集合的含义与表示 课件
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[思路点拨] 因为集合A是偶数集,集合B是奇 数集,所以a为偶数,b为奇数,从而a+b是奇数, 由此即可判断a+b与集合A,B的关系.
[精解详析] a∈A,则a=2k1(k1∈Z); b∈B,则b=2k2+1(k2∈Z), 所以a+b=2(k1+k2)+1. 又k1+k2为整数,2(k1+k2)为偶数, 故2(k1+k2)+1必为奇数, 所以a+b∈B且a+b∉A.
元素与集合的概念 (1)元素:一般地,我们把研究 对象 统称为元素.元素 常用 a,b,c,… 表示. (2)集合:把一些元素组成的总体 叫做集合(简称为集 ). 集合通常用 A,B,C,… 表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的 元素 是一样的,我
们就称这两个集合是相等的. (4)集合中元素的特性: 确定性 、 互异性 、 无序性 .
观察下面的语句: (1)高一(1)班的全体女生; (2)方程x2-4=0的所有实数根; (3)2011年8月参加深圳世界大学生运动会的所有代表团; (4)高一(2)班的所有高个子男生; (5)某中学里所有较胖的同学.
问题1:上面语句中的女生、实数根、代表团、帅哥、 较胖的同学哪些是确定的?
提示:女生、实数根、代表团. 问题2:以上语句中为什么有的不能确定? 提示:高个子男生、较胖的同学标准无法确定.
[精解详析] 若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,a=a2,集合A有一个元素, ∴a≠1. 当a=-1时, 集合A含有两个元素1,-1,符合互异性. ∴a=-1.
(4分)
(7分)
(10分) (12分)
[一点通] 根据集合中元素的确定性,可以解出 字母的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对 集合中元素进行检验.另外,利用集合中元素的特性 解题时,要注意分类讨论思想的应用.
表示集合的常用方法 (1)列举法: 把集合的元素 一一列举 出来,并用花括号“{}” 括起来表示集合的方法叫做列举法.一般形式:{a1, a2,a3,…,an}.
(2)描述法: 用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法称为 描述法,具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合 元素的 一般符号 及 取值(或变化)范围 ,再画一条竖 线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征 . 一般形式:{x|p(x)},其中x是集合元素的一般符号,p(x) 是集合元素的共同特征.
[一点通] 判断一个对象是否为某个集合的元素,就是 判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征.如 果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必具有这个集 合的元素的共同特征.
[例 3] 用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于 3 的所有整数组成的集合 A; (2)方程组2xx-+y=y=18, 的所有解组成的集合 B;
[一点通] 1.列举法是把集合中的元素一一列举出来,写在 花括号里表示集合的方法.列举时要注意元素的不重 不漏,不计次序,且元素与元素之间用“,”隔开. 2.用描述法表示集合时,常用的模式是{x|p(x)}, 其中x代表集合中的元素,p(x)为集合中元素所具备的 共同特征.要注意竖线不能省略,同时表达要力求简 练、明确.
1.判断一组对象的全体能否构成集合,关键是看 元素是否确定.若元素不确定,则不能构成集合.
2.集合中的元素是确定的,某一元素a要么满足 a∈A,要么满足a∉A,两者必居其一.这也是判断一 组对象能否构成集合的依据.
3.集合中元素的三种特性:确定性、互异性、 无序性.求集合中字母的取值时,一定要检验是 否满足集合中元素的互异性.
某中学2012级高一年级20个班构成一集合. 问题1:高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗? 提示:是这个集合的元素. 问题2:高二(3)班是这个集合中的元素吗?为什么? 提示:不是.高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素.
1.元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素,就说a 属于 集合A, 记作 a∈A . (2)如果a不是集合A中的元素,就说a 不属于 集
确定的
结论 不能构 成集合
能构成 集合
序号 (3) (4)
内容分析 “接近零”的界限不明确
所有比赛项目是确定的
结论 不能构成集合
能构成集合
[一点通] 判断元素能否组成集合,关键看 这些元素是否具有确定性.如果是确定的,则能 构成集合,否则就不能构成集合.
[例2] 设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x= 2k+1,k∈Z},若a∈A,b∈B,试判断a+b与集合 A,B的关系.
(3)大于4的全体奇数构成的集合; (4)坐标平面内,两坐标轴上点的集合; (5)所有的三角形构成的集合. [思路点拨] 先明确集合中元素的特点,再选择适 当的方法来表示.
[精解详析] (1)∵|x|<3,x∈Z, ∴x=-2,-1,0,1,2.∴A={-2,-1,0,1,2}; (2)解方程组2xx-+y=y=1,8, 得xy==23,, ∴B={(3,2)}; (3){x|x=2k+1,k≥2,k∈N}; (4){(x,y)|xy=0}; (5){x|x 是三角形}或{三角形}.
合A,记作 a∉A .
2.常用的数集及其记法
常用的 自然
有理
正整数集 整数集
实数集
数集 数集
数集
记法
N N*或N+
Z
Q
R
观察下列集合: (1)中国古代四大发明组成的集合; (2)20的所有正因数组成的集合; (3)不等式x-2≥3的解集; (4)所有正偶数组成的集合.
问题1:上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗? 提示:(1)(2)中的元素可以一一列举出来. (3)(4)中的元素不能一一列举,因为元素有无穷多个. 问题2:设(3)(4)中的元素为x,请用等式(或不等式)分别将 它们表示出来. 提示:(3)中元素x≥5;(4)中的元素x=2n,n∈N+.
[思路点拨] 解答本题可先分析各组的对象是 否具有确定性,然后作出判断.
[精解详析] 结合集合中元素的特性对四个小题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ具体分析如下:
序号
内容分析
“成绩较好”的界限不明确,不符合 (1)
集合元素的确定性
2010年度诺贝尔经济学奖获得者是两
位美国经济学家和一名具有英国和塞 (2)
浦路斯双重国籍的经济学家,元素是
1.集合是一个原始的不加定义的概念,像点、 直线一样,只能描述性地说明.集合中的元素是确 定的.
2.集合是由元素组成的,元素与集合是“属于” 或“不属于”的关系.
3.集合的表示法常见的有描述法与列举法.一般 是当集合中元素的个数较多或无限时,用描述法;当集 合中元素的个数较少时,用列举法.
[例1] 判断下列每组对象能否构成一个集合: (1)高一(1)班成绩较好的同学; (2)2010年度诺贝尔经济学奖获得者; (3)立方接近零的正数; (4)2012年伦敦奥运会所有比赛项目.
3.用列举法或描述法表示集合时,要分清点集 和数集.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点 集则用一个有序实数对来表示.
[例4] (12分)已知集合A中含有两个元素a和a2,若 1∈A,求实数a的值.
[思路点拨] 本题中已知集合A中有两个元素且1∈A, 据集合中元素的特点需分a=1和a2=1两种情况,另外还 要注意集合中元素的互异性.
[精解详析] a∈A,则a=2k1(k1∈Z); b∈B,则b=2k2+1(k2∈Z), 所以a+b=2(k1+k2)+1. 又k1+k2为整数,2(k1+k2)为偶数, 故2(k1+k2)+1必为奇数, 所以a+b∈B且a+b∉A.
元素与集合的概念 (1)元素:一般地,我们把研究 对象 统称为元素.元素 常用 a,b,c,… 表示. (2)集合:把一些元素组成的总体 叫做集合(简称为集 ). 集合通常用 A,B,C,… 表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的 元素 是一样的,我
们就称这两个集合是相等的. (4)集合中元素的特性: 确定性 、 互异性 、 无序性 .
观察下面的语句: (1)高一(1)班的全体女生; (2)方程x2-4=0的所有实数根; (3)2011年8月参加深圳世界大学生运动会的所有代表团; (4)高一(2)班的所有高个子男生; (5)某中学里所有较胖的同学.
问题1:上面语句中的女生、实数根、代表团、帅哥、 较胖的同学哪些是确定的?
提示:女生、实数根、代表团. 问题2:以上语句中为什么有的不能确定? 提示:高个子男生、较胖的同学标准无法确定.
[精解详析] 若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,a=a2,集合A有一个元素, ∴a≠1. 当a=-1时, 集合A含有两个元素1,-1,符合互异性. ∴a=-1.
(4分)
(7分)
(10分) (12分)
[一点通] 根据集合中元素的确定性,可以解出 字母的所有可能值,再根据集合中的元素的互异性对 集合中元素进行检验.另外,利用集合中元素的特性 解题时,要注意分类讨论思想的应用.
表示集合的常用方法 (1)列举法: 把集合的元素 一一列举 出来,并用花括号“{}” 括起来表示集合的方法叫做列举法.一般形式:{a1, a2,a3,…,an}.
(2)描述法: 用集合所含元素的 共同特征 表示集合的方法称为 描述法,具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合 元素的 一般符号 及 取值(或变化)范围 ,再画一条竖 线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的 共同特征 . 一般形式:{x|p(x)},其中x是集合元素的一般符号,p(x) 是集合元素的共同特征.
[一点通] 判断一个对象是否为某个集合的元素,就是 判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征.如 果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必具有这个集 合的元素的共同特征.
[例 3] 用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于 3 的所有整数组成的集合 A; (2)方程组2xx-+y=y=18, 的所有解组成的集合 B;
[一点通] 1.列举法是把集合中的元素一一列举出来,写在 花括号里表示集合的方法.列举时要注意元素的不重 不漏,不计次序,且元素与元素之间用“,”隔开. 2.用描述法表示集合时,常用的模式是{x|p(x)}, 其中x代表集合中的元素,p(x)为集合中元素所具备的 共同特征.要注意竖线不能省略,同时表达要力求简 练、明确.
1.判断一组对象的全体能否构成集合,关键是看 元素是否确定.若元素不确定,则不能构成集合.
2.集合中的元素是确定的,某一元素a要么满足 a∈A,要么满足a∉A,两者必居其一.这也是判断一 组对象能否构成集合的依据.
3.集合中元素的三种特性:确定性、互异性、 无序性.求集合中字母的取值时,一定要检验是 否满足集合中元素的互异性.
某中学2012级高一年级20个班构成一集合. 问题1:高一(6)班、高一(16)班是这个集合的元素吗? 提示:是这个集合的元素. 问题2:高二(3)班是这个集合中的元素吗?为什么? 提示:不是.高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素.
1.元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素,就说a 属于 集合A, 记作 a∈A . (2)如果a不是集合A中的元素,就说a 不属于 集
确定的
结论 不能构 成集合
能构成 集合
序号 (3) (4)
内容分析 “接近零”的界限不明确
所有比赛项目是确定的
结论 不能构成集合
能构成集合
[一点通] 判断元素能否组成集合,关键看 这些元素是否具有确定性.如果是确定的,则能 构成集合,否则就不能构成集合.
[例2] 设集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x= 2k+1,k∈Z},若a∈A,b∈B,试判断a+b与集合 A,B的关系.
(3)大于4的全体奇数构成的集合; (4)坐标平面内,两坐标轴上点的集合; (5)所有的三角形构成的集合. [思路点拨] 先明确集合中元素的特点,再选择适 当的方法来表示.
[精解详析] (1)∵|x|<3,x∈Z, ∴x=-2,-1,0,1,2.∴A={-2,-1,0,1,2}; (2)解方程组2xx-+y=y=1,8, 得xy==23,, ∴B={(3,2)}; (3){x|x=2k+1,k≥2,k∈N}; (4){(x,y)|xy=0}; (5){x|x 是三角形}或{三角形}.
合A,记作 a∉A .
2.常用的数集及其记法
常用的 自然
有理
正整数集 整数集
实数集
数集 数集
数集
记法
N N*或N+
Z
Q
R
观察下列集合: (1)中国古代四大发明组成的集合; (2)20的所有正因数组成的集合; (3)不等式x-2≥3的解集; (4)所有正偶数组成的集合.
问题1:上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗? 提示:(1)(2)中的元素可以一一列举出来. (3)(4)中的元素不能一一列举,因为元素有无穷多个. 问题2:设(3)(4)中的元素为x,请用等式(或不等式)分别将 它们表示出来. 提示:(3)中元素x≥5;(4)中的元素x=2n,n∈N+.
[思路点拨] 解答本题可先分析各组的对象是 否具有确定性,然后作出判断.
[精解详析] 结合集合中元素的特性对四个小题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ具体分析如下:
序号
内容分析
“成绩较好”的界限不明确,不符合 (1)
集合元素的确定性
2010年度诺贝尔经济学奖获得者是两
位美国经济学家和一名具有英国和塞 (2)
浦路斯双重国籍的经济学家,元素是
1.集合是一个原始的不加定义的概念,像点、 直线一样,只能描述性地说明.集合中的元素是确 定的.
2.集合是由元素组成的,元素与集合是“属于” 或“不属于”的关系.
3.集合的表示法常见的有描述法与列举法.一般 是当集合中元素的个数较多或无限时,用描述法;当集 合中元素的个数较少时,用列举法.
[例1] 判断下列每组对象能否构成一个集合: (1)高一(1)班成绩较好的同学; (2)2010年度诺贝尔经济学奖获得者; (3)立方接近零的正数; (4)2012年伦敦奥运会所有比赛项目.
3.用列举法或描述法表示集合时,要分清点集 和数集.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点 集则用一个有序实数对来表示.
[例4] (12分)已知集合A中含有两个元素a和a2,若 1∈A,求实数a的值.
[思路点拨] 本题中已知集合A中有两个元素且1∈A, 据集合中元素的特点需分a=1和a2=1两种情况,另外还 要注意集合中元素的互异性.