(完整版)步步高理科数学专题一高考中的导数应用问题

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专题一高考中的导数应用问题

自我检祠卄闿

1.

函数f(x)= (x — 3)e x 的单调递增区间是 ( )

A . (— a, 2)

B . (0,3)

C . (1,4)

D . (2,+^ )

答案 D

解析 函数 f(x)= (x — 3)e x 的导数为 f ' (x) = [(x — 3) e x ]' = 1 e x + (x — 3) e x = (x — 2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系， 得当f ' (x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f ' (x)

=(x — 2)e x >0，解得 x>2. 1 n r . r .

2. 已知函数f(x) = asin 2x — ~sin 3x (a 为常数)在x = 3处取得极值，则 a 的值为

3 3

( )

A . 1

B . 0

C.1

1

D

.- 2

答案 A

解析

•/ f ' (x) = 2acos 2x — cos 3x ,

• f ' n 3 = c

2 2acos §n — cos 齐 0,

••• a = 1，经验证适合题意. 3.

函数f(x)= x 3— 3x — 1,若对于区间［—3,2］上的任意X 1, X 2,都有|f(x 1)— f(x 2)|w t ，则实数t 的最小值是 (

)

A . 20

B . 18

C . 3

D . 0

答案 A

解析 因为 f ' (x)= 3x 2 — 3 = 3(x — 1)(x + 1),令 f ' (x) = 0,得 x = ±，可知一1,1 为函数 的极值点.

又 f(— 3) =— 19, f( — 1) = 1, f(1) = — 3, f(2)= 1，所以在区间［—3,2］上 f(x)max = 1 , f(x)min =—19.

由题设知在区间［—3,2］上f(x)max 一 f(x) min W t ,从而t 》20 , 所以t 的最小值是20.

答案 ［e ,+a )

I 考点自测

已知函数f(x)= In a + In x

在［1 , + )上为减函数，则实数 a 的取值范围为

1

x — ln a + ln x

解析

,

x 1 — In a + ln x "「亠 t 、‘、亠弋辱 丄」 f (x) —

2

— x 2

，因为f(x)在［1 , + a )上为减函数，故

f ' (x )w 0 在［1 , )上恒成立，即 In a > 1— In x 在［1 , + )上恒成立.设(f(x) = 1— In x ,

O (x)max = 1,故 In a > 1, a > e.

5.已知函数f(x)= mx 3 + nx 1 2 3的图象在点(—1,2)处的切线恰好与直线

3x + y = 0平行，若f(x)

在区间［t ， t + 1］上单调递减，则实数 t 的取值范围是 __________ . 答案

[—2 , — 1]

解析

由题意知，点(一1,2)在函数f(x)的图象上，

故—m + n = 2.①

又 f ' (x) = 3mx 2 + 2nx ,则 f ' (— 1) =— 3, 故 3m — 2n =— 3.②

联立①②解得：m = 1, n =3,即f(x)= x 3 + 3x 2, 令 f ' (x) = 3x 2 + 6x w 0,解得—2< x w 0, 则[t , t + 1]? [— 2,0]，故 t > — 2 且 t + 1 w 0, 所以 t € ［ — 2,— 1］.

题型一利用导数研究函数的单调性 【例1 已知函数f(x)= x 2e —

ax , a € R.

2 当a = 1时，求函数y = f(x)的图象在点(一1, f( — 1))处的切线方程.

3 讨论f(x)的单调性. 思维启迪

(1)先求切点和斜率，再求切线方程;

(2)先求f ' (x),然后分a = 0, a>0, a<0三种情况求解.

解 ⑴因为当 a = 1 时，f(x)= x 2e —

x , f ' (x) = 2xe —

x — x 2e —

x = (2x — x 2)e —

x ,

所以 f( — 1) = e , f ' (— 1)=— 3e.

从而y = f(x)的图象在点(—1, f(— 1))处的切线方程为 y — e =— 3e(x + 1)，即y =— 3ex — 2e. (2)f ' (x)= 2xe

—

ax

— ax 2e —

ax = (2x — ax 2)e

—

ax

.

① 当 a = 0时，若 x<0,则 f ' (x)<0,若 x>0,则 f ' (x)>0.

所以当a = 0时，函数f(x)在区间(一a, 0)上为减函数，在区间(0,+R )上为增函数. 2 2

② 当 a>0 时，由 2x — ax 2<0 ,解得 x<0 或 x>，由 2x — ax 2>0，解得 0

a a 2 2

所以当a>0时，函数f(x)在区间(一a, 0), (-，+a )上为减函数，在区间(0, 一)上为增