不动点理论及其应用
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不动点理论及其应用
主要内容：
●不动点理论—压缩映像原理
●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用
目录：
一、引言
二、压缩映像原理
三、在微分方程中的应用
四、在中学数学中的应用
五、其它
一、 引言
取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，
那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。 这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理
定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）
设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射
距离空间又称为度量空间。
定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：
（1）。0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。),(),(x y y x ρρ=；
（3）。),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。