方差分析解读

F
F 0 .0 5
F 0 .0 1
药物间 3 542.55 180.85 9.57** 3.49 5.95
渔场间 4 112.50 28.125 1.49 3.26
误 差 12 226.70 18.892
T
19 881.75
对于 A因素，应否定无效假设，即不同的药物配伍 其治疗鲢鱼腐皮病的疗效差异极显著（p<0.01）
方差分析表
H A : i 不全相等 H A : j 不全相等
变异来源 d f
A因素 a 1
B因素 误差
b 1
a1b1
SS
MS
1
b
Ti.2 C
SS A d fA
1
a
T.
2 j
C
SSTSSASSB
S d
S d
S f
S f
b b e e
F
FA
MSA M Se
FB
M Sb dfe
T
ab 1
C xij 2 ab
鱼场
配伍 B 1
B2
B3
B4
B5
T i .
x
2 ij
xi
si
A 1 106 113 115 109 107
A 2 115 123 128 120 116
A 3 102 107 111 101 111 A 4 112 113 109 117 120
T .j
x
2 ij
xj
sj
得如下一级数据：
药物
渔场
B 因素即渔场间应接受无效假设，即场间差异不显 著（p>0.05）
由于药物配伍间差异极显著（p<0.01），因此应对 其作多重比较
而鱼场间差异不显著，没有必要进行多重比较（场 间差异也不是我们讨论的重点，因此即使差异显 著也不必进行多重比较）
SEA
18.892 1.944 5
R 234
q 0 .0 5 q 0 .0 1
方差分析
(续)
第四节 两因素资料的方差分析
两因素资料的方差分析，又称为双向分组资料的方 差分析
很多情况下，我们需要设计两种不同的因素同时作 用于供试动物
或在考虑某一因素对供试动物产生影响的同时，还 需要考虑不同的环境情况
这样，当试验结束后，数据的分析就必须进行两因 素（或称双向分类资料）的方差分析
设 H 0:1234 v s
设 H 0:12...5 v s
22552
C
254251.25
45
H A : i 不全相等 H A : j 不全相等
S S T x i 2 j C 2 5 5 1 3 3 C 8 8 1 . 7 5 dfT45119
S S A b 1T i. 2 C 1 5 5 5 0 2 ... 5 7 1 2 C 5 4 2 .5 5
即：对 A 因素来说，有 a 个组（k = a），每一组有 b 个观测值（n = b）
对 B 因素来说，有 b 个组（k = b），每一个组有 a 个观测值（n = a）
因此我们可以直接用方差分析表来表示这种分剖的 结果
这里，无效假设有两个：
A：设 H 0:12...a v s B：设 H 0:12...b v s
次，也只相逢一次
例如：A 因素有 5个 水平，B 因素有 4 个水平，形 成 5×4 = 20 个组合
根据每一个组合内是一个独立供试动物还是多个独 立供试动物，双向分类资料又可分为组合内无重 复观测值和组合内有重复观测值两种情况
一、组合内无重复观测值的两向分类资料的方差分 析
这种类型的资料结构是每一组合内仅一个独立供试 动物（独立供试单位）
配伍 B 1
B2 B3
B4
B5
A1
A2
A3
T i.
x
2 ij
550 60560
602 72594
532 56696
A4
571 65283
T . j 435 456 463 447 454 2255
x
2 ij
255133
xj
sj
xi
110.0 120.4 106.4 114.2
si
3.87 5.32 4.77 4.32
xi2j C
若 F A 显著，应对 A 因素各水平的平均值进行多重比
较，其标准误为： SE A
MSe b
若 F B 显著，应对 B 因素各水平的平均值进行多重比
较，其标准误为： SEB
MSe a
下面我们以实例来说明具体分析的过程
试验 4 种药物配伍（因素 A）对鲢鱼腐皮病的治疗 效果，试验在 5 个发病的渔场（因素 B）进行， 每个渔场随机抽取 4 个鱼池，每个鱼池随机使用 其中的一种药物配伍，得如下治愈率，试比较这 4 种药物配伍的治疗效果
药物
渔场
配伍
A1
B1 B2 B3 B4
B5
76 82 83 79 77
A2
83 89 92 87 84
A3
73 77 80 72 80
A4
81 82 79 85 87
由于数据是百分率，因此应作转换：
p' sin1 p
转换后的数据见下面这张表（为了分析方便，所有 数据转换后都扩大 100 倍）：
药物
：
A a x a1
T T .1
…B j … B b T
x1 jΒιβλιοθήκη x 1bT 1.x ij
x ib
T i.
x aj
x ab
T a.
T .j
T .b
T
上页的数据结构表中，T为求和，不同因素的和的 下标不同
两因素无重复资料的方差分析应从 A 和 B 两个方向 进行，我们可以将这种结构看成是两个单向资料 的重合
其观测值的数学模型为：
xij ijij
这一模型的含义是：每一个观测值 x i j 包含了总体平
均值 ，同时还受 A 因素第 i 个水平的效应和 B
因素第 j 个水平的效应，同时还具有一定的误
差 i j ： ij N0,2
这一模型相应的数据结构为：
因素 B 1 B 2
A 1 x11
A2
：
A i x i1
dfA a13
S S B 1 aT .2 j C 1 4 4 3 5 2 ... 4 5 4 2 C 1 1 2 .5
dfB b14
S S e S S T S S A S S B 2 2 6 .7
dfe415112
将上述数据填入方差分析表中：
方差分析表
变异来源 d f S S
MS
同时考虑的这两个因素，我们分别称之为因素 A 和 因素 B，他们各有 a 个水平和 b 个水平
有时候，因素 A 和因素 B 是同等重要的 有时候，因素 B 是为了从总变异中分剖出环境因素
而特意设置的
在设计时，因素 A 和因素 B 相互交叉，形成 ab 个 组合
即：A 因素的每一个水平包含了 B 因素的所有水平 B 因素的每一个水平也包含了 A 因素的所有水平 即：A 因素的各个水平与 B 因素的各个水平相逢一