《自动控制原理》PPT课件 (2)

p1 2, p2 2 s1 , s2
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图4－4 例4－1开环零、极点分布图
19
•以 s1为试验点，观察图4－4，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90
(2k 1)
22 (k 1)
以 s2为试验点，可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 900 900
5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。
4
4-1 根轨迹的概念
求解闭环传递函数极点的必要性： 判断系统的稳定性； 研究系统瞬态响应的基本特征； 系统结构、参数变化时，闭环极点的变化情况，从而了解系统 结构、参数对系统性能的影响。
求解闭环传递函数极点的困难：
sn a1sn1 an1s an 0
40
（2）渐近线与实轴的交点
幅值条件：
K1
s p1 s pn s z1 s zm
当 时K1
，则对s应于
s ，zi 此 s pi
(s (s
p1 )(s z1 )(s
zp22)，)上(式(ss可zpm写n)) 成(s：
)
nm
上式左边展开： s nm [( p1 p2 pn ) (z1 z2 zm )]s nm1
实轴上根轨迹区段 的右侧，开环零、 极点数目之和应为 奇数。
证明：
设一系统开环零、 极点分布如图。
28
在实轴上任取一试验s点1 代入相角方程则
3
4
(s zi ) (s pi )
i 1
i 1
(s z1 ) (s z2 )
(s p1 )
(2k 1)
所以相角方程成立，即 s1 是根轨迹上的点。
3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解， 熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K 从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。
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4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系， 初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能 熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似 为一、二阶系统给出定量估算。
ds
[B(s)]2
dK 0 ds
36
分离点的坐标d也可由下面方程求得
n
1
m
1
i1 d pi j1 d z j
z 式中： 为j 各开环零点的数值，
为pi各开环极点的数值。
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举例： 判断如下系统的根轨迹的分离点和会合点
K
R(s)
+_
s(s 1)(s 2)
C(s)
1 G(s)H(s) 0
时的闭环根轨迹。
•解：将开环传递函数写成零、极点形式
G(s) 2K (s 1) s(s 2)
31
按绘制根规迹法则逐步进行：
① 法则一，有两条根轨迹 ② 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，
另一条趋于无穷远处。 ③ 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。
s(s 1)(s 2) K 0
K s(s 1)(s 2)
dK 0 ds
ss21
0.423 1.577
38
法则六、根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正方向的夹角为：
a
(2k 1)
nm
渐近线与实轴相交点的坐标为：
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
39
（1）根轨迹渐近线的倾角
根据幅角条件：m
(2k 1)
22
(k=0)
图4－4
20
可见， s1, s2 都满足相角方程， 所以， s1, s2 点是闭环极点。 证毕
21
例4－2
•已知系统开环传递函数 G(s)H (s) K /(s 1)4
当 K 0变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨
迹上点
s1 所 对0应.5的 Kj0值.5。
29
一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极
点，则有关系式
l
h
(s zi ) (s pi ) (l h)
i 1
i 1
•如满足相角条件必有
(l h) (2k 1)
所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。
证毕
30
例4－3
•设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 K 0
• 在实际应用中，用相角方程绘制根轨迹， 而模 值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点
的 K*值。
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例4-1
已知系统的开环传递函数
G(s)H (s) 2K /(s 2)2
试证明复平面上点 s1 2 j4, s2 2 j4 是该系统的闭环极点。
证明： 该系统的开环极点
若系统闭环极点为
它们应满足相角方程。
i 1
j 1
jk
48
例4－5
•设系统开环传递函数
G(s)H (s) K *(s 2 j)(s 2 j) (s 1 j2)(s 1 j2)
环零点的根轨迹在该点处的切线与水 平正方向的夹角。
根轨迹的起始角是指根轨迹在
起点处的切线与水平正方向的夹角。
47
起始角与终止角计算公式
起始角计算公式：
m
n
pk (2k 1) ( pk z j ) ( pk pi )
j 1
i 1
ik
终止角计算公式：
n
m
zk (2k 1) (zk pi ) (zk z j )
上式右边展开 s nm (n m)s nm1
比较对应s幂项系数(n相 m等) ，(求p1 得 p：2 pn ) (z1 z2 zm ) 所以渐近线相交于同 一点( p1 p2 pn ) (z1 z2 zm )
nm
41
例4-4
已知系统的开环传递函数
G(s)H
(s)
s(s
K*(s 4)(s2
(a) G(s)H (s)
K*
s(s p1 )
(b) G(s)H (s)
K*
s(s p1 )(s p2 )
K* (c) G(s)H (s)
s(s p1 )(s p2 )(s p3 )
(d) G(s)H (s)
K*
s2 (s p1 )(s p2 )(s p3 )
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法则七、根轨迹的起始角和终止角 根轨迹的终止角是指终止于某开
第四章
根轨迹法
2020/11/27
1
第4章 根轨迹法
基本要求
4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则
4-3 广义根轨迹
4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃
响应的关系
4-5 系统阶跃响应的根轨迹
2
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基本要求
1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极 点等概念。
2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。 熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益 和开环增益。
s1 0, s2 2 s1 1, s2 1 s1 1 j, s2 1 j s1 1 2 j, s2 1 2 j s1 1 j, s2 1 j
10
如果把不同K
值的闭环特征根布置
在s平面上，并连成
线，则可以画出如图 所示系统的根轨迹。
11
4-2 根轨迹方程
如图所示系统闭环传递函数为
(k 2)
n
m
pi
i 1
zi
i 1
5
nm
3
43
以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线
K* s(s p1 )
44
K* s(s p1 )(s p2 )
K* s(s p1 )(s p2 )(s p3 )
45
K* s2 (s p1 )(s p2 )(s p3 )
对应的开环传递函数
解 根据模值方程求解 K*值
模值方程
K | 0.5 j0.5 1|4
1
图4-5
22
•根据图4－5可得
| 0.5 j0.5 1| 2 2
所以
K1 4
23
图4-5
•上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平 面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点
对应的ห้องสมุดไป่ตู้K* 值。
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速
没有零点，开环增益为K。
闭环传递函数为
(s)
C(s) R(s)
s2
2K 2s
2K
•闭环特征方程为 D(s) s2 2s 2K 0
•闭环特征根为 s1 1 1 2K , s2 1 1 2K
9
从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化 而变化。例如，设
K=0 K=0.5 K=1 K=2.5 K=+∞
求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭 环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
24
4－3 绘制根轨迹的基本法则
一、根轨迹的分支数
分支数＝开环零点数m与开环极 点数n中的大者
二、根轨迹对称于实轴
闭环极点为 实数→在实轴上 复数→共轭→对称于实
轴
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三、根轨迹的起点与终点
起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程有：
m
(s
i 1
n
(s
zi ) pi )
1 K*
i 1
26
起点 K * 0 → s pi 0 → s pi
终点 K* → s zi 0 → s zi
若开环零点数m < 开环极点数n
(有 n 个m开环零点在无穷远处)
则有( n )m条根轨迹趋于无穷远点
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四、实轴上的根轨迹
最后绘制出根轨迹如图4－7所示。
32
图4－7 例4－3根轨迹
33
法则五、根轨迹的分离点和会合点
• 分离点和会合点一般位于实轴上：
− 根轨迹在实轴上相交后走向复平面时， 称为根轨迹的分离点； − 根轨迹由复平面走向实轴相会时，称为 根轨迹的会合点；
34
分离点与会合点的确定方法：
1 G(s)H(s) 0 G(s)H (s) KB(s)
1) 2s
2)
试根据法则六，求出根轨迹的渐近线。
解：
零点 z 1, m 1 极点 p1 0, p2 4, p3 1 j1, p4 1 j1,
n4
42
按照公式得
(2k 1) (2k 1) (2k 1)
nm
4 1
3
600 1
(k 0)
1800 2
(k 1)
3000 3
(s) G(s)
1 G(s)H (s)
图4－3 控制系统
12
• 闭环特征方程
D(s)=1+G(s)H(s)=0
闭环极点就是闭环特征方程 的解，也称为特征根。 根轨迹方程
G(s)H(s)=-1
式中G(s)H(s)是系统开环传递 函数，该式明确表示出开环传递函 数与闭环极点的关系。
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设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定 n≥m，这时式（4－12）又可以写成：
n
s zi
s pj 180 (2k 1)
i 1
j 1
(k 0,1,2, )
当 s 时，零点 zi 、极点 p j 与 s 矢量复角可近似 看成相等
得到
s zi s pj
所以渐近线的倾角： m n 180 ( 2k 1)
180 ( 2k 1)
nm
因共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。
高于2次的代数方程不存在一般的求根公式
5
1948年，W.R.Evans根据开 环和闭环传递函数的关系，提出了
一种图示的求解方法：根轨迹法。
根轨迹法根据反馈控制系统的开、闭环传
递函数之间的关系，直接由开环传递函数零、 极点求出闭环极点（闭环特征根）。这给系
统的分析与设计带来了极大的方便。
根轨迹的作用：可看出参数变化对 系统性能的影响，是分析、设计线形定 常控制系统的一种图解方法，也是古典 控制理论解决问题的基本方法之一。
A(s)
A(s) KB(s) 0
设K=K0时，s0是重根，则有
A(s0 ) K0B(s0 ) 0
dA(s)
dB(s)
ds
K0
s s0
ds
0
s s0
35
1 G(s)H(s) 0 G(s)H (s) KB(s)
A(s)
A(s) KB(s) 0
K A(s) B(s)
dK A(s)B(s) A(s)B(s)
6
定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参
数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动的轨迹。
•当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度
根轨迹；而负反馈系统的轨迹为180 根轨
迹。
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例子
如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：
G(s) K s(0.5s 1)
8
•开环传递函数有两个极点 p1 0, p2 。2
m
(s zi )
G(s)H (s) K*
i 1 n
1
(s pi )
i 1
不难看出，式子为关于s的复数方程，因
此，可把它分解成模值方程和相角方程。
14
将开环传递函数G(s)H(s)表示为：
m
m
K (is 1) K (s zi )
G(s)H(s)
i1 n
i1 n
(Tis 1) (s p j)
j1
j1
其中，Ｋ为开环增益，Ｋ＊ 为根轨迹增益。
15
m
K* | s zi |
模值
i 1
方程
n
1
| s pi |
i 1
m
n
相角
(s zi ) (s pi ) (2k 1)
方程 i1
i 1
k 0, 1, 2,
16
注意
• 模值方程不但与开环零、极点有关，还与 开环根轨迹增益有关；而相角方程只与开环零、 极点有关。 • 相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必 要条件。