第一章-3 条件概率

概率论
例4 设袋中有 5 个红球 ,3 个黑球 ,2 个白球 , 试按
1 有放回抽样 ;2 不放回抽样 两种方式摸球三次
每次摸得一球 , 求第三次才摸得白球的概率 .
解 设 A 第一次未摸得白球 , B 第二次未摸得白球 , C 第三次摸得白球 . 则事件 "第三次才摸得白球" 可表示为 ABC .
AB1 A AB2
B2
S
P A P AB1 P AB2 P ABn
P Bi P A | Bi
i 1
概率论
P B1 P A | B1 P Bn P A | Bn

P A P Bi P A | Bi
概率论
定义 设试验 E 的样本空间为S , B1 , B2 ,, Bn
是 E 的一组事件 , 如果满足 1 Bi B j i j
B2
B3
B1
Bn1 Bn
2 B1 B2 Bn S
则称 B1 , B2 ,, Bn 为完备事件组 , 或称 B1 , B2 ,, Bn
B1 B2
B5
A B4
B7
B6
B8
每一原因Bi发生的 概率P(Bi)已知，其 对结果A的影响程度 P(A|Bi)已知
概率论
例6 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往
往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化.现在假设 人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%. 根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上 涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率 为40%，求该支股票将上涨的概率.
标准件
甲、乙共生产
1000 个
概率论
设B={零件是乙厂生产}
A={是标准件}
所求为P(AB) .
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
甲、乙共生产
若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?” 求的是 P(A|B) .
1000 个
B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.
A={掷出偶数点}， P(B )=1/6， P(B|A)=？
已知事件A发生，此时试验所有可能 掷骰子 结果构成的集合就是A，
A中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中. 于是 P(B|A)= 1/3.
容易看到
1 1 6 P ( AB ) P(B|A) 3 36 P ( A)
即
将A、B的位置对调，有 (2)和(3) 若 P(式都称为乘法公式 B)>0,则P(BA)=P(B,)P利用 (A|B) 它们可计算两个事件同时发生的概率 而 P(AB)=P(BA)
故
P(B)>0 , 则 P(AB)=P(B)P(A|B)
(3)
概率论
注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 请看下面的例子
概率论
乘法定理可以推广到多 个事件的积事件的情况.
设 A、B、C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
P ABC P C | AB P B | AP A.
一般地 , 设有 n 个事件 A1 , A2 , , An , n 2 , 并且
P A1 A2 An P An | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
为 S 的一个划分 .
注意 :若 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间的一个划分 , 则对每次试验 , 事件组 B1 , B2 ,, Bn 中必有且仅有
一个事件发生.
可见 , S 的划分是将 S 分割成若干个互斥事件 .
概率论
定理 1 设试验 E 的样本空间为S , B1 , B2 ,, Bn 为 S 的一个划分, 且 P Bi 0 i 1,2,, n, , 则对
1 有放回抽样
8 8 2 P A , P B | A , P C | AB , 10 10 10
概率论
P ABC P C | AB P B | AP A 2 8 8 16 . 10 10 10 125
2 无放回抽样
8 7 2 P A , P B | A , P C | AB , 10 9 8
概率论
例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准 件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂 生产的标准件的概率是多少？
设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件} 所求为P(AB). 300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
P A1 A2 An1 0 , 则由条件概率的定义 , 可得
P A3 | A1 A2 P A2 | A1 P A1
概率论
乘法公式应用举例
例3（波里亚罐子模型） r个红球, t个白球 一个罐子中包含r个红球和t个白球. 随机地抽 取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 a 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种抽取进行 四次 ，试求第一、二次取到红球且第三、四次取 到白球的概率.
B
AB A
S
概率论
2. 条件概率的定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
(1)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
B
AB A

概率论
条件概率P(B|A)与P(B)的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设B 是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下 事件B发生的可能性大小. 而条件概率 P(B|A) 是在原条件下又添加 “A 发生 ” 这个条件时B发生的可能性大小, 即 P(B|A) 仍是概率.
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
概率论
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 . 诸Bi是原因 B3 A是结果
概率论
用乘法公式容易求出
P ( A1 A2 A3 A4 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A4 A1 A2 A3 )
r ra t ta r t r t a r t 2a r t 3a
当 a > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次 也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次 发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
解 以Ai ( i 1,2,3)表示事件" 透镜第 i 次落下打破" ,
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 9 7 1 3 (1 )(1 )(1 ) . 10 10 2 200
概率论
三、全概率公式
看一个例子: 有三个箱子,分别编号为1,2,3. 1号箱装有1个红 球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红 球的概率.
解 记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球}
1
2
3
其中 B1、B2、B3两两互斥 A发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，
P(A)>0
掷骰子
2)从加入条件后改变了的情况去算 例：B={掷出2 点}， A={掷出偶数点} P(B|A）=
A发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
1 3
在缩减样本空 间中B所含样 本点个数
概率论
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解 设B={掷出点数之和不小于10} A={第一颗掷出6点}
P ABC P C | AB P B | AP A
2 7 8 7 . 8 9 10 45
概率论
例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
P ( B1 B2 A) P ( B1 A) P ( B2 A) P ( B1B2 A) P ( B A) 1 P ( B A) P ( B1 B2 A) P ( B1 A) P ( B1B2 A)
概率论
4. 条件概率的计算 1) 用定义计算:
百度文库
P ( AB ) P ( B | A) , P ( A)
概率论
即 且
A= AB1+AB2+AB3， AB1、AB2、AB3 两两互斥 P(A)=P( AB1)+P(AB2)+P(AB3)
运用加法公式得到
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
P ( A) P ( Bi ) P ( A｜Bi )
i 1
3
代入数据计算得：P(A)=8/15 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
概率论
§5 条件概率
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
概率论
一、条件概率
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率， 将此概率记作P(B|A).
一般地 P(B|A) ≠ P(B)
概率论
例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}，
i 1
全概率公式 .
全概率公式的应用：在计算某一较复杂的事件的 概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或 不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相 容的部分的并，分别计算概率，然后求和.全概率 公式使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简， 得以解决.
概率论
我们还可以从下面这个角度去理解全概率公式. 某一事件 A 的发生有各种可能的原因 ，如果 A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
应用 定义
P ( AB ) 3 36 1 解法1 P ( B | A) P ( A) 6 36 2 3 1 解法2 P ( B | A) 6 2
在A发生后的缩减样本 空间中计算
概率论
二、 乘法公式
P ( AB ) 由条件概率的定义： P ( B | A) P ( A)
若已知P(A), P(B|A)时, 可以反求P(AB). 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)
概率论
事实上，对于古典概型，
设样本空间S包含n个样本 点，事件A包含m个样本 点，事件AB包含k个样本 点，则
k k n P ( AB ) P ( B | A) m m n P ( A)
B
AB
A
S
概率论
同理，对于几何概型
m( AB) P( A | B) m( B ) m( AB) m( S ) m( B ) m( S ) P( AB) P( B)
P(B) 与 P(B |A) 的区别在于两者发生的条件不同,它 们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
概率论
3. 条件概率的性质
非负性
P ( B A) 0
P ( A) 1


规范性
可列可加性 P Bi A P Bi A i 1 i 1
概率论
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进a个与所抽出 的球具有相同颜色的球. 解 r个红球, t个白球 设 Ai ={第i次取出是红球}, i=1,2,3,4
Ai ={第i次取出是白球}， i=1,2,3,4
A1 A2 A3 A4 表示事件“连续取四个球，第一、第二个 是红球，第三、四个是白球. ”
样本空间中的任一事件 A , 恒有
证明
P A P Bi P A | Bi
因为
i 1

AB1 AB2 ABn
并且
AB1 B2 Bn
ABi AB j , i j , 所以
A AS
B1
Bn ABn