离散数学自考第一章(课后习题和答案)

1.3 命题公式与真值表
１．命题公式 命题常元：表示确定的命题｛T，F｝。 命题变元：以真假为其变域之变元，或没有指定 真值的命题。常用大写英文字母Ａ…Ｚ表示。 命题公式：由命题变元、常元、联结词、括号， 以规定的格式联结起来的字符串。 命题公式亦可称为合式公式。
定义：命题演算的合式公式规定为： １）单个命题变元是一个合式公式。 ２）若Ａ是合式公式，¬Ａ也为合式公式。 ３）若Ａ、Ｂ是合式公式，则（ＡΛＢ）、（Ａ∨Ｂ）、 （Ａ→Ｂ）、（Ａ↔Ｂ）均为合式公式。 ４）当且仅当有限次使用 （１）（２）（３）所生成 的公式才是命题公式。 （2）（3）即为关于联结词的运算是封闭的。 子公式：设Ai为公式的A的一部分，且Ai是一个子公式， 称Ai是A的子公式。
２．命题公式的真值表 : 定义：命题变元用特定的命题来取代，这一过程称 为对该命题变元进行指派。 真指派：指定的指派使得命题变元为真； 假指派：指定的指派使得命题变元为真。 命题公式可以看成是一个以真假值为定义域和真假 值为值域的一个函数。 写成ｙ＝ｆ(x)
例如：公式 P (Q R) 定义三元函数 Y(P，Q，R)＝ P (Q R)
（a）P：我拿起一本书 Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 （b）P：月亮出来了 Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则 3×3=9。（善意推定）
５．双条件联结词（“等价”词、“同”联结词、 “等同”词） （１）符号“↔”设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔ Ｑ读作：“Ｐ当且仅当Ｑ”，“Ｐ等价 Ｑ”,“Ｐ是Ｑ的充分必要条件”。 （２）定义（见真值表）：
F T T F
F T F F F F T T F F F T
F
F T T
T
T F F
F
T F T
F
T F T
T
F T F
F
F F F
F
F F F
源自文库
1.4.1等价式
定义：如果对两个公式Ａ，Ｂ不论作何种指派， 它们真值均相同，则称Ａ，Ｂ是逻辑等价的， 亦说Ａ（Ｂ）等价于Ｂ（Ａ）。并记作：Ａ
Ｂ
对合率 结合律 分配率


原子命题：不能再分解的命题，不包含 任何联结词的命题。 复合命题：经过一些联结词复合而成的 命题。
在命题演算中也有类似的日常生活中的联 结词称做：“命题联结词”下面先介绍 五个常用的命题联结词。
１．否定词：（否定运算、非运算） （１）符号 ¬ ,读作“非”，“否定”，设命题 为Ｐ，则在Ｐ的前面加否定词¬ ，变成¬Ｐ， ¬Ｐ读做“Ｐ的否定”或“非Ｐ”
离散数学
离散数学与计算机科学的其他课程 如：数据结构、操作系统、编译原理、算 法分析、逻辑设计、系统结构、容错技术、 人工智能等有密切的联系。它是这些课程 的先导和基础课程。
第一部分：数理逻辑 第三部分：代数系统 第二部分：集合论 第四部分：图论
第一章 命题演算

P F F T T Q F T F T P↔Q T F F T
每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，则（Ｐ↔Ｑ）的真值 为“Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。
（３）举例：
▪ 春天来了当且仅当燕子飞回来了。 ▪平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。 ▪２＋２＝４当且仅当雪是白色的。 （两者没有关系，但是确实命题）
命题概念 基本连接词与复合命题 合式公式与联结词优先顺序 命题公式的等价变化、命题符号化 构造真值表证明等价式 不构造真值表证明蕴含式 范式与主范式，∏，∑互化 应用P、T规则的推理证明 CP规则与间接推理证明
1.1 命题概念

命题：具有唯一真值的陈述句叫命题，亦可简 称为语句。
(1)命题可以是真的，或者是假的，但不能同时为真又为 假 (2)命题所用符号：常用大写２６个英文字母表示命题。 用Ａ、Ｂ、Ｃ．．．．Ｚ表示。 (3)命题中所有的“真”用“Ｔ”表示， 命题中所有的“假”用“Ｆ”表示。 (4)命令句，感叹句，疑问句均不是命题。
（４）最外层的括号一律均可省去
（Ｐ→Ｑ∨Ｒ）可写成Ｐ→Ｑ∨Ｒ
７．命题联结词小结： （1）五个联结词的含义与日常生活中的联结词的含义大 致相同。
（2）“或”可分为可兼或（∨）和异或（ ▽ ）（不可 兼或） （3） 除“¬ ”为一元运算外，其余四个均为二元运算。 （4）“→”当前件为“Ｆ”时，不论后件怎样，则单条 件命题的真值均为“Ｔ”。 （5）命题联结词是命题或命题之间的联结词，而不是名 词之间、数字之间和动词之间的联结词。
例. 将下列命题符号化： （1）李明是计算机系的学生，他住在312室或 313室。 （2）张三和李四是朋友。 （3）虽然交通堵塞，但是老王还是准时到达了 车站。 （4）只有一个角是直角的三角形才是直角三角 形。 （5）老王或小李中有一个去上海出差。
解： （1）首先用字母表示简单命题。 P：李明是计算机系的学生。 Q：李明住在312室。 该命题符号化为：PQ （2）张三和李四是朋友。是一个简单句该命题符号化为： P （3）首先用字母表示简单命题。 P：交通堵塞。 Q：老王准时到达了车站。 该命题符号化为：PQ
判断下列句子中哪些构成命题
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7.
8. 9. 10.
8是偶数； 雪是黑的； 明年国庆节是个春天； 3+8>9 我是大学生； 火星上有生物； 星期五下午开会吗？ 请勿吸烟； 这束花多么的好看啊！ x+y >5.
命题 命题 命题 命题 命题 命题 疑问句 不是命题 祈使句 不是命题 感叹句 不是命题 无法确定真值 不是命题
（４）Ｐ,Ｑ中，Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ 交换位置不会改变真值表中的值。
６．命题联结词在使用中的优先级 （１）先括号内，后括号外 （２）运算时联结词的优先次序为： ¬ Λ → ↔ （由高到低） （３）联结词按从左到右的次序进行运算
∨
¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号，因为“Ｖ”运算是可结合的。 （ ¬Ｐ∨Ｑ）∨Ｒ可省去括号，因为符合上述规定 而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因为“→”不满足结合律。
４．单条件联结词： （１）符号“→”，读作：“如果…则…”、“如果…那 么…” Ｐ、Ｑ为二个命题，（Ｐ→Ｑ）为新的命题，读作：“如 果Ｐ则Ｑ”，“Ｐ仅当Ｑ”，“Ｑ当且Ｐ”，“Ｐ是Ｑ 的充分条件”。 （２）定义（由真值表定义）： P Q P→ Q
F F T F T F T T F
T
T
T
当Ｐ为“Ｔ”，Ｑ为“Ｆ”时，则 （Ｐ→Ｑ）为“Ｆ”，否则（Ｐ→Ｑ）均为 “Ｔ”。 Ｐ：称为前件、条件、前提、假设 Ｑ：称为后件、结论。 （３）举例：

表示命题的符号称为命题标示符，
例：P：今天中午十点下雨； [24]：今天上午十点下雨； 此处的P，[24]就是标示符。

一个命题标示符如表示确定命题，就称为命题 常量，如果命题标示符只标志命题的位置，就 称为命题变元，因为命题变元可以表示任意命 题，他不能确定真值因此不是命题
1.2 复合命题与联结词
讨论： （１）永真式的否定为永假式（¬ Ｔ＝Ｆ）；永假式的否定为永真式（¬ Ｆ＝Ｔ）。 （２）二个永真式的析取、合取、蕴含、等价均为永真式。
列出A：(PQ)(PQ) 与B：(PR)(PR)的真值表：
P Q R Q T T T F T T F F T F T T T F F T PQ T T T T P Q T T T T R F T F T PR T T T T PR T T T T A T T T T B T T T T
以上介绍了五种常用的联结词及其相应的复合命题形式。 数理逻辑的特点是把逻辑推理变成类似数学演算的完 全形式化了的逻辑演算，为此，首先要把推理所涉及 到的各命题符号化。 步骤如下： ①找出各简单命题，分别符号化。 ②找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。 约定： （1）我们只注意命题的真假值，而不再去注意命 题的汉语意义。 （2）对命题联结词，我们只注意真值表的定义，而不注 意它日常生活中的含义。
《定义》：命题公式A在其所有可能的赋值下取得的值列 成的表称为A的真值表。真值表中，真值T、F可分别用 1、0代替 构造真值表的步骤如下： 1)找出给定命题公式中所有的命题变元，列出所有可能 的赋值。 2)按照从低到高的顺序写出命题公式的各层次。 3)对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到最后 计算出整个命题公式的值。
离散数学
杨老师 yangjj@scnu.edu.cn
离散数学（又称计算机数学）是现代数学 的重要分支，是计算机专业课程中的核 心基础课程之一。 离散数学以是研究：离散量的结构和相互 之间的关系为主要目标，其研究对象一 般为：有限或可数个元素（例如：自然 数、整数、真假值、有限个结点等）， 而离散性也是计算机科学的显著特点。
例１．构造命题公式¬（（Ｐ∨Ｑ）ΛＰ）的真值 表：
P
F
F T T Q P ∨Q （Ｐ∨Ｑ）ΛＰ ¬ （（Ｐ∨Ｑ）ΛＰ）
F
T F T
F
T T T
F
F T T
T
T F F
２个命题变元有４组真值指派；３个命题变元 有23＝ ８组真值指派，ｎ个则有个2n个真值 指派
３．命题公式的永真式、永假式和可满足式
定义：设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为 真，则称公式A为重言式或永真式。 定义：设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为 假，则称公式A为矛盾式或永假式 定义：设A为一命题公式，若A在各种真值指派下至少存在一组成真 指派，则称A为可满足式。（可满足式为既不是永真式又不是永 假式的命题公式）
举例： （a）P：王华的成绩很好 Q：王华的品德很好。 则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 （b P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。 (c) P：今天下大雨 Q：3+3=6 则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6
３．析取词（或运算） （１）符号“∨” 设Ｐ、Ｑ为二个命题，则 （Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的“析取”，读作： “Ｐ或Ｑ”。
德摩根率
¬ ¬ ＰＰ （Ｐ∨Ｑ）∨ＲＰ∨（Ｑ∨Ｒ）； （ＰΛＱ）ΛＲＰΛ（ＱΛＲ）； ＰΛ（Ｑ∨Ｒ）（ＰΛＱ）∨（ＰΛＲ）； Ｐ∨（ＱΛＲ）（Ｐ∨Ｑ）Λ（Ｐ∨Ｒ） ¬ （Ｐ∨Ｑ）¬ ＰΛ¬ Ｑ； ¬ （ＰΛＱ）¬ Ｐ∨¬ Ｑ Ｐ∨ＴＴ；ＰΛＦＦ
例：Ｐ：北京是一座城市。 ¬Ｐ：北京不是一座城市。 P Ｑ：每一种生物均是动物。F ¬Ｑ：有一些生物不是动物。T T 这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物”为假命题了。 F 对量化命题的否定，除对动词进行否定外， 同时对量化词也要加以否定。
¬P F
T
（2） ¬Ｐ的真值由P的真值来确定
２．合取词（“合取”、“积”、“与”运算） 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ 与Ｑ的合取，读作：“Ｐ与Ｑ”、“Ｐ与Ｑ的 合取”、“Ｐ并且Ｑ”等。 定义（由真值表给出）：
P F F Q F T PΛ Q F F QΛP F F
T
T
F
T
F
T
F
T
当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为“Ｔ”，则（ＰΛＱ）的真值为“Ｔ”。 否则，其真值为“Ｆ”。
注意：Ｐ和Ｑ是互为独立的；地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交 换而不会影响ＰΛＱ的结果。在日常生活中，合取词应用在二个 有关系的命题之间。而在逻辑学中，合取词可以用在二个毫不相 干的命题之间
（２）定义（由真值表给出）： P Q P∨ Q
F F F T F T
T
T
F
T
T
T
当且仅当Ｐ、Ｑ均为“Ｆ”时，（Ｐ∨Ｑ）为“Ｆ”。 否则，其真值为“Ｔ” 区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析 取词为可兼或即:P和Q均为“T”时（P∨Q）为“T”， “不可兼或”中当P和Q均为“T”时，则P异或Q为“F” 可兼“或”： 不可兼“或”： 灯泡有故障或开关有故障。 他通过电视看杂技或到剧场看 今晚写字或看书。 杂技。 今天下雨或打雷。 他乘火车去北京或乘飞机去 北京。
（4）首先用字母表示简单命题。 P：三角形的一个角是直角。 Q：三角形是直角三角形。 该命题符号化为：P Q （5）首先用字母表示简单命题。 P：老王去上海出差。 Q：小李去上海出差。 也可符号化为： （PQ）（PQ）或者 （P Q） （PQ）
作业：P6 1：a、c、d、g、i、k 3：a、c、e 4：b、d