九年级解直角三角形

解直角三角形
知识要点：
一、直角三角形的元素（边与角）的对应关系。

Eg ：在Rt △ABC 中，∠C=90°
得：直角边： AC BC 斜边： AB
.b a c
锐角： ∠B ∠A 直角： ∠C
二、直角三角形的相关性质：如图（1）：在Rt △ABC 中，∠C=90° 1、 两锐角的关系：直角三角形的两个锐角互余。

∠A+∠B=90°
2、 三边关系：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2）变形式子：BC 2 =AB 2- AC 2，AC 2 =AB 2 -BC 2……等的应用。

勾股定理逆定理：如果一个三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

若：BC 2+ AC 2 =AB 2 或（a 2+b 2=c 2），则：△ABC 是直角三角形，且∠C=90°
3、边角关系：锐角三角函数
（1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 取值范围 全称 简写
锐角∠A 的正弦sinA=
斜边的对边
A =cos
B 0＜sinA ＜1 Sine sin
锐角∠A 的余弦cosA=
斜边的邻边
A ∠=sin
B 0＜cosA ＜1 Cosine cos
锐角∠A 的正切tanA=
的邻边
的对边
A A ∠∠=cot
B tanA ＞0 Tangent tan (或tg)
注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。

（2）同角三角函数的关系：平方关系： sin 2A+cos 2A =1
商数关系： tanA=A A cos sin ，cotA=A A
sin cos 倒数关系： tanA =A
cot 1
，tanA · cotA=1
（3）三角函数中常用的特殊函数值。

图19.3.1
函数名 0° 30° 45° 60° 90°
sin 0 1
cos 1 0
tan 0 1 无穷大
锐角三角函数的变化情况：在0°~90°之间，锐角∠A 的正弦值随着角度的增大而增大。

在0°~90°之间，锐角∠A 的余弦值随着角度的增大而减小。

在0°~90°之间，锐角∠A 的正切值随着角度的增大而增大。

在0°~90°之间，锐角∠A 的余切值随着角度的增大而减小。

已知条件 解法步骤 Rt △ABC ，∠C=90°
图19.3.1
计算边的口诀：
有斜求对乘正弦 有斜求邻乘余弦 无斜求对乘正切 无斜求邻乘余切
两 边
两直角边（a ，b ）
1、由tanA =
b
a
求∠A 2、∠B ＝90°—∠A 3、c ＝22b a …… 斜边c,直角边a
1、由sinA =
c
a
求∠A 2、∠B ＝90°—∠A 3、b ＝22a —c ……
一
边一角
直角边、 一锐角
锐角∠A 、 锐角∠A 的邻边b
1、∠B ＝90°—∠A
2、由tanA =b a
a ＝
b ·tanA 3、由cosA =
c b c=cosA
b
锐角∠A 、 锐角∠A 的对边a
1、∠B ＝90°—∠A
2、由cotA =a b
b ＝a ·cotA 3、由sinA =
c a c=sinA
a
斜边c 、锐角∠A
1、∠B ＝90°—∠A
2、由sinA =
c a
a=c ·sinA 3、由cosA =c
b
b=c ·cosA
已 知
与 解 法 三 角 形 类
型
图
19.4.3
图
19.4.5
四、有关名词、术语的意义
1、 铅垂线：重力线方向的直线。

2、 水平线：垂直于铅垂线的一条直线。

3、 仰角与俯角：
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

4、 坡面的坡度（或坡比）：
坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度（或坡比）。

记作i ,即i =
l
h
. 5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝
l
h
=tan a 五、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的对应边成比例。

1、利用平行的太阳光线
2、利用标杆与量角仪
3、利用物理的光学知识与平面镜 六、用计算器求锐角三角函数值
（1）用计算器求已知角度的锐角的三角函数值。

（2）使用计算器及“互余两角的三角函数关系”、“同角三角函数的关系”求已知锐角的三角函数值。

（按键损坏） （3）使用计算器求已知锐角三角函数值的锐角的角度。

（4）运用“同角三角函数的关系”求已知锐角三角函数值的锐角的角度。

（不使用计算器）
D
B A
C
初四数学单元过关试题（一） 第一章 解直角三角形1.1——1.3 一、选择题
1、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=3
5
,那么tanA 等于( ) A.43 B.34 C.45 D.54
2、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是
A ．135
B ．1312
C ．125
D ．5
12
3、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是
( )
A.CD AC
B.DB CB
C.CB AB
D.CD
CB
4、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m
A.100
sin β
B.100sin β
C.100cos β
D. 100cos β
5、有一个角是︒30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ）
（A ）
cm 41 （B ）cm 2
1
（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ∆中，︒=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）
33 （C ）23 （D ）2
1
7、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA=
34 B.cosA=35 C.tanA=34 D.cosB=3
5
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元
二、填空题
9、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，
则tan θ＝______.
10、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=
2
1
，则sinA= . 11、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=
9
41
,则AC=______,BC=_______. 12、Rt △ABC 中，8,60=︒=∠c A ，则__________,==b a ；
13、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ； 三、解答题 14、计算：
︒
15020米30米
（1）、0
45cos 360sin 2+ （2）、 1
30sin 560cos 300
-
（3）、︒30sin 22
·︒+︒60cos 30tan tan60° （4）
2
2
sin45°+sin60°-2cos45°；
15、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.
16、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
初四数学单元过关试题（二） 第一章 解直角三角形1.4——1.6 一、选择题
1．等腰三角形的底角为30°，底边长为23，则腰长为（ ） A ．4
B ．23
C ．2
D ．22
2．如图1，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AC =4，则BD 长为（ ） A ．83
B ．43
C ．23
D ．8
3．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ） A ．sin a c B =
B ．cos a b B =
C ．tan c a B =
D ．tan a b A =
4．△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2
|tan 3|2sin 30B A -+
-=（），则△ABC 是（ ） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形
D ．等边三角形
5．已知tan 1α=，那么2sin cos 2sin cos αα
αα-+的值等于（ ）
A ．
1
3
B ．12
C ．1
D ．16
6．如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米
D ．500tan35°米
7．如图3，在矩形ABCD 中，D E ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，且cos α=3
5
，AB =4， 则AD 的长为（ ） A ．3
B ．
163
C ．
203
D ．
165
8．如图4，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） A ．1
B ．2
C ．
2
2
D ．3
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．在△ABC 中，∠C =90°，3
sin 2
A =
，则cos B 的值为 ．
10．如图6，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos α= ．
11．如图7，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
12．如图8所示，是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h =6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运行速度为v =0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间 为 秒．
13．如图9，一人乘雪撬沿坡比1∶3的斜坡笔直滑下，滑下的距离s （米）与时间t （秒）间的关系为
2102s t t =+．若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为 ．
三、解答题
14.如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5 m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少?
15.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).
太阳光线
B
60︒
D
A 36︒C
16.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.
N
17.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在
某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问
距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?
B
30︒
D
A
60︒
C E。