(整理)函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性

基础知识

一、函数的单调性 1． 单调性概念

如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、

②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.

注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.

2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

在某个区间(,)a b 内，如果/

()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/

()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念

如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。 5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =

三、函数的周期性 6．周期性概念

如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

学习重点

一、函数的单调性

1．函数单调性的证明方法

（1）定义法：①任取1212,,x x M x x ∈<且；②论证1212()()()()f x f x f x f x <>（或）③根据定

义，得出结论。

（2）导数法

2． 若要证明()f x 在区间[,]a b 上不是单调函数，只要举出反例即可。 3． 如果知道(),()f x g x 的单调性，判断()()()F x f x g x =±的单调性

4． 复合函数的单调性：“同增异减”

设复合函数y= f [g(x )],其中u =g(x ) , A 是y= f [g(x )]定义域的某个区间，B 是g(x ) 的值域

①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y= f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是增函数；

②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y= f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是减函数。

5． 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。 6． 运用函数的单调性可以解“含f 的抽象函数”的不等式。 二、函数的奇偶性

7． 函数奇偶性的证明方法：定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。 8．要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证 f (a )±f (－a )≠0

9．如果知道(),()f x g x 的奇偶性，判断()()()F x f x g x =±，()()()F x f x g x =⋅，

()()()

f x F x

g x =的奇偶性。 三、函数的周期性

1．f (x+T )= f (x )常常写作()()22

T T f x f x +

=-。 2．若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||

T ω

3．函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。

例题讲评

例1．已知函数f (x )=))(6(3)4(2

3

R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。 (1)

求m , n 的值；（2）试用单调性的定义证明：()f x 在区间[2,2]-上是单调函数.

例2．设 f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足,

22(25)(21)f a a f a a -+-<++求实数a 的取值范围。

例3．判断下列函数的奇偶性：

1(1)(0)1612

(1)();(2)()0(0)21(1)(0)

x

x

x

n x x x f x f x x n x x x ⎧+->⎪++===⎨⎪

-+-<⎩ 222(3)()1(111)f x og x x =-+-+

例4．（1）)(x f 是定义在R 上的奇函数,它的最小正周期为T, 则)2

(T

f -

的值为 A ．

2

T

B ．0

C ．T

D ．－

2

T （2）定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(0)0f ≠，

且(1)0f =，则()f x 是以 为一个周期的周期函数.

（3）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]

时，f (x )=2x －1，当x ∈[－4，0]时，f (x )的表达式为.___________

练习题

一、选择题 1．若函数1

()21

x

f x =

+, 则该函数在(,)-∞+∞上是 A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值

2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 A ．(-∞,2)

B ．(2,+∞)

C ．(-∞,-2)(2,+∞)

D ． (-2,2)

3．给出下列函数：①3

x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x

x

y -+=22，其中是偶函数的有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2 ]时，f (x )是减函数，设),2

1(log 8

f a = b= f (7.5)，c= f (-5),则a 、b 、c 的大小是