(整理)函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性
基础知识
一、函数的单调性 1． 单调性概念
如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；
②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.
注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.
2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(,)a b 内，如果/
()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增； 如果/
()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念
如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =
三、函数的周期性 6．周期性概念
如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

学习重点
一、函数的单调性
1．函数单调性的证明方法
（1）定义法：①任取1212,,x x M x x ∈<且；②论证1212()()()()f x f x f x f x <>（或）③根据定
义，得出结论。

（2）导数法
2． 若要证明()f x 在区间[,]a b 上不是单调函数，只要举出反例即可。

3． 如果知道(),()f x g x 的单调性，判断()()()F x f x g x =±的单调性
4． 复合函数的单调性：“同增异减”
设复合函数y= f [g(x )],其中u =g(x ) , A 是y= f [g(x )]定义域的某个区间，B 是g(x ) 的值域
①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y= f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是增函数；
②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y= f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y= f [g(x )]在A 上是减函数。

5． 奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。

6． 运用函数的单调性可以解“含f 的抽象函数”的不等式。

二、函数的奇偶性
7． 函数奇偶性的证明方法：定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。

8．要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ，验证 f (a )±f (－a )≠0
9．如果知道(),()f x g x 的奇偶性，判断()()()F x f x g x =±，()()()F x f x g x =⋅，
()()()
f x F x
g x =的奇偶性。

三、函数的周期性
1．f (x+T )= f (x )常常写作()()22
T T f x f x +
=-。

2．若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||
T ω
3．函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。

例题讲评
例1．已知函数f (x )=))(6(3)4(2
3
R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。

(1)
求m , n 的值；（2）试用单调性的定义证明：()f x 在区间[2,2]-上是单调函数.
例2．设 f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足,
22(25)(21)f a a f a a -+-<++求实数a 的取值范围。

例3．判断下列函数的奇偶性：
1(1)(0)1612
(1)();(2)()0(0)21(1)(0)
x
x
x
n x x x f x f x x n x x x ⎧+->⎪++===⎨⎪
-+-<⎩ 222(3)()1(111)f x og x x =-+-+
例4．（1）)(x f 是定义在R 上的奇函数,它的最小正周期为T, 则)2
(T
f -
的值为 A ．
2
T
B ．0
C ．T
D ．－
2
T （2）定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(0)0f ≠，
且(1)0f =，则()f x 是以 为一个周期的周期函数.
（3）已知定义在R 上的函数y= f (x )满足f (2+x )= f (2－x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0，2]
时，f (x )=2x －1，当x ∈[－4，0]时，f (x )的表达式为.___________
练习题
一、选择题 1．若函数1
()21
x
f x =
+, 则该函数在(,)-∞+∞上是 A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值
2．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 A ．(-∞,2)
B ．(2,+∞)
C ．(-∞,-2)(2,+∞)
D ． (-2,2)
3．给出下列函数：①3
x x y -=，②x x x y cos sin +⋅=，③x x y cos sin ⋅=， ④x
x
y -+=22，其中是偶函数的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2 ]时，f (x )是减函数，设),2
1(log 8
f a = b= f (7.5)，c= f (-5),则a 、b 、c 的大小是
A ．a > c > b
B ．a >b>c
C ．b>a > c
D ．c> a >b
5．若f (x )是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数, 又(3)0f -=，则x ·f (x )＜0的解集是 A ．{x |-3＜x ＜0或x ＞3}
B ．{x |x ＜-3或0＜x ＜3}
C. {|33}x x x -<>或
D.{|303}x x x -<<<<或0
6．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是 A ．)1()43(2+-≥-a a f f
B ．)1()43(2
+-≤-a a f f
C ．)1()4
3(2
+-=-a a f f D ．以上关系均不确定
7．)(x f 是定义在R 上，以2为周期的偶函数，]0,1[,)(,]3,2[-∈=∈x x x f x 则当时 时,)(x f 的表达式为
A ．4+x
B ．x +-2
C ．2|1|++x
D ．3|1|++-x
8．对于函数f x ()=1g
x
x
-+11的奇偶数性，下列判断中正确的是 A ．是偶函数 B ．是奇函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 9．奇函数y = f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）= x -1，则函数f （x -1）
的图象为
10．设f (x )为奇函数，对任意x ∈R ，均有f (x +4)=f (x )，已知f (-1)=3，则f (-3)等于 A ．3 B ．-3 C ．4 D ．-4 11．设函数f (x )是定义在R 上以3为周期的奇函数，若f (1)＞1，f (2)＝2a －3
a ＋1，则
A ．a ＜23
B ．a ＜23且a ≠-1
C ．a ＞23或a ＜-1
D .-1＜a ＜2
3
12．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ．()sin f x x = B ．()1f x x =-+ C ．()1()2x x
f x a a -=+ D ．2()ln 2x f x x
-=+
二、填空题
13．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 14．若函数f (x )=4x 3－ax +3的单调递减区间是)2
1,21(-，则实数a 的值为 . 15．若函数)2(log )(22a x x x f a ++
=是奇函数，则a =
16． 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f
(4)+ f (5)=_____________. 三、解答题
17．已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)=1，设F (x )= f (x )+)
(1
x f ，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论。

18．设函数3
2
2
()3(1)1f x kx k x k =+--+，
（1）当k 为何值时，函数f (x )单调递减区间是（0，4）； （2）当k 为何值时，函数f (x )在（0，4）内单调递减。

19．已知函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T =5，函数y = f (x ) (－1≤x ≤1)是奇函数，又知y =f (x )在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x =2时函数取得最小值，最小值为－5。

（1）证明：f (1)+f (4)=0；
（2）试求y =f (x )在［1，4］上的解析式； （3）试求y =f (x )在［4，9］上的解析式。

函数的单调性、奇偶性与周期性参考答案
（三）、例题讲评
例1．解：(1)由于f (x)图象关于原点对称，则f (x)是奇函数,
由()()f x f x -=-
得恒成立，)6(3)4()6(3)4(2323--+---=-++-+-n mx x m x n mx x m x
[]()()()()()(),
,0,
012022)12)(()12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(2121222121212122212121232131212
12132x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x f n m n x m >>-<-++<-≤<≤--++-=---=-<-∈-====-+-即从而，知，由且任取可知由恒成立，必有即
例2．∵)(x f 为R 上的偶函数，
,
08
7
)41(212,
04)1(52),
12()52(),52()]52([)52(222222222>++=++>+-=+-++<+-∴+-=-+--=-+-∴a a a a a a a a f a a f a a f a a f a a f 而不等式等价于
∵)(x f 在区间)0,(-∞上单调递增，而偶函数图象关于y 轴对称， ∴)(x f 在区间（0，+∞）上单调递减，
,
140431
252)12()52(2
2222<<-⇒<-+⇒++>+-++<+-∴a a a a a a a a a f a a f 得由
∴实数a 的取值范围是（－4，1）.
例3．（1）函数定义域为R ，
)(2
211614161211161222116)(x f x f x
x x x x x x x x x x =++=++∙=++=++=----， ∴f (x )为偶函数；
（另解）先化简：14414116)(++=++=-x
x x
x x f ，显然)(x f 为偶函数；
从这可以看出，化简后再解决要容易得多.
（2）须要分两段讨论：
①设);()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n x
x n x x n x f x x -=-+-=-+=++=-∴<-∴> ②设)()1(1111)1(1)(,0,0x f x x n x
x n
x x n x f x x -=-+--=-+-=--+-=-∴>-∴<
③当x =0时f (x )=0，也满足f (－x )=－f (x )；
由①、②、③知，对x ∈R 有f (－x ) =－f (x )， ∴f (x )为奇函数；
（3）10
1012
22
=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-x x x ，∴函数的定义域为1±=x ，
∴f (x )=log 21=0(x =±1) ，即f (x )的图象由两个点 A （－1，0）与B （1，0）组成，这两点既关于
y 轴对称，又关于原点对称，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数；
例4（1）选B; (2) 4; 提示：(1)(1)2()(1)0(1)(1)f x f x f x f f x f x ++-==⇒+=--
[(1)1][(1)1]()(4)()f x f x f x f x f x ⇒++=-+-=-⇒+=
（3）由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：
①若x ∈[－2，0]，－x ∈[0，2]，
∵f (x )为偶函数， ∴当x ∈[－2，0]时，f (x )= f (－x )=－2x －1, ②若x ∈[－4，－2) ， ∴4+ x ∈[0，2)，
∵f (2+x )= f (2－x )， ∴f (x )= f (4－x )，
∴f (x )= f (－x )= f [4－（－x ）]= f (4+x )=2（x +4）－1=2x +7; 综上，27
(42)().21
(20)
x x f x x x +-≤≤-⎧=⎨---<≤⎩
（一） 练习题 一、选择题 题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12 答案
A
D B
B A A D
B
D B
D
D
7．提示：3223()x x f x x -≤≤-⇒≤-≤⇒-=-即当32x -≤≤-时，()f x x =- 当10322(2)2()(2)2x x f x x f x f x x -≤≤⇒-≤-≤-⇒-=-+⇒=-=-+
(2006)(50142)(2)f f f =⨯+=,(2)(2)(1)2006f f g =-=-=
11. 提示：23
(1)(1)1,(2)(13)(1)111
a f f f f f a --=-<-=-+=-<-⇒<-+ 二、填空题
13．),31()1,(∞+---∞ ； 14．3 ； 15．2
2
16．0 三、解答题
17．在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)= f (x 1)，
],
)
()(1
1)][()([])
(1
)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F -
-=+-+
=-
∵f (x )是R 上的增函数，且f (10)=1，∴当x <10时0< f (x )<1, 而当x >10时f (x )>1; ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1, ∴0< f (x 1)f (x 2)<1, ∴)
()(1
121x f x f -
<0, ∴F (x 2)< F (x 1)；
②若x 2 >x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1 , ∴f (x 1)f (x 2)>1, ∴)
()(1121x f x f -
>0, ∴ F (x 2)> F (x 1)；
综上，F (x )在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数. 18．对f (x )求导得：/
2
()36(1)f x kx k x =+-，
（1）∵函数f (x )的单调递减区间是（0，4），
∴不等式f (x )<0的解集为{x |0<x <4}, 得k x 2+2(k －1)x <0， ∴x =0或4是方程k x 2+2(k －1)x =0的两根，
将x=4代入得k=
31，由二次不等式性质知所求k 值为3
1. （2）命题等价于k x 2+2(k －1)x <0对x ∈（0，4）恒成立，
设g (x )=k x +2(k －1), ∵g (x )为单调函数，.
31
0)4(0)0(≤⇒⎩⎨⎧≤≤k g g 则
（或分离变量）)4,0(2
2
∈+<⇔x x k 对恒成立， 记3
1,31)4()(,)(,22)(≤∴=>∴+=
k g x g x g x x g 为单调减函数 . 19．(1)证明：略.
(2)解：f (x )=2(x －2)2
－5(1≤x ≤4);
(3)解：f (x )=⎩
⎨⎧≤<--≤≤+-96 ,5)7(264
,1532
x x x x。