(完整版)导数公式及四则运算
32导数的基本公式及四则运算法则
3.2.1 常值函数的导数 3.2.2 幂函数的导数 3.2.3 正弦函数的导数 3.2.4 对数函数的导数 3.2.5 函数的和、积、商的导数 3.2.6 反函数的导数 3.2.7 复合函数的导数 3.2.8 隐函数的导数 3.2.9 取对数求导法 3.2.10 基本初等函数的导数公式志求导法则
特别地，当其中有一个函数为常数 c时， 则有
(cu )cu．
上面的公式对于有限多个可导函数成立， 例如：
( u) v u v w u w v w u w ． v
例2 设 y (1 2 x )5 ( x 2 3 x 1 )， 求 y ． 解 y ( 1 2 x )(5 x 2 3 x 1 )
定理2.2的结论可以推广到多层次复合的
情况． 例如设yf(u) ，u(v) v，(x) ，
则复合函 yf{[(x)]数}的导数为
dydydudv dx du dv dx
(2.2.9)
例8 求下列函数的导数：
(1)
y
tan 1
2x
；
(2) ysi2n (23x)；
(3) ylo3cgoxs21．
解 (1)设 y 2u ，utav，nv 1 由定理
2.2得
x
yxyu uv vx 1 2uln2co12vs(x12)2xt2acxnol2n1sx2；
(2) y 2 s2 i 3 x n ) c2 ( o 3 x ) ( s 3 )( 3 s2 i(2 n 3 x )；
推论
(u)uvuv .
v
v2
(2.2.5)
c v
cv v2
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。
首先，我们来看导数的基本公式。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。
接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。
3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。
利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。
在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。
它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。
因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。
希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。
导数的四则运算法则[1]2.27
![导数的四则运算法则[1]2.27](https://img.taocdn.com/s3/m/a19bbc64011ca300a6c390b3.png)
解
( u ) yu
这样可以直接写出下式
y x
1 2 (1 x 2 )
(1 x ) x
2
x 1 x2
.
练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
课堂小结
导数的四则运算法则
(1) (u v) u v (2) (u v) uv uv u uv uv (3) ( ) (v 0). 2 v v
解 : (1)h( x) ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x (2) f ( x) (2 x ln x) (2 x) ln x (2 x)(ln x)
2 ln x 2
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
3
2
解 : y (2 x 3x 5x 4)
3 2
6x 6x 5
2
2. 用两种方法求y (2x 3)(3x 2) 的导数
2 2 解： 法一：y (2x 3)(3x 2) (2x 3)(3x 2)
yu u x =2cos2x yx
练习
设 y = (2x + 1)5，求 y .
解
把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由
y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于
yu (u ) 5u ,
5 4
u x (2 x 1) 2.
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
基本导数四则运算法则与求导公式
基本导数四则运算法则与求导公式。
由于导数实质上就是一个求极限的过程，因此完全来源于极限的四则运算法则，同样存在导数的四则运算法则，列出如下，不过还是希望同学们自己进行推导从而更好地掌握极限法则和导数法则。
（1）')'('x c x c y ⋅=⋅=，其中c 为任意常数。
（2）)(')(')]'()(['x bv x au x bv x au y +=+=，其中a 和b 是任意常数。
（3）)(')()()(')]'()(['x v x u x v x u x v x u y +==。
（4）)()(')()()(']')()(['2x v x v x u x v x u x v x u y -==，（)0)(≠x v 。
直接从导数的定义出发，也就是运用求极限的方式，我们就可以计算得到三种基本初等函数的导数的表达式，即常数函数，正弦函数，对数函数，因为这无非就是一个求极限的过程。
从这三种基本初等函数的导数表达式，加上基本导数四则运算法则和函数之间本身的恒等变换关系，就可以得到所有初等函数的导数公式。
我们列出基本的求导公式如下，但是希望同学们能够自己动手，推导出这些基本求导公式来，而不是死记硬背，因为只有自己亲手推导出来的公式，才能真正熟练地，深刻地加以复合函数的求导法则。
由基本初等函数通过复合而得到复合函数，那么在这种复合过程当中，函数的导函数如何变化呢？这里有一个一般的对于复合函数的求导法则，就是所谓链式法则：两个函数y=f （u ），u=g （x ）可以通过复合构成一个复合函数，其中g 在x 点处可导，f 在相应的u=g （x ）点处可导，那么复合得到的函数y=f[g （x ）]在同样的x 点处也可导，并且导数等于：dx du du dy dx dy ⋅= 这个定理直接应用导数的定义，通过求极限就可以得到。
导数的四则运算
dy 例12 y lnsin x , 求 . dx
解 dy lnsin x 1 sin x dx sin x
1 1 cos x sin x tan x
有限次四则运算的求导法则:
1 u v u v 2 uv uv uv
解
1
y x tan x x tan x tan x x
y | x 0 0
2
1 f x 5 2 5 x3 x x 2 f x 3 15x 2 1 x
f 1 16, f 1 12
(u v w)' u' v' w' .
(2) ( uv ) uv u v
证 设 f ( x ) u( x )v( x ) , 则有
u( x h)v( x h) u( x )v( x ) f ( x h) f ( x ) lim f ( x ) lim h 0 h 0 h h
v uv uv 3 u2 u
cu cu
u 1 2 u u
(c为常数）
u 0
4
若 y f u, u x , 则对于复合函数 y f x
dy dy du 有 y x yu u x 或 dx du dx
sin x cos x
解 (1)根据求导法则(1),得
(2)根据求导法则(2),得 y x 2 2 ln x sin x x 2 2 ln x sin x
2 2 x sin x x 2 2 ln x cos x x
2.2 导数的基本公式四则运算法则
（3） (u )' u'v uv'
v
v2
例2.2.2 求下列函数的导数。
解：
（1） y x3 sin x ln 5
（2） y x3ex
（3） y tan x
（4）
x3 y
x 2
x
（1） y x3 sin x ln 5
解：
y ' (x3 sin x ln 5) ' (x3) ' (sin x) ' (ln 5) 3x2 cos x
解：
因为
y
x3
x2 ＝
x
x2
1
x2
2x 1
y
2x
1
3
x2
2x2
2
， 所以
【 小结 】 1．求导数的基本公式
常数的导数
幂函数的导数
指数的函数
6个三角函数的导数
4个反三角函数的导数
2．导数的四则运算法则
和、差、积、商的求导法则
【 作业 】 习题2 4 5
(cosx) sin x
(tan x) sec2 x
(cot x) csc2 x
* (secx)' sec x tan x
(arcsinx)' 1 1 x2
(arctanx)' 1 1 x2
* (cscx)' cscx cot x
(arccosx)' 1 1 x2
(arc
cot
x)'
（2） y x3ex
解：
y ' (x3ex ) ' (x3) 'ex x3(ex ) ' 3x2ex x3ex (x 3)x2ex
导数的加减乘除运算公式
导数的加减乘除运算公式一、导数的加法与减法运算公式。
1. 公式内容。
- 若u(x)，v(x)都可导，则(u(x)± v(x))^′ = u^′(x)± v^′(x)。
2. 证明（以加法为例）- 根据导数的定义，函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)=limlimits_Δx→0(f(x_0 + Δ x)-f(x_0))/(Δ x)。
- 设y = u(x)+v(x)，则y^′=limlimits_Δ x→0([u(x+Δ x)+v(x + Δ x)]-[u(x)+v(x)])/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)-u(x))/(Δ x)+limlimits_Δ x→0(v(x+Δ x)-v(x))/(Δ x)=u^′(x)+v^′(x)。
- 减法同理可证。
3. 例题。
- 求y = x^2+sin x的导数。
- 解：设u(x)=x^2，v(x)=sin x。
- 因为u^′(x) = 2x，v^′(x)=cos x。
- 根据加法求导公式y^′=(u(x)+v(x))^′ = u^′(x)+v^′(x)，所以y^′ = 2x+cos x。
二、导数的乘法运算公式。
1. 公式内容。
- 若u(x)，v(x)都可导，则(u(x)v(x))^′=u^′(x)v(x)+u(x)v^′(x)。
2. 证明。
- 设y = u(x)v(x)，则y^′=limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)v(x+Δ x)-u(x)v(x))/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)v(x+Δ x)-u(x)v(x+Δ x)+u(x)v(x+Δ x)-u(x)v(x))/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0<=ft[(u(x+Δ x)-u(x))/(Δ x)v(x+Δ x)+u(x)(v(x+Δ x)-v(x))/(ΔDelta x)]- 当Δ x→0时，v(x+Δ x)→ v(x)，所以y^′ = u^′(x)v(x)+u(x)v^′(x)。
导数的四则运算法则课件
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数公式及运算法则
导数公式及运算法则
八个公式：
y=c(c为常数) y'=0；
y=x^n y'=nx^(n-1)；
y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；
y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x ；
y=sinx y'=cosx ；y=cosx y'=-sinx ；
y=tanx y'=1/cos^2x ；
y=cotx y'=-1/sin^2x。
运算法则：
加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'
乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)
除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反
之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
导数运算法则公式加减乘除
导数运算法则公式加减乘除
导数运算法则是微积分中的重要内容，它包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
下面我将从多个角度全面地解释这些法则。
首先是加法法则，它表示如果一个函数是两个函数的和，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
具体公式表达为，(f+g)' = f' + g'，其中f和g是两个可导函数。
接下来是减法法则，它表示如果一个函数是两个函数的差，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
具体公式表达为，(f-g)' = f' g'，其中f和g是两个可导函数。
然后是乘法法则，它表示如果一个函数是两个函数的乘积，那么它的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
具体公式表达为，(fg)' = f'g + fg'，其中f和g是两个可导函数。
最后是除法法则，它表示如果一个函数是两个函数的商，那么它的导数等于分母函数乘以分子函数的导数减去分子函数乘以分母
函数的导数，再除以分母函数的平方。
具体公式表达为，(f/g)' = (f'g fg') / g^2，其中f和g是两个可导函数，且g不等于0。
总之，这些导数运算法则是微积分中非常重要的内容，它们帮助我们计算复杂函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律和性质。
希望这些解释能够帮助你更好地理解导数运算法则。
【高一上数学笔记】导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式一、基本初等函数的导数公式
利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，分三步进行：(1)计算变化量Δy；
(2)计算平均变化率Δy
Δx，并化简；
(3)观察当Δx趋近于0时，Δy
Δx趋近于哪个定值，这个定值就是函数y＝f(x)的导数。
例如：求y＝1
x的导数。
解答：y′＝lim
Δx→0Δy
Δx＝lim
Δx→0
1
x＋Δx
－
1
x
Δx＝lim
Δx→0
－1
x(x＋Δx)
＝－
1
x2
利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形。
可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．
求下列函数的导数：
(1)y ＝sin π3； (2)y ＝5x ； (3)y ＝1x 3； (4)y ＝43x ； (5)y ＝log 3x
8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：
一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现)3
(sin π′＝cos π3 这样的错误结果．
二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．
二、导数的运算法则
定理：设函数 u (x )、v (x ) 在 x 处可导，则它们的和、差、积与商在x 处也可导。
简单复合函数的求导： 函数 其中 和 都可导，则：
)
(x g u =x u x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =。
导数基本公式与运算法则
导数基本公式与运算法则导数是微积分中的重要概念，它用来描述函数在其中一点的变化率。
导数的计算可以依据一些基本公式和运算法则进行。
下面将介绍导数的基本公式和运算法则。
一、导数的定义设函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点的导数定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，lim表示极限，Δx表示自变量x的增量。
二、导数的基本公式1.常数的导数若c是一个常数，则导数f'(x)=0。
2.幂函数的导数若f(x) = x^n，其中n是正整数，则导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数若f(x) = a^x，其中a是正实数且a≠1，则导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的导数若f(x) = ln(x)，则导数为f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数(1) 若f(x) = sin(x)，则导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 若f(x) = cos(x)，则导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 若f(x) = tan(x)，则导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数(1) 若f(x) = arcsin(x)，则导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 若f(x) = arccos(x)，则导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 若f(x) = arctan(x)，则导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
三、导数的运算法则1.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
2.和差法则若f(x)和g(x)可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.积法则若f(x)和g(x)可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
导数的四则运算法则
（3）
y
ex ex
1 1
.
2、已知 sin x cos x ， cos x sin x ，
利用求导法则证明：
tan
x
1 cos2
x
.
3、求曲线
f
x
1 1
x x
2x
ln
x
在点(1，0)
的切线方程。
4、(2010
年新课标)曲线
y
x x
2
在点(-1,-1)
处的切线方程为( )
A.y=2x+1
例
2、求曲线
y
x3
1 x
在点(1，0)处的
切线方程。
练习： 求下列函数的导数： (1) y 1
x
(3) y sin x 1
(5) y 3x x3
(7)
y
ex
1
1
x3
x
(2) y e x x
(4) y x2 x
1
(6) y x 3 ln x
那么 ，同理得
[ f ( x) g( x)]' f'( x) g'( x)
问题二、已知函数 f ( x) , g( x) 的导数分别为：
f
'( x) , g '( x) ,求函数
y
f (x) g( x)
(
g(
x)
0)
的导数。
结论
两个函数的商的导数，等于分子的导数 与分母的积，减去分母的导数与分子的 积，再除以分母的平方
即
f (x)
g(
x)
'
f
'(
x)g(
x) f ( g2(x)
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专题一导数公式及四则运算
1、下列结论不正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
2、下列各式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
3、已知,若,则的值为( )
A.-6
B.6
C.±6
D.不确定
4、已知函数的导函数为,且满足关系式,
则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
5、已知函数,则等于( )
A.
B.
C.
D.
6、若,则的解集为( )
A.
B.
C.
D.
7、函数的导函数是,则;
8、已知,则____________
9、对任意实数,都有,,那么.
10、函数在处的导数是.
11、求下列函数的导数:
1.;
2.;
3..
12、求下列函数的导数:
1.;
2.;
3..
13、设,求.
14、求下列函数的导数.
1.;
2..
15、求下列函数的导数:
1.;
2.;
3..
参考答案
1.答案：B
解析：对于B,,故选项B不正确.
2.答案：D
3.答案：B
4.答案：D
解析：∵,∴,
令,则,即,∴.故选D.
5.答案：C
解析：∵,∴,应注意的是
,不要忘记负号,故应选C.
6.答案：A
解析：∵, ∴函数的定义域为,则
,由,得
,即
7.答案：
解析：
首先对原函数,求导得:,所
以:,所以答案为:.
8.答案：
解析：
∵
∴
令
得:
解得:
故答案为:.
9.答案：
解析：由可知,中最高次.结合,可设
,又∵,∴,∴,∴. 10.答案：
解析：,
∴.
11.答案：1. ;
2. ;
3..
解析：对于简单函数的求导,关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函
数的模式,如可以写成,等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.
12.答案：1.
.
2. ∵.
∴.
3. ∵,
∴.
13.答案：令,
∴.
两边求导,得
.
∴.
即.
解析：求,应先求,考虑将多个因式之积看成两个因式之积,便可应用积的求导法则进行.
14.答案：1. ∵,两边取对数,得
,
两边求导,得,
∴
.
2. ∵,两边取对数,得
,
两边求导,得,
∴
.
15.答案：1. .
2.
.
3.
.
解析：正确求出各部分的函数的导数,根据导数的加法与减法法则计算即可.
【点评】这些函数是由基本初等函数经过加、减运算得到的简单函数,求导时,可直接利用函数的加法和减法法则进行求导.解题的关键是熟记常见基本初等函数的导数公式,尤其注意某些符号的变化.。