第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动

k = 2
a
即
2 ? a
k
推广到三维情况，电子速度为
1 v h kE
电子速度的方向为k空间中能量梯度的方向，即垂直于 等能面。因此，电子的运动方向决定于等能面的形状， 在一般情况下，在k空间中，等能面并不是球面，因此， v的方向一般并不是k的方向，只有当等能面为球面， 或在某些特殊方向上，v才与k的方向相同。
§7.1准经典运动
一、波包与电子速度
在晶体中，可以用Bloch函数来组成波包。由于波 包中含有能量不同的本征态，因此，必须用含时间的 Bloch函数。
对于一维情况，设波包由以k0为中心，在k的范 围内的波函数组成，并假设k很小，可近似认为
uk x uk0 x 不随k而变。
对于一确定的k ，含时的Bloch函数为
间距越大，J1越小，则有效质量就越大。
在能带底点：k
=
(0,
0,
0)，mx
my
mz
m
h2 2a 2 J1
0
这时有效质量张量退化为一个标量。
mx
m
0
0
0 mx 0
d dt
1 h
k E
1 h
dk dt
kk E
其分量形式为
a
dv dt
d 1 E
dt
h
k
1 3 dk h 1 dt
k
E
k
1 h2
3
F
1
2E k k
＝1, 2, 3
矩阵形式
2E
v&x
v&y
v&z
1 h2
k
2 x
2E
kykx
2E
kzkx
2E
k xk y
kxkz
2E
kykz
2E
kz2
称为倒有效质量张量。显然，倒有效质量张量是一个对 称张量。需指出的是电子的加速度方向并不一定与外力 的方向一致，这是由倒有效质量张量的性质所决定的。
由于倒有效质量张量是对称张量，如将kx、ky、kz取为 张量的主轴方向，就可将其对角化。
2E
k
2 x
0
0
1
mx
0
0
1 m
1 h2
0
2E
k
2 y
1
0 0
my
0
0
0
2
E
0
k
2 z
0
1 mz
这时有
dvx dt
1 mx
Fx ,
dvy dt
1 my
Fy ,
dvz dt
1 mz
Fz
例：求简单立方晶体s态电子的有效质量。
E k s J0 2J1 coskxa coskya coskza
k 2
令
w
x
d
dk
k0
t
sin
k 2
w
2
k 2
w
波函数集中在尺度为 2
的范围内，
k
波包中心为：w＝0。
2 0 2
w
k
k
有
x
d
dk
k0
t
1 h
dE dk
k0
t
E k h k
若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为
v k0
dx dt
1 h
dE dk
k0
布里渊区的宽度：2/a ，而假设k很小，一般要求
第七章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
由于通常外加的场总是比晶体的周期场弱得多，因而
可以在周期场的本征态的基础上进行讨论。采用的方法有 两种：一是解含外场的波动方程
h2 2m
2
U
r V
E
通常情况下，这只能得到近似解；另一种方法是在一定条 件下，把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子来处 理。条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不考虑电子的衍射、干涉及碰撞等。
F m dv
dt
m
h2
d2E
dk 2
由于周期场中电子的能量E(k)与k的函数关系不是抛物 线关系，因此，电子的有效质量m*与k有关。在能带底，
E(k)取极小值，
d 2E dk 2 0
这时，m*>0；在能带顶，
E(k)取极大值，
d 2E dk 2 0
所以，m*<0 。
2. 三维情况
a
dv dt
电子运动速度的大小与k 的关系，以一维为例。在 能带底和能带顶，E(k)取 极值， dE 0 。
dk
因此，在能带底和能带 顶，电子速度v＝0。
而在能带中的某处，
d 2E dk 2
0
电子速度的数值最大，这种情况与自由电子的速度总
是随能量的增加而单调上升是完全不同的。
二、电子的准动量
在外场中，电子所受的力为F，在dt时间内，外场 对电子所做的功为Fvdt
k x,t eikxtuk x k E k / h
波包
x, t
e u k0
k 2
k0
k 2
i kx t
k
x dk
uk x uk0 x
uk0 x
e dk k0
k 2
i kx t
k0
k 2
令 k k0
k
0
d
dk
k0
x,t uk0 x eik0x0t
hk —— 电子的准动量。
三、电子的加速度和有效质量
晶体中电子准经典运动的基本关系式：
{v
1 h
kE
dk
F h
dt
由以上两式可直接导出在外力作用下电子的加速度。
1. 一维情况
a
dv dt
d dt
1 h
dE dk

1 h
dk dt
d 2E dk 2
h2
F
d2E dk 2
引入电子的有效质量：
有
根据功能原理，有
F vdt dE k E dk
F
h
dk dt
v
0
1 v h kE
在平行于v的方向上，
h
dk dt
和F的分量相等；当F
与速度v垂直时，不能用功能原理来讨论电子能量状态的
变化，但是我们仍可以证明在垂直于速度的方向上，
h
dk dt
和外力F的分量也相等。
F h dk
dt
上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式， 具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。
2E k k
2a
2
J1
cos
k
a
0
, 1, 2, 3
即kx , ky, kz为张量的主轴方向，由此可得
mx
h2
2E kx2
h2 2a 2 J1
cos kxa 1
my
h2
2E
k
2 y
h2 2a 2 J1
cos kya
1
mz
h2
2E
kz2
h2 2a2J1
cos kza
1
这表明有效质量的三个主分量均与J1成反比，若原子
k 2
k 2
exp
i
x
d
dk
k0
t
d
uk0
2 sin x e ik0x0t
k 2
x
d dk
k0
t
x
d dk
t
k0
为分析波包的运动，只需分析2，即几率分布即可。
2
x,t 2
uk0
x
2
sin
k 2
k 2
x
x
d dk
d dk k0
t
k0
t
2E
k
2 y
2E
k z k y
2E
kxkz 2E
k y k z 2E
Fx Fy Fz
kz2
与牛顿定律
v& 1 F m
相比可知，现在是用一个二阶
张量代替了 1 m
2E
k
2 x
1 m
1 h2
2E
kykx
2E
kzkx
2E
k xk y
2E
k
2 y
2E
k z k y
2E