材料力学：第十章

能量方法
一、概 述
几何法：
物理方程
应力
应变
平衡方程
几何方程 （变形协调方程）
外力
变形
能量法出发点：能量守恒与转换原理。
弹性体承载时，加力点发生位移——荷载做功，W
弹性体变形——储存变形能（应变能）， U
略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒
与转换原理，得：
外力功 = 变形能
W=U
由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法
f11
f12 )
1 2
F2 (
f21
f 22 )
第二种加载方案：先加 F1，然后再加 F2
F1 1
f11
2 F2
f12
f22
先加 F1，F1做功为：
1 2 F1 f11
再加 F2，F2 做功为：
1 2
F2
f22
在加F2的过程中 F1做功为： F1 f12
U2
W2
1 2
F1 f11
1 2
F2
如图，无刚性位移的线弹性结构体，
承受荷载P1、P2、P3…… 设想采用比例加载：P1、
P2、P3……缓慢的按相同 的比例增加，弹性体始终 δ1
δ2
P2
P3
δ3
保持平衡，而且各外力作 P1 用点的位移δ1、δ2、δ3也 将按与外力相同的比例增
加。
于是得到用“外力功”表示的变形 能的普遍表达式：
U
W
（即每个荷载是独立变化的。）
dU C
U C Pi
dPi
另一方面，因为 dPi，余功的增量为：
dWC idPi dUC
idPi
U C Pi
dPi
i
U C Pi
——余能定理
对于线弹性结构： U UC
所以对于线弹性结构，有：
i
U Pi
——卡氏第二定理
卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对 某一外力的偏导数，等于与此外力相应的 位移。
称为能量方法。
二、变形能的计算
1.轴向拉伸与压缩
静载：
缓慢
荷载： 0
P
L
加力点B的位移：
δB= ΔL
缓慢
0
ΔL
A
B ΔL
P
变力做功：
dW P(l)d (l)
L l
L
W 0
P d (l) L
1 PL 2
此处为线弹性材料。
A
B ΔL
P
对于线弹性材料，变形能为：
U W 1 P ——用外力功表示
3
)2
A
2L
3L
3
2L
由卡氏第一定理：
P1
U
1
AB 2L
[21
1 2
( 2
1
1) 2 ]
0
P2
U
2
AB 2L
( 2
1
1) 2
P
联立以上两式，求解可得：
1
P2L A2 B 2
2
5P 2 L A2 B 2
AB
1
L
P2 A2 B2
（拉伸）
BC
( 2 1)
2L
2P2 A2 B2
（压缩）
AB B
x
M M '
1
B
l M M
0 M '
EI
dx
M ' 0
l P(l x) M '
0
EI
dx
M ' 0
l P(l x) dx Pl 2 （顺时针）
0 EI
2EI
注意：
（1）负号表示 B 的转向与 M’的转向相反。
（2）要求某点的“位移”，则必须在该点 有与之相应的“力”，若没有，则必 须在该处加上假想的附加“力”，求 导后再令其为零。
M(x) dx
综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲 变形，一般地，有：
U 1 P 2
U——广义力 Δ ——广义位移
U可表成P的二次函数或Δ的二次函
数 ，这也揭示了应变能不能叠加。
如果构件上有二种荷载，但其中任一 种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功， 则这两种荷载单独作用时产生的变形能之 和等于共同作用时产生的变形能。
移的偏导数，等于与此位移相应的外力。
（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线 性弹性。
（2）“相应”的意义：
Pi 与 i 位置相同。 Pi为集中力，则 i 为与之同方向的线位移。 Pi 为集中力偶，则 i为与之同转向的角位移。
例2 图示结构，AB杆与BC杆的横截面积均为A
应力-应变关系为： B
f22
F1
f12
线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无关。
U1 U2
即： 1 2
F1( f11
f12 )
1 2
F2 ( f21
f22)
1 2
F1 f11
1 2
F2
f22
F1 f12
F2 f21 F1 f12 ——功的互等定理 F2 在 F1 引起的位移上所做的功= F1 在 F2 引起的位移上所做的功
1 2
P11
1 2
P2 2
1 2
P3 3
注意：式中δ1、δ2、δ3为所有外力 P1、P2、P3……共同作用引起的位 移。
例1 求图示简支梁中点的挠度 fC
解：
W
1 2
PfC
L/2
P
EI
L/2
M (x) P x (0 x L )
2
2
U 2
L 2
M 2dx
2
L ( P x)2 22
0 2EI
2
1 N2L
——用“内力”表
2 EA 示
1 EA(L)2
——用“变形”表示
2L
（1）弹性应变只与力或位移的终值有关， 与加载过程和次序无关。
p
P
p
1
dw
2 PΔL
O ΔL Δl
d(Δl)
（2）在杆长范围内N、A不
是常数时，一般的，有： U N 2 (x)dx
如图： p
l 2EA(x)
P
p
的F2 12
f11
f 21
f12
f 22
现在梁上1、2两点加荷载 F1、F2 ，采用两种不同方式加:
第一种加载方案：1、2两点同时加 F1、F2
F1 1
F2 2
f11 f12
f21 f22
由叠加原理，1点总的位移为： f11 f12 2点总的位移为： f21 f22
U1
W1
1 2
F1 (
φ1 φ
U W
1 Td
0
1 2
M 01
——用外力功表示
1 T 2L 2 GIP
——用“内力”表示
1
G
I
2
P1
2L
——用“变形”表示
同样，对于一般情况，有：
U 1 T 2 (x)dx
2 l GIP (x)
U Vudv
u 1
2
3.弯曲变形能
（1）纯弯曲
θ
θρ θ
M
M
O
L
MM
对于线弹性材料，变形能为：
U U (1, 2 ,, n )
dU
U
1
d1
U
2
d 2
U
n
d n
当仅 i 发生微小增量 di ，其余位移无增量时：
dU
U
i
d i
另一方面，当仅 i发生增量 d i时，Fi 将做功，
从而导致应变能发生增量：
dU Pidi （常力做功）
Pid i
U
i
d i
Pi
U
i
卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位
W(ΔL)
dw
O d(Δl)
ΔL Δl
（3）单位体积的变形能称为比能：
u *d * 1
0
2
U VudV
（4）变形能不能叠加。
从数学观点看：U不是P或者ΔL的线性函数，所以不能叠加。 从力学观点看：
例：
EA
L
U1
1 2
P12 L EA
ΔL1
P1
EA
L
U2
1 2
P22 L EA
ΔL2
1 2
P2
P1L EA
1 2
P1
P2 L EA
1 2
P1L2
——加载过程中P1在P2产生的位移上做的功
1 2
P2
P1L EA
1 2
P2L1
——加载过程中P2在P1产生的位移上做的功
变形能不能叠加的力学本质：
一种荷载在另一种荷载引起的 位移上做了功。
2.扭转变形能
T M0 T1
L
对于线弹性材料，变形能为： O
U
l 2EI
l 2EA l 2GIP
i
U Pi
M l Pi
M dx EI
N l Pi
N dx EA
T l Pi
T dx GIP
例3 图示简支梁，求中点C的挠度。
P
EI
l/2
解： M (x) P x
2
l/2
(0 x l ) 2
M x P 2
fC
l M 0 P
M dx EI
( M 2 )dx l Pi 2EI
M M dx
l Pi EI
（2）桁架
U n N j 2l j （ n根杆） j1 2EAj
i
U Pi
n N j j1 Pi