小学数学 乘除法数字谜(一).教师版

5-1-2-2.乘除法数字谜（一）
教学目标
数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的取值，直到取得正确的解答．
知识点拨
1.数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式．
2.数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的
性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断．
3.解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意：
⑴数字谜中的文字，字母或其它符号，只取0~9中的某个数字；
⑵要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；
⑶必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；
⑷数字谜解出之后，最好验算一遍．
例题精讲
模块一、乘法数字谜
【例1】下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？
【考点】乘法数字谜【难度】1星【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第2题
【解析】乘积是两位数并且是5的倍数，因而最大是95.95÷5＝19，所以题中的算式实际上是
所以，所填四个数字之和便是1＋9＋9＋5＝24
【答案】24
【例2】下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数。

=美妙数学___________【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第12题，五年级，初赛，第11题
【解析】由⨯=美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”ד妙”<10，如果“美”为2，根据“美”ד学”的个位数为
“妙”，那么“妙”为偶数，即为4，推出“学”为7，又由“美”+“学”=“数”，可知“数”为9，所以=美妙数学2497。

【答案】2497
【例3】北京有一家餐馆，店号“天然居”，里面有一副著名对联：客上天然居，居然天上客。

巧的很，
这副对联恰好能构成一个乘法算式(见右上式)。

相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

“天然居”表示成三位数是_______。

【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题，10分【解析】因为竖式中五位数乘4仍是五位数，所以“客”是人于0小于3的偶数，只能是2，并推知“居”=8。

因为“上”乘4不向上进位，且是奇数，所以“上”=1，并推知“然”=7。

则所表示的三位数是978。

【答案】978
【例4】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是多少？
【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空
【解析】
【解析】如式(2)，由题意a≠2，所以b≥6，从而d≥6．由22□÷c≥60和c ＞2知c=3，所以22□是225或228，75de =或76．因为75×399＜30000，所以76de =．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．
【答案】76×396=30096
【例5】下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？
【考点】乘法数字谜【难度】2星【题型】填空
【解析】
【解析】为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e=0．从c ab ⨯的个位数是1，b 可能是3，7，9三数之一，两位数ab 应是（100+f ）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5
也明显不行．102=17×6，则ab =17，C 只能取3，317c ab ⨯=⨯，不是三位数；104=13×8,则13ab =，c 可取7，c ×ab =7×13，仍不是三位数；106=53×2，53ab =，c=7，753c ab ⨯=⨯是三位数；108=27×4，则ab =27，c 是3．327c ab ⨯=⨯，不是三位数．
因此这个乘法算式是53×72=3816，故这个算式的乘积是3816。

【答案】3816
【例6】右面的算式中，每个汉字代表一个数字（0~9），不同汉字代表不同数字．美+妙+数+学+花+园
=．
4
2
3
8
5⨯美妙数学
花园
数学真美妙
好好好美妙
【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第5题，10分
【解析】从式中可以看出“花”⨯“学”的乘积末位为零，故“花”与“学”之中必有一个为数字0或5，当
“学”是0时，由下面一列中的“学”、“3”，“好”，知“好”为“3”或“4”，则“数”取0~9中的任何一个数字也不行，同样地“学”也不是5，而“花”不能是0，所以“花”为数字5，则可以逆向计算出：美妙数学4238058476=÷=．故“美”8=，“妙”4=，“数”7=“学”6=．再看下面的加法：“数”2+=“好”且进1位，可知必有进位且“好”0=，于是“真”2=，所以再次逆推“园”7628484769=÷=．符合题意，假设成立，故，美+妙+数+学+花+园84765936=+++++=．
【答案】36
【例7】在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字．求
A 、
B 和C
分别代表什么数字？
9
41
A B C
A
B C ⨯
【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空
【解析】第一个部分积中的9是C C ⨯的个位数字，所以C 要么是3，要么是7．如果3C =，第二个部分积中
的4是积3B ⨯的个位数字，所以8B =．同理，第三个部分积中的1是积3B ⨯的个位数字，因此7A =．检验可知7A =，8B =，3C =满足题意．如果7C =，类似地可知2B =，3A =，但这时第二个部分积3272⨯不是四位数，不合题意．所以A 、B 和C 代表的数字分别是7、8、3.
【答案】7、8、3
【例8】在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数
的差是
．
【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复试，5题
【解析】A 与乘数的乘积比2与乘数的乘积小，所以1=A ，1=C ，又B 与2的乘积个位是0，所以0 5或=B ，
6⨯C 不进位，那么6⨯D 个位是0，得5=D ，两个乘法式子分别为515216⨯和510216⨯，乘积的差为(515510)2161080-⨯=．
【答案】1080
【例9】在图中的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法竖式成立。

乘积等于。

2
8
⨯
【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第6题，10分
【解析】根据乘法算式，被乘数乘以2后得到一个3位数，且此三位数的最高位在最终的运算中进位了，所以被乘数的最高位应该是4，而乘数的十位数乘以被乘数后得到的结果也是三位数，所以乘数的十位数只能是1或2，如果是1，那么被乘数的十位数肯定是0，第三位数字必为4，但此时40421
⨯不可能是6位数，故乘数第二位必为2，被乘数第三位必为4，被乘数第二位为5或0，假设被乘数第二位是0，则40422
⨯不可能是六位数，所以被乘数必然是454，经试算，乘式为454229103966
⨯=。

【答案】103966
【例10】如图，请在右图每个方框中填入一个数字，使乘法竖式成立。

70
×2【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第7题
【解析】70
08
8
8
8
8
3
3
3
4
5
5
2
1
2×
7
【答案】
7008
888
8
3
33455212
×007【例11】在下面的乘法算式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字．则A =
，
ABCDE 表示的五位数是
．
68A
B A
C
A D
A A E
D
⨯
【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，5年级，第13题【解析】2A =,23147ABCDE =【答案】2A =,23147
ABCDE =【例12】如图，请在右图每个方框中填入一个不是8的数字，使乘法竖式成立。

8
8
888
×
【考点】乘法数字谜【难度】4星【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，第11题【解析】
【答案】
【例13】在下面的算式中：abc cba acbba ⨯=，,,a b c 别代表0～9中的三个不同的数字，那么，数字b
是．
【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复试，第8题
【解析】
【解析】这是一道数字谜问题．考察同学们的推理能力．首先列成竖式：⨯c b a a b c
a c
b b a
从⨯cba a ，及乘积为acbba 看，1=c ，所以111⨯=⨯=cba c ba ba ．
11
11⨯b a a b b a a a b b a
从竖式的十位上看1⨯ba b ，的个位数字是0．
（1）当0≠b 时，从十位看1⨯ba b ，的个位数字必是0，只能是5=a ，b 是偶数或5=b ，a 为偶数．①若5=a ，b 是偶数．从155□□⨯=ba 及乘积515bb 看，2<b ，因为0≠b 且b 是偶数，所以5=a 时是无解的．
1551
1505515
⨯b b b b b ②若5=b ，a 为偶数．从算式的千位看，由于155700＞⨯a ，由于不能进位，所以7加几也不能等于1．所以时是无解的．
1551
1570
155⨯a a a a a a
（2）当0=b 时，从百位看，1⨯ba a 的个位数字必是9，十位数字必是0，那么3=a ．此时301=abc ．
100110100⨯a a a
a
a a
【答案】301
【例14】如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9中的一个数字，相同的汉字代表相同的数字，
不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为
________
⨯
学而思杯
学而思杯
【考点】乘法数字谜【难度】3星【题型】填空
【解析】首先从式子中可以看出“思”0=，另外第三个部分积的首位只能为9，所以“学”只能为3．由于3个
部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为1和2，这样“学而思杯”就可能为3102或3201．分别进行检验，发现310231029622404⨯=，与算式不相符，而3201320110246401⨯=符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为3、2、0、1．
【答案】3、2、0、1
模块二、除法数字谜
【例15】
在方格内填上适当的数字，使得除法竖式成立。

【考点】除法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第9题，10分
【解析】20047-13=20034=2×33×7×53。

由商的个位是2知，除数乘以2的个位是4，所以除数的个位是2或
7。

因为20034只有一个因子2，所以20034只能分解成一个偶数与一个奇数的乘积，由商是偶数推知除数是奇数，所以除数的个位是7。

20034的两位数因数中只有33=27符合要求，所以除数是27，商是20034÷27=742。

【答案】2004727=74213
÷ 【例16】如图所示的除法算式中，每个□各代表一个数字，则被除数是。

【考点】除法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题
【解析】先确定商首位是8，再估量出除数首位是5，确定商的末位1，得到被除数为4620.【答案】4620
【例17】右边的除法算式中，商数是。

【考点】除法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第11题，4分
【解析】除数的百位是6，积是一个三位数，所以商的十位一定是1,除数的个位是7，被除数个位是1，所以
商的个位是3，所以商是3
【答案】3
【例18】右面算式中的每个“奇”字代表1、3、5、7、9中的一个，每个“偶”字代表0、2、4、6、8中的一个，
为使算式成立，求出它们所代表的值。

【考点】除法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】奇偶分析法【解析】为了叙述方便，把算式中每个“奇”与“偶”字都标上角码，如下式所示。

由于1253789奇奇偶-奇偶偶偶因此5偶所在位必定向“奇2”所在位借1，因而排除“偶4”=0。

又由于34296= 偶偶偶偶偶，所以2=24
偶或者
①若2=2偶，则34偶偶，24，42，44，而226=132⨯（积为奇奇偶），22×8=176（积为奇奇偶）因此3422≠偶偶，若24×6=144（积为奇偶偶），24×8=192（积为奇奇偶），于是378奇偶偶，96=48偶偶。

而125144-奇奇偶的差不可能等于4，因此3424≠偶偶，42×4=168（积为奇偶偶），42×6＝252（积为偶奇偶），42×8=336（积为奇奇偶），于是378=168奇偶偶，因为96=84偶偶，所以有125=1688=176+奇奇偶
，便得：
44×4＝176（积为奇奇偶）；44×6=264（积为偶偶偶）；44×8＝352（积为奇奇偶），因此3444≠偶偶②若2=4偶，则34偶偶，而22×6=132（积为奇奇偶），22×8＝176（积为奇奇偶），“偶2”≠4。

【答案】1764÷42＝42
【例19】在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立．则被除数应是___________
．
80
8
888
【考点】除法数字谜【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第11题
【解析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析，
V
W Y
X
I I C G D
D H
G F E D C B A
88
880
8由1088B +-=，得6B =．因为88XY EF ⨯=，可以得知1Y =或者6．
⑴如果1Y =，则8Y ⨯没有进位，8X ⨯所得个位F 必是偶数，那么，G 必是奇数．因为8W X G ⨯=，所以，G 可能是1、3、5、7、9，其中只有18可以表示成两个一位数的乘积，182936=⨯=⨯．所以G 可能是1．如果1G =，得6F =，那么86X E ⨯=，18W X ⨯=．只能是2X =，9W =，1E =，8219189G H XY W =⨯=⨯=，而8G C 最大为189，这样I 将为0．不符题意．所以1Y =不成立．⑵如果6Y =，分别将1至9代入X 进行计算，可以发现，当1X =、2、3、7、8时，第一次除法后
得到的余数都大于除数XY ，所以可以排除；
①若4X =，得6F =，3A E ==，进而得到1G =，4W =，4H =，因为46V ⨯的结果是一个两
位数，所以1V =或者2．当2V =的时候，92ID =，而4C -没有借位，所以结果最大为5，产生矛盾，故1V =，进而推出4I =，8C =，6D =，符合题目要求，被除数为38686；
②若5X =，由第一次除法可以推出3G =，W 只能是6或者7，但是无论6W =还是7，都无法满足5638W H ⨯=，所以排除；
③若6X =，由第一次除法可以推出5G =，W 只能是8或者9，但是无论8W =还是7，都无法满足6658W H ⨯=，所以排除；
④若9X =，由第一次除法可以推出1G =，那么9618W H ⨯=，但是不存在能使这个等式成立的整数W ，所以9X =可以排除；
综上所述，只有4X =，6Y =的时候满足题目中的除式，所以被除数为38686．
【答案】38686
【例20】在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为
：
9
00
2e f 22
d 22d
e
d
c
b
a
9
9
01
9002【考点】除法数字谜【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，决赛，2题
【解析】
【解析】先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、
9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ⨯=⨯为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7，abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ⨯所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则
929abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．
【答案】136
【例21】右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、4、5、6、7、8和9，不同的汉字代表不
同的数字，如果“北”和“京”分别代表1和9，请写出“奥运会”所代表的所有三位整数，并且说明理
由。

=北奥运会京心想事成
【考点】除法数字谜【难度】6星【题型】填空【关键词】华杯赛，决赛，第14题，10分
【解析】①19=奥运会
梦想成真
∴9×奥运会=梦想成真，∴梦想成真为9的倍数
于是：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”为9的倍数
而：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”最大为：8＋7＋6＋5=26最小为：2＋3＋4＋5=14
所以：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”在14至26之间，且为9的倍数，推出：“梦”＋“想”＋“成”＋“真”=18
②“奥”、“运”、“会”、“梦”、“想”、“成”、“真”分别代表2—8
所以：“奥”＋“运”＋“会”=2＋3＋…＋8-18=17
可以得出：“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组：8、7、2;8、6、3;8、5、4;7、6、4
③分别讨论，看哪组满足题意：此事有两种讨论思路：
（1）利用加减数字谜；奥运会×9=梦想成真，
∴奥运会0
－奥运会
梦想成真
∵“奥”≠“梦”，所以，“运”必定比“奥”小，（这样“运”－“奥”时需借位，这样才能保证“奥”≠“梦”）即奥运会这个三位数的十位比百位小。

Ⅰ若“奥”、“运”、“会”为8、7、2这一组，则三位数“奥运会”可能为872，827，728。

∵奥运会×9=梦想成真
若：872×9=7848“奥”、“真”重复所以：不行
827×9=7843“奥”、“想”重复所以：不行
728×9=6552“想”、“成”重复所以：不行
Ⅱ、Ⅲ一样的思路试其他三组经试验：三位数“奥运会”可以为：836，647，638
（2）利用乘除数字谜
根据所求，“奥”、“运”、“会”必是下面三组中的一组：
8、7、28、6、38、5、47、6、4
奥运会
×9
梦想成真
①当“奥”、“运”、“会”为8、7、2一组里的数时，观察尾数，可知会只能为7，
则奥运会可以是287也可以是827，此时梦想成真应从3、4、5、6里选，287×9=2870-287，
千位是2，没有满足这样的数；
827×9=8270-827千位是7，也无这样的数；
②当奥”、“运”、“会”为8、3、6一组里的数时，观察尾数，可知会只能为8，也可能为3，
可能为6，分别讨论；
当会为8时，奥运会=638或368，638×9=6380-638=5742，满足；368×9=3680-368=3314不符合；
当会为6时，奥运会=386或836，386×9=3860-386=3474，不符合；836×9=8360-836=7524满足；
当会为3时，奥运会=683或者863，683×9=6830-683，千位为6，不符合；863×9=8630-863=7767不符合；其他同理，发现当奥运会=647也可。

所以奥运会有836，647，638共3种取值。

【答案】奥运会有836，647，638共3种取值
【例22】如下图所示的算式中，除数是()，商是（）。

【考点】除法数字谜【难度】星【题型】填空
【关键词】希望杯，5年级，复赛，第12题
÷=，突破口为如图中的阶梯型。

【解析】106.416 6.65
【答案】除数是16，商6.65。