高西全_丁玉美_数字信号处理课件(第三版)

1.2 时域离散信号

离散时间信号（序列）只在离散时刻给出函数 值，是时间上不连续的序列。
实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行 等间隔采样便可以得到时域离散信号。假设模 拟信号为xa (t)，以采样间隔T对它进行等间隔 采样，得到：

x(n) xa (t ) t nT ＝xa (nT)
注意：n为整数
二、冲激函数的性质
（1）抽样性
f (t ) (t ) f (0) (t )



f (t ) (t ) d t f (0)
（2）奇偶性
(t ) (t )
（3）比例性
（4）卷积性质
1 (at ) (t ) a
f (t ) (t ) f (t )
矩形序列与单位阶跃序 列的关系：
RN (n) u(n) u(n N )
矩形序列与单位序列的 关系：
RN (n) (n) (n 1) (n 2) [n ( N 1)] (n k )
k 0 N 1
4． 实指数序列
五、卷积（Convolution）
设有两个 函数
f1 (t ) f 2 (t ) ，积分

f (t )

f1 ( ) f 2 (t ) d
称为 f (t ) f (t ) 的卷积积分，简称卷积，记为 1 2
f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
主要利用卷积来求解系统的零状态响应。
解：设yd (n)是系统对输入xd (n) x(n nd )的输出，则 yd (n) nxd (n) nx(n nd ) 而y (n nd ) (n nd ) x(n nd ) 即yd (n) y (n nd ) 故系统是时变系统。
三、LTI系统输入与输出之间的关系
2、单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0 n0 n0
(n)与u(n)的关系？
(n) u (n) u (n 1)
u ( n)
m
(m)
n
或 u ( n) ( n k )
k 0

3． 矩形序列RN(n)
1 RN (n) 0 0 n N 1 其它n
计算方法：
m
x(m)h(n m)

（1）图示法（图解法）： 换元->反转->平移->相乘->求和 （2）列表法 （3）解析法
卷积和性质：

代数运算性质（交换律、结合律、分配律） 延迟性质
若x1 (n) * x2 (n) y(n) 则x1 (n m1 ) * x2 (n m2 ) y(n m1 m2 )
若初始条件改为y(-1)=1，求y(n)
初始条件y(1) 1， 方程y(n) ax(n 1) x(n)
n 0时, y (0) ay(1) δ (0) 1 a n 1时, y (1) ay(0) δ (1) (1 a)a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) (1 a)a 2 n n时, y (n) (1 a)a n y (n) (1 a)a n u (n)
例2、求下列周期
(1) sin( n) 8 4 (2) sin( n) 5 1 (3) cos( n) 5 4 (4) sin( n) sin( n) 8 5

N 16
N 5
非周期信号

N 80
二、序列的运算
1． 加法和乘法 序列之间的加法和乘法，是指同一时 刻的序列值逐项对应相加和相乘。
x(n) a u(n)， a为实数
n
5． 正弦序列
x(n) A sin(n )
6． 复指数序列
x(n) e
( j ) n
7． 周期序列 定义： 如果对所有n存在一个最小的正整数N， 使下面等式成立：
x(n) x(n N ),
n
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。
- n
思考：序列的表示方法有哪些？
一、典型序列
1． 单位采样序列δ(n)
1 (n) 0 n0 n0

单位采样序列的作用：表示任意序列
x ( n)
m
x(m) (n m)

例1. 写出图示序列的表达式
x(n) (n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 1.5 (n 3)

1.1 引

言
信号的定义： 载有信息的，随时间变化的物理量或 物理现象。 信号的分类：

ห้องสมุดไป่ตู้
时域连续信号 模拟信号 时域离散信号 数字信号
系统定义： 系统分类： 时域连续系统 模拟系统 时域离散系统 数字系统

一．单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为
u (t )
1
0 u (t ) 1

典型信号的卷积
x ( n) * ( n) x ( n) x ( n) * u ( n)
m
x(m)
n
n / 2 0 n 3 3 n 0 n 2 例6、设x(n) ，h(n) 其他 其他 0 0 求x(n) * h(n)
3 3 答案： x(n) * h(n) {0, ,4,7,4， } 2 2
差分方程y(n) ax(n 1) x(n)
得
n 0时, y (0) ay(1) δ (0) 1 n 1时，y (1) ay(0) δ (1) a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) a 2 n n时, y (n) a n y ( n) a n u ( n)
二、时不变系统
如果系统对输入信号的运算关系T［· ］在整个运 算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号 的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称 为时不变系统，用公式表示如下：
y(n) T x(n)
y(n n0 ) T x(n n0 ) （n0为整数）
例8、判断y(n)=nx(n)代表的系统是否是时不变系统。

0
单位冲激信号
t
从下面三点来理解冲激信号
(1)
(2)
(t ) (t )
除了 t 0之外取值处处为零；
在 t 0 处为无穷大；
(3) 在包含
(t ) 出现的位置的任意区间范围内面积为 1。

0
0
(t )dt (t )dt 1


二．单位冲激信号
延时的单位冲激信号
解：（）因果性： 1 由于n 0时，h(n) 0，因此系统是因果的。 （2）稳定性 : 1 | a | 1 n | h(n) | | a | 1 | a | n n 0 | a | 1 | a | 1时，系统稳定； | 1时，系统不稳定。 |a
1.3 时域离散系统
y(n) T x(n)
一、线性系统
系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系
统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的 输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即
y1 (n) T x1 (n)
y2 (n) T x2 (n)
可加性：T x1 (n) x2 (n) y1 (n) y2 (n) 齐次性：T ax1 (n) ay1 (n)

1.4 时域离散系统的输入输出描述 法——线性常系数差分方程

N阶线性常系数差分方程表示：
a y ( n i ) b x( n j )
i 0 i j 0 j
N
M
a0 1
式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序 列和输出序列，ai和bj均为常数.
线性常系数差分方程的求解
h(n) 0, n 0

判断一个系统是否为因果，有两种方法。定义法和 充要条件，后者只对LTI系统有效。

稳定性：有界输入（指幅度有界） ，有界输出
LTI系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉 冲响应绝对可和，即
n
| h(n) |

例9、设LTI系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式 中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。
绪论
数字信号处理的对象是数字信号. 数字信号处理是采用数值计算的方法完成 对信号的处理.

数字信号处理的特点
灵活性 高精度和高稳定性 便于大规模集成 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能

第1章 时域离散信号和时域离散系统
掌握常见时域离散信号的表示及运算。 掌握时域离散系统的线性、时不变性、因 果性及稳定性的含义及判别方法。 掌握采样定理。
单位脉冲响应
h(n) yzs (n) |x( n) ( n)
LTI系统的输出
y(n) x(n) h(n)
解释：LTI系统

系统的级联：

系统的并联：
四、系统的因果性和稳定性

因果性：当且仅当信号激励系统时，才产生响应的 系统，也称为不超前响应系统。

LTI系统具有因果性的充要条件：
例7、判断y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表系统的 线性性质。
解：设输入x1 (n)与x2 (n)所对应的输出分别为 1 (n)与y2 (n) y 设x3 (n) m1 x1 (n) m2 x2 (n)，则输出为 y3 (n) ax3 (n) b am1 x1 (n) am2 x2 (n) b m1 y1 (n) m2 y2 (n) 故系统是非线性的。
(t t0 )
(1)
(t t )dt 1 0 (t t0 ) (t t0 ) 0
0
t0
延时的冲激信号
t
冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到
脉冲信号是偶函数； 脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小； 脉冲高度逐渐变大，直至无穷大； 脉冲面积一直保持为 1。
t 0 t 0
0
单位阶跃信号
t
延时的单位阶跃信号
u (t t0 )
0 u (t t0 ) 1
t t0 t t0
1
0
t0
延时的阶跃信号
t
二．单位冲激信号
单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义
(t )
(1)
(t ) 1 dt (t ) 0 (t 0)
抽取： x(Dn)是x(n)序列每连续D点取一点 形成的序列， D为正整数 。 零值插入： x[(1/C)n]表示把序列的两个相 邻抽样值之间插入C-1个零值， C为正整数 。
例5 、已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
思考： x(3n)及x(n/3)呢？
5. 卷积和 定义：
x ( n ) * h( n)
2． 移位
移位序列x(n－n0) ，当n0>0时, 称为x(n)的 延时序列；当n0<0时，称为x(n)的超前序列。 例3 已知x(n)波形，画出x(n-2)及x(n+2)波形图。
3. 翻转 以纵轴为对称翻转。 例4、已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
4. 尺度变换（抽取和零值插入）
三、抽样信号(Sampling Signal)
sint Sa(t ) t
性质：
1
Sa(t )
2π
πO
π
t
3π
① ② ③
Sa(t ) Sa(t )
偶函数
t 0
t 0， t ) 1，即 limSa(t ) 1 Sa(
④
⑤
Sa(t ) 0, t nπ ，n 1, 2,3 sin t sin t π 0 t d t 2 , t d t π limSa(t ) 0
t
四．冲激响应
1．定义 系统在单位冲激信号 (t ) 作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t )
H
h(t )
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应
(t )
h(t ) ，h(t )不同，说明其系统特性不同，
冲激响应可以衡量系统的特性。

经典解法（实际中很少采用）
递推解法（方法简单，但只能得到数值解，
不易直接得到公式解）

变换域法（Z域求解，方法简便有效）
递推解法
例10、设因果系统用差分方程
y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n) 若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。
解：由初始条件 (1) 0及 y