22 热传导方程的第二齐边值问题
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数学物理方程
陈有亮 上海理工大学环境与建筑学院
第2章 分离变量法和积分变换法
➢ §1 齐次波动方程的第—边值问题 ➢ §2 齐次热传导方程的定解问题 ➢ §3 二维拉普拉斯方程 ➢ §4 非齐次定解问题的解法 ➢ §5 积分变换法 ➢ 习题二
§2 齐次热传导方程的定解问题
➢ 2.1 热传导方程的第二齐边值问题 ➢ 2.2 傅里叶积分 ➢ 2.3 齐次热传导方程的初值问题 ➢ 2.4 傅里叶积分解的物理意义
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 把u(x,t)= X(x)T(t) 代入齐次热传导方程(2.1)可得
➢即
T'(t) a2T(t)
X"(x) X(x)
T '(t)a 2 T (t) 0
X " ( x ) X ( x ) 0
(2 .4 )
( 2 .5 )
➢ 由齐边值条件 (2.2)可得
➢
X'(0)T(t) =0, X'(l)T(t) =0 (2.6)
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 考虑一维热传导方程的第二齐边值问题
a u t2 x 2 u 2, 0 x l, t 0
u 0 , u 0 ,t 0 xx 0 xx l
u ( x )0 ,x l t 0
(2 .1 ) (2 .2 ) ( 2 .3 )
➢ 其中 φ(x)为已知函数。
解。
2.2 傅里叶积分
➢ 为了求解齐次热传导方程的初值问题, 我们先引入傅里叶积 分的概念。
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
来自百度文库
➢ 由(2.5)和(2.6)可得特征值问题
X "(x)X(x)0
X'(0)X'(l)0
(2.7) (2.8)
➢ 类似上一节求特征值的方法, 可得(2.7), (2.8)的全部
特征值为
n nl 2,n0,1,2, ➢ 相应的特征函数为
(2.9)
Xn(x)conlsx,n0,1,2,
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)u(x,0)C 0n 1C nco n lx s
➢ 将φ(x)按余弦级数展开,可得
(x)20n 1nconlsx
➢ 其中
n2 l0 l()co n lsd ,n0 ,1 ,2 , .
➢ 由函数展开成傅里叶级数的唯一性，可得
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.4)和(2.9)可得
(na)2t
Tn(t)Cne l
➢则
un(x,t)C ne (n la)2tco nlx s,n0,1 ,2,
➢故
u (x ,t) C 0 n 1 C n e (n la )2 tcn o lxs
(2 .1)0
➢ 把(2.10)代入初值条件(2.3), 可得
C020
(2.1)1
Cnn2 l0l()consl d,n0,1,2,.(2.1)2
➢ 将(2.11), (2.12)代入 (2.10) 后, 级数(2.10)在形式
上既满足方程(2.1), 又满足边界条件(2.2)和初值条件
(2.3), 当函数φ(x)满足一定条件时, 级数(2.10)是收
敛的。因此，(2.10)确实代表定解问题(2.1)-(2.3)的
陈有亮 上海理工大学环境与建筑学院
第2章 分离变量法和积分变换法
➢ §1 齐次波动方程的第—边值问题 ➢ §2 齐次热传导方程的定解问题 ➢ §3 二维拉普拉斯方程 ➢ §4 非齐次定解问题的解法 ➢ §5 积分变换法 ➢ 习题二
§2 齐次热传导方程的定解问题
➢ 2.1 热传导方程的第二齐边值问题 ➢ 2.2 傅里叶积分 ➢ 2.3 齐次热传导方程的初值问题 ➢ 2.4 傅里叶积分解的物理意义
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 把u(x,t)= X(x)T(t) 代入齐次热传导方程(2.1)可得
➢即
T'(t) a2T(t)
X"(x) X(x)
T '(t)a 2 T (t) 0
X " ( x ) X ( x ) 0
(2 .4 )
( 2 .5 )
➢ 由齐边值条件 (2.2)可得
➢
X'(0)T(t) =0, X'(l)T(t) =0 (2.6)
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 考虑一维热传导方程的第二齐边值问题
a u t2 x 2 u 2, 0 x l, t 0
u 0 , u 0 ,t 0 xx 0 xx l
u ( x )0 ,x l t 0
(2 .1 ) (2 .2 ) ( 2 .3 )
➢ 其中 φ(x)为已知函数。
解。
2.2 傅里叶积分
➢ 为了求解齐次热传导方程的初值问题, 我们先引入傅里叶积 分的概念。
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
来自百度文库
➢ 由(2.5)和(2.6)可得特征值问题
X "(x)X(x)0
X'(0)X'(l)0
(2.7) (2.8)
➢ 类似上一节求特征值的方法, 可得(2.7), (2.8)的全部
特征值为
n nl 2,n0,1,2, ➢ 相应的特征函数为
(2.9)
Xn(x)conlsx,n0,1,2,
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)u(x,0)C 0n 1C nco n lx s
➢ 将φ(x)按余弦级数展开,可得
(x)20n 1nconlsx
➢ 其中
n2 l0 l()co n lsd ,n0 ,1 ,2 , .
➢ 由函数展开成傅里叶级数的唯一性，可得
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.4)和(2.9)可得
(na)2t
Tn(t)Cne l
➢则
un(x,t)C ne (n la)2tco nlx s,n0,1 ,2,
➢故
u (x ,t) C 0 n 1 C n e (n la )2 tcn o lxs
(2 .1)0
➢ 把(2.10)代入初值条件(2.3), 可得
C020
(2.1)1
Cnn2 l0l()consl d,n0,1,2,.(2.1)2
➢ 将(2.11), (2.12)代入 (2.10) 后, 级数(2.10)在形式
上既满足方程(2.1), 又满足边界条件(2.2)和初值条件
(2.3), 当函数φ(x)满足一定条件时, 级数(2.10)是收
敛的。因此，(2.10)确实代表定解问题(2.1)-(2.3)的