厄米-高斯函数，在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描 述的规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。
花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。
2、exp ix, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布。
H m
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
2 ws
y
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
二、高斯光束的振幅分布和光斑尺寸
1、振幅分布
基横模TEM00的场振幅
H0 ( ) 1
U 00
C00
除了基横模以外的各种高阶模的强度分布都在光斑中 呈现出至少一条光强极小的节线，因而光强分布十分不 均匀，这就大大限制了高阶模的应用范围。
而基横模的输出是相对均匀的，应用较广泛。基横模 行波输出在与传播方向的垂直平面上的强度呈高斯型分 布，通常称为高斯光束，本节主要研究高斯光束的传播 特性。
x2 y2 L
z
0
L2 +
4z 0
可知：
➢当z0＞0时，z-z0＜0；而当z0＜0时, z-z0＞0
➢当 z0 f L 2时，R(z0 ) 2 f L ➢当 z0 0时，R(z0) ; z0 时，R(z0) ➢共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大(曲率半径最小)的等相位面
结论:在z ＜ 0 处,光束是沿着z的方向传播的会聚球面波;
共焦腔内或腔外的一点行波场的解析式：
umnx, y, z CmnHm
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
w2s相位y 因 子
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
exp
i x,
y,
z
(3-29a)
传播因子
位相弯曲因子
附加相移因子
(x, y, z) k[ L (1
2
2z
2z L
L
) 1 (2z
L)2
x2
y2
] (m n 1)(
L
2
)
(3-29b)
arctan L 2z
L 2z
———决定了共焦场的位相分布
对称共焦腔镜面上的相位分布情况？ P55
一、等相位面的分布
1、等相位面——行波场中相位相同的点连成的曲面
2、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程 x, y, z 0,0, z0
(x, y, z)
3.3 高斯光束的传播特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布 3.3.2 高斯光束的相位分布 3.3.3 高斯光束的远场发散角 3.3.4 高斯光束的高亮度
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布
一、共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
umn x, y, z CmnHm
exp
1
2
2
x2 y2
s2
基横模TEM00的光强
I00 U002
C020
exp
1
4
2
x2 y2
s2
(3-30)
2、光斑振幅下降为最大值1/e时的光斑半径（截面半径）
镜面光束半径
(z) s 1 2 s 1 4z2
2
2
L2
(3-31)
(z) s 1 2 s
2
2
ωs xs2 ys2 L
在z = 0处变成一个平面波; 在 z＞0处又变成发散球面波。
3.共焦场中等相位面的分布如图所示
图 共焦腔中等位相面的分布
——共焦腔的等相面是凹面向着腔的中心的球面
可以证明： 如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反
射镜片，则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返回 ，这样共焦场分布将不会受到扰动，这是非常重要的性质。
y2
L 2z0
2
令：
R0
=
z
0
[1
+
(
L 2z
0
)2 ]
(3-38)
则有：
z z0
x2 y2 2R0
R0
1
x2 y2 R02
R0
R02 x2 y2 R0
x2 y2
x2 y2
z z0 2R0 R0 1 R02 R0
R02 x2 y2 R0
球面方程
R02 x2 y2 z z0 R0 2
Nanjing University of Information Science & Technology
物理学专业方向选修课
激光原理与技术
Laser Principle & Technology
3.3 高斯光束的传播特性
物理与光电工程学院 顾芳
求解对称开腔中的自再现模积分方程,给出了对称 共焦腔内外场的分布。
——等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面
二、讨论
1. R02 x2 y2 z z0 R0 2
表明等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面
二、讨论
2. 由式子 z
-
z0
=-
2z 0
x 2 +y 2
轾 犏 犏 犏 臌1 +
骣 琪 琪 桫2Lz
0
2
R0
=
z
L 0[1+( 2z 0
)2 ]
=
1
4z2 L2
(z)
L [1 ( 2z )2 ]
2
L
(3-32)
——仅取决于腔长 ①当z=0时(共焦腔中心），(z)达到最小值 L
0
1 2
s
1 2
L
(3-33)
——高斯光束的基模束腰半径(光腰)
②当 z f L 时，即在镜面上时，有：
2
z
20
L
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
2z
z
-
z0
=-
L 1 + 骣琪琪桫2Lz
2
x
2 +y L
2
?
2z 0
L 1+琪桫骣琪2Lz 0
2
x
2
+y L
2
=-
2z 0
x 2 +y 2
轾 犏犏1 + 犏臌
骣琪琪桫2Lz
0
2
3、等相位面的特点
2z
2z0
z
z0
L
1
2z L
2
x2
L
y2
L
1
2z0 L
2
x2
L
y2
2z0
x2 1
3、z在纵截面上的表达式
( 0
z)
1 2
L [1 2 s
(
1 2
2z )2] L
L
(
z)
0
1
z
(
2 0
)2
2 02
(
z
2 0
2
)2
1
2 02
(
z
2 0
2
)2
1
——基模光斑半径随z按照双 曲线规律变化。
图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化
3.3.2 高斯光束的相位分布（本征函数的幅角）
k[ L (1 2
பைடு நூலகம்
2z L
)
1
2z L (2z L)2
x2
y2 ] (m n 1)(
L
2
)
(0,0, z0)
k
L 2
1
2z L
2z
1
L 2z L
2
x2
L
y2
2
z
k
L 2
1
2z0 L
2
z0
若忽略由于z 的变化而造成附加相移因子的微小变化，则在近轴 情况下，z 处的等相位面方程为：
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
2 ws
y
exp
1
2
2
x2 y2 ws2
exp ix,
y, z
其中：
(3-29a)
1、 Hm
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
2 ws
y
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
是行波场横向振幅分布因子
厄米-高斯函数，在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描 述的规律从中心(即传输轴线)向外平滑地降落。
花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。
2、exp ix, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布。
H m
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
2 ws
y
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
二、高斯光束的振幅分布和光斑尺寸
1、振幅分布
基横模TEM00的场振幅
H0 ( ) 1
U 00
C00
除了基横模以外的各种高阶模的强度分布都在光斑中 呈现出至少一条光强极小的节线，因而光强分布十分不 均匀，这就大大限制了高阶模的应用范围。
而基横模的输出是相对均匀的，应用较广泛。基横模 行波输出在与传播方向的垂直平面上的强度呈高斯型分 布，通常称为高斯光束，本节主要研究高斯光束的传播 特性。
x2 y2 L
z
0
L2 +
4z 0
可知：
➢当z0＞0时，z-z0＜0；而当z0＜0时, z-z0＞0
➢当 z0 f L 2时，R(z0 ) 2 f L ➢当 z0 0时，R(z0) ; z0 时，R(z0) ➢共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大(曲率半径最小)的等相位面
结论:在z ＜ 0 处,光束是沿着z的方向传播的会聚球面波;
共焦腔内或腔外的一点行波场的解析式：
umnx, y, z CmnHm
2
1
2
2 ws
x Hn
2
1
2
w2s相位y 因 子
exp
2
1
2
x2 y2 ws2
exp
i x,
y,
z
(3-29a)
传播因子
位相弯曲因子
附加相移因子
(x, y, z) k[ L (1
2
2z
2z L
L
) 1 (2z
L)2
x2
y2
] (m n 1)(
L
2
)
(3-29b)
arctan L 2z
L 2z
———决定了共焦场的位相分布
对称共焦腔镜面上的相位分布情况？ P55
一、等相位面的分布
1、等相位面——行波场中相位相同的点连成的曲面
2、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程 x, y, z 0,0, z0
(x, y, z)