电子在电场和磁场中的运动_01

2E k x k y 2 E 2 k y 2 E k z k y
2E k x k z 2 E k y k z 2 E k z2

kx, ky, kz选在张量主轴方向上
有效质量张量
m v Fx * y Fy m y v * z Fz m z v
而波包中心位置移动的速度，就可以代表波包中心状
态的电子的速度。
—— 波包的位置和动量满足量子力学测不准关系
粒子的波包构成
波包是由波矢K0附近 加构成。 波包中心 动量 — 粒子中心，中心的动量 — 粒子的
k
范围内的布洛赫波函数叠
波包的波函数
晶体中的波包由布洛赫波叠加而成
i [ k 'r E ( k ')
2 2
2
2
2
的曲线
波包的限度
sin u / 2 sin v / 2 sin w / 2 6 ( r , t ) uk0 ( r ) u / 2 v / 2 w / 2
2 2
2
2
2Hale Waihona Puke Baidu
u=v=w=0
1 E ) k0 t 粒子中心位置 x0 ( k x 1 1 E ) k0 t r0 ( k E ) k0 t y0 ( k y 1 E ) k0 t z0 ( k z
—— 波矢的函数
能带底部
m* x 0 0
2E k x k z 2E k y k z 2E 2 k z
F x F y Fz
比较
电子的倒有效质量
2E 2 k x 2 1 E 电子的倒有效质量 2 k y k x 2E k k z x
体，掌握空穴的概念；
§5.1 准经典运动 1. 波包和电子速度 对于经典粒子，其位置与动量是确定的。而电子完 全没有确定的位置，和经典粒子毫无共同之处。由布洛 赫波所描述的电子，只具有波动性，如果使不同K值的波 函数集中在一个非常小的范围内，那么粒子的位置也就 限制在这个狭小的范围内了，这样的波函数就叫“波 包”。
具有动量的性质 —— 准动量_不是真实的动量
电子状态变化基本公式: 电子所受外力
d ( k ) F dt
电子的速度 电子的准动量
1 vk k E
k
3. 加速度和有效质量
电子的加速度:
将
代入
dv 1 2 kk E F dt
dv 1 2 kk E F dt
k ' (r , t ) e
以量子态
t]
uk ' ( r )
为中心的波包
令 k ' k0 k
势场周期性函数近似表示 将能量
—— 很小
按泰勒级数展开
E ( k ' ) E ( k 0 ) k ( k E ) k 0
的取值范围
—— 波包函数
k x k y 2 2 k z
粒子的中心
1 粒子的速度 v k ( k E ) k0 0
第一布里渊区 要求
k很小
—— 波包的限度 ——波包远远大于原胞, 在这一个限度里才能将电子看 做是准经典粒子
—— 一维紧束缚模型
粒子的速度
1 dE vk dk
vk 2 J 1a sin ka
vk 0 —— 能带底和能带顶
—— 小量
( r , t ) u k0 ( r )e
E ( k0 ) / 2 i [ k 0 r t]
/2
dk dk dk e
x y z /2 /2
/2
/2
( k E ) k0 ik [ r t]
方法一 —— 求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程
2 [ V ( r ) U ] E 2m
方法二 —— 满足一定条件下将电子的运动近似当作经
典粒子的运动来处理
2
本章要求：
（1）熟练掌握恒定电场作用下电子的运动；
（2）掌握有效质量存在正、负值的解释；
（3）掌握用能带论解释金属、半导体和 绝缘
2E 2 k 加速 x vx 度分 1 2 E y 2 量的 v k k y x 矩阵 v z 2 E 表示 k k z x
与牛顿定律
2E k x k y 2E 2 k y 2E k z k y
2 J 1a vk
—— 速度最大
在一维紧束缚模型下
电子的速度 vk
2 J 1a
sin ka
—— 速度为零
—— 速度最大
2. 在外力作用下状态的变化和准动量
外场力
对电子作功 F vk dt
dE dk vk
电子能量的增量
根据功能原理
d( k ) [ F ] vk 0 dt
—— 电子的概率密度分布函数
sin u / 2 sin v / 2 sin w / 2 6 ( r , t ) uk0 ( r ) u / 2 v / 2 w / 2
2 2
2
2
2
其中
sin u / 2 sin v / 2 sin w / 2 6 ( r , t ) uk0 ( r ) u / 2 v / 2 w / 2
* x x
有效张量 般不相等
是一个张量，与波矢K有关系，一
—— 加速度和外力方向可以不同
—— 有效质量的特点 紧束缚近似下，简单立方格子s能带的有效质量
在张量主轴方向上
可以验证
E m / 2 2 k x 2a J 1 cos k x a
* x 2 2 2 2 2 E 2 m* / 2 2 y k y 2a J 1 cos k y a 2 2 E 2 m* / 2 2 z k z 2a J 1 cos k z a