不动点理论及其应用

不动点理论及其应用
主要内容：
●不动点理论—压缩映像原理
●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用
目录：
一、引言
二、压缩映像原理
三、在微分方程中的应用
四、在中学数学中的应用
五、其它
一、 引言
取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，
那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。

这个重合点就是一个不动点。

函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。

二、 压缩映像原理
定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）
设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。

这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射
距离空间又称为度量空间。

定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。

X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：
（1）。

0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。

),(),(x y y x ρρ=；
（3）。

),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。

这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。

定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。

定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ， 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。

三、 在微分方程中的应用
定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧==.
00)(),
,(y x y y x f dx dy
假设 ),(y x f 在矩形区域
b y y a x x R ≤-≤-||,||:00
内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间
],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中
.|),(|max },,
min{),(y x f M M
a
a h R y x ∈>=
（1）。

传统的证明方法 通常，我们分成四步来证明：
a. 转换成等价的积分方程
⎰+=x
x dt y t f y y 0
),(0
b. 构造皮卡迭代序列
c. 证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解
d. 证明解唯一
（2）。

压缩映像原理证明
根据上面的理论，先定义 )(],[00I C h x h x C X =+-= 然后， 给一个度量 |)()(|max ),(t y t x y x I
t -=∈ρ
由积分方程 ⎰+=x
x dt y t f y y 0
),(0， 我们可以定义一个映射：
⎰+=x
x dt t y t f y x Ty 0
))(,())((0
我们要证明两点：
a. 任意 X x ∈， 则 X Tx ∈
b. 检验映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射
|
))(,())(,(|max 2|
))(,()(,(|max ),(0
t y t f t x t f h d y f d x f Ty Tx I
t t
x t
x I
t -≤-=∈∈⎰⎰ττττττρ
注意函数 ),(y x f 对 y 满足Lipschitz 条件： |,||),(),(|2121x x L x t f x t f -≤- 其中 L 是一个常数。

容易得到
)
,(2|
))(,())(,(|max 2|
))(,()(,(|max ),(0
y x hL t y t f t x t f h d y f d x f Ty Tx I
t t
x t
x I
t ρττττττρ≤-≤-=∈∈⎰⎰
因此，只要 h 取得适当小， 使得 12<hL ， 则映射
),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点y ，
使得
⎰+=x
x dt y t f y y 0
),(0
这样，存在与唯一性同时成立。

四、 在中学数学中的应用
例1， 假设定义在R 上的奇函数 )(x f 的图像上存在有限个不动
点，则不动点有奇数个。

证明：函数 )(x f 为奇函数，所以 )()(x f x f -=-，R x ∈
特别，取 0=x ， 则 0)0(=f 。

因此 0 是一个不动点。

如果 0≠c 是一个不动点，即c c f =)(， 那么 c c f c f -=-=-)()( 说明 c - 也是一个不动点， 而且 c c ≠-。

或者说，奇函数的非零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。

例2， 给定函数 b
x a
x x f ++=
3)(， b a , 为常数。

（1）。

如果函数)(x f 有两个关于原点对称的不动点，求b a ,应该满
足的条件。

（2）。

在（1）的条件下，取 )(,8x f y a == 的图像上 ',
A A 两点的
横坐标是函数)(x f 的不动点，P 为函数)(x f 图像上的另外一点，而且其纵坐标大于3，求点P 到直线'AA 距离的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。

解：设
0x 是函数)(x f 图像上的不动点，则有
00003)(x b
x a
x x f =++=
整理得 0)3(020=--+a x b x （*）
由题意知方程（*）有两个根，而且绝对值相等，符号相反。

由韦达定理得 ⎩⎨
⎧<-=-0
3a b
由此得 3
9
3)(,0a 3+-+
=>=x a x f b ， 故 9≠a 。

因此，b a ,应该满足的条件是：9,0a 3≠>=a b ，。

（2）。

在（1）的条件下，取 ,8=a 则 3
8
3)(++=x x x f 由
x x x =++3
8
3得函数 )(x f 的两个不动点 221=x ，222-=x 故 )22,22(A ， )22,22('--=A 设 ),(y x P ， 则 3>y 。

由
33
8
3>++x x ， 解得 3-<x 直线'AA 的方程为 x y =。

设点P 到直线'AA 的距离为 d 。

2
4622
1
]
631)3[(2
131)9(21|383|212||2=+≥+--+--=--+-=++-=-=）（x x x x x x x y x d
当且仅当 3
1
3--=
--x x ， 即 4-=x 时上式等号成立，此时， 4,4=-=y x
故点P 到直线'AA 距离的最小值为24，此时点P 的坐标为
)4,4(-。

五、 其它
a. 还有很多其它不动点定理
Brouwer 不动点定理: n 维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质，即 如果 n S 表示这个球，n n S S f →: 是任意连续函数，则存在一个点
n S x ∈0， 使得 00)(x x f =
在经济均衡理论中的应用
例如， 经典的Leontieff 模型。

假设每生产一个产品有 N 个生产者，N i P i ,...,2,1,=
i X 表示生产者 i P 的全部产品，ij x 表示i P 生产的产品被j P
消耗的全部总数。

定义 ij N
j i i x X Y 1
=∑-=
上式含义：i P 的全部产品数与由生产者N P P P ,...,,21消耗的总数之差。

i Y 称为商品 i 的“最后要求”。

闭合的Leontieff 模型假设 N i Y i ,...,2,1,0==。

i
ij ij X x a =
称为 “产品系数”。

如果 ij a 是常数， 那么 Y X A I =-)(， 其中 )(ij a A =， ),...,(1N X X X =， ),...,(1N Y Y Y =。

一般情况下，假设ij a 为正连续函数。

)(x f ij 称为 “要求函数”：表示当i P 的收益为x ， 而花费在由
j P 生产的产品 j G 上的资本总数。

显然，0)(=x f ii。

现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式
)(x f x N
j ij ∑= （1）
一般的经济规律认为， 生产者 i P 的收益 i x 按照这样的方式确
定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进产品的总值，用数学语言表示，有关系式 )(x f x N
i ij j ∑= （2）
现在，假设函数 ij f 是非线性连续函数，则可知存在点),...,(1N x x x = 适合关系式（2）。

定理：假设函数 ij f 都是正的连续函数，满足条件（1），则存在点),...,(1N x x x =适合关系式（2）。

Schauder 不动点定理: Banach 空间中每个凸紧集，对于连续映射有 不动点性质。

b. 在偏微分方程的处理中有很多应用
c. 引言中例子的证明
我们把大照片抽象成矩形 )(1ABCD K ，小照片抽象成矩形
)(''''2D C B A K 。

而照片的叠放可以看成是从 1K 到 12K K ⊂ 的连续
映射（由伸缩和旋转的连续形变）。

假设 那个不动点为 O 点， 见下图。

要证明的结论可以转化为：存在O 点， 使得 OAB ∆与''B OA ∆
相似。

证明：延长''B A 交AB 于点P ，然后过P A A ,,' 三点作圆1O ，过
P B B ,,' 作圆 2O ， 记圆1O 和作圆 2O 的另一个交点为O 。

因为点B P B O ,,,'在圆 2O 上， 所以 OBP A OB ∠=∠''。

（因为OBP BO B BP B PO B OP B A OB ∠=∠+∠=∠+∠=∠''''''） 又因为点P A A O ,,,'在圆1O 上，所以 OAP P OA ∠=∠'
因此，OAB ∆与''B OA ∆ 相似。

这就说明，在O 点上，大小照片中的“景物”是相同的。

思考题：A 是定义在 [2，4]上而且满足如下条件的函数 )(x ϕ组成的 集合：（1），对任意的]4,2[∈x ， 都有)2,1()(∈x ϕ；（2），存在常数
)10(<<L L ， 使得对任意 ]2,1[,21∈x x ， 都有
|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ。

（I ）。

设 31)(x x +=ϕ， ]4,2[∈x ， 证明：A x ∈)(ϕ。

（II ）。

设A x ∈)(ϕ，如果存在 )2,1(0∈x ， 使得 )2(00x x ϕ=，那么这样的 0x 是唯一的。

（III ）。

设A x ∈)(ϕ，任取 )2,1(1∈x ， 令 )2(1n n x x ϕ=+， ,...2,1=n
证明：给定正整数 k ， 对任意正整数p ， 成立不等式 .||1||121x x L L x x k k p
k --≤--+
（2006年广东高考第20题）
参考文献
[1] 张恭庆， 林源渠， 泛函分析讲义，北京大学出版社，2004年6月。

[2] 刘炳初，泛函分析，科学出版社，2005年1月。

[3] 杜珣，现代数学引论，北京大学出版社，1998年7月。