2017年北京市中考数学试卷(含答案解析)

绝密★启用前
北京市2017年高级中等学校招生考试
数 学
（本试卷满分120分,考试时间120分钟）
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的)
1.如图所示,点P 到直线l 的距离是
( )
A .线段PA 的长度
B .线段PB 的长度
C .线段PC 的长度
D .线段PD 的长度
2.若代数式4
x
x -有意义,则实数x 的取值范围是
( )
A .0x =
B .4x =
C .0x ≠
D .4x ≠ 3.如图是某个几何体的展开图,该几何体是
( )
A .三棱柱
B .圆锥
C .四棱柱
D .圆柱
4.实数a ,b ,c ,d 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是
( )
A .4a -＞
B .0bd ＞
C .|||d |＞a
D .0b c +＞
5.下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是
( )
________________ _____________
-------------
在--------------------此
--------------------
卷
--------------------上
--------------------
答--------------------题--------------------无
--------------------
效----------------
A B C
D 6.若正多边形的一个内角是150︒,则该正多边形的边数是
( )
A .6
B .12
C .16
D .18
7.如果2
210a a +-=,那么代数式24()2
a a a a --的值是 ( )
A .3-
B .1-
C .1
D .3 8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.
2011年—2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图
(以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告(2017)》) 根据统计图提供的信息,下列推断不合理的是 ( )
A .与2015年相比,2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B .2011—2016年,我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C .2011—2016年,我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
D .2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9.小苏和小林在如图所示的跑道上进行450⨯米折返跑.在整个过程中,跑步者距起跑线的距离y (单位：m )与跑步时间t (单位：s )的对应关系如图所示.下列叙述正确的是
( )
A .两人从起跑线同时出发,同时到达终点
B .小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C .小苏前15s 跑过的路程大于小林前15s 跑过的路程
D .小林在跑最后100m 的过程中,与小苏相遇2次
10.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验,则当投掷次数为1000时,“针尖向上”的频率一定是0.620. 其中合理的是
( )
A .①
B .②
C .①②
D .①③
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上)
11.写出一个比3大且比4小的无理数： .
12.某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元,足球的单价为y 元,依题意,可列方程组为 . 13.如图,在ABC △中,M ,N 分别为AC ,BC 的中点,若1CMN S =△,则
ABNM S =四边形 .
14.如图,AB 为O 的直径,C ,D 为O 上的点,AD CD =.若40∠=︒CAB ,则
CAD ∠= ︒.
15.如图,在平面直角坐标系xOy 中,AOB △可以看作是OCD △经过若干次图形的变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由OCD △得到AOB △的过程： .
16.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.
请回答：该尺规作图的依据是 .
三、解答题(本大题共13小题,共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分5分)
计算：4cos30(1|2|︒+︒-.
18.(本小题满分5分)
-------------
在
--------------------此
--------------------
卷--------------------上
--------------------
答--------------------
题--------------------无
--------------------
效----------------
解不等式组：2(1)57,
102.3
x x x x +-⎧⎪
+⎨⎪⎩＞＞
19.(本小题满分5分)
如图,在ABC △中,AB AC =,36A ∠=︒,BD 平分ABC ∠交AC 于点D .求证：AD BC =.
20.(本小题满分3分)
数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
(以上材料来源于《古证复原的原则》《吴文俊与中国数学》和《古世界数学泰斗刘徽》) 请根据上图完成这个推论的证明过程.
证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S =-+△△△矩形,ABC EBMF S S =-△矩形( + ). 易知,ADC ABC S S =△△, = , = . 可得NFGD EBMF S S =矩形矩形. 21.(本小题满分5分)
关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=. (1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1,求k 的取值范围.
22.(本小题满分5分)
如图,在四边形ABCD 中,BD 为一条对角线,BC AD ∥,2AD BC =,
90ABD ∠=︒,E 为AD 的中点,连接BE . (1)求证：四边形BCDE 为菱形；
(2)连接AC ,若AC 平分BAD ∠,1BC =,求AC 的长.
23.(本小题满分5分)
如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数(0)k
y x x
=
＞的图线与直线2y x =-交于点(3,)A m .
(1)求k ,m 的值；
(2)已知点(,)(0) ＞P n n n ,过点P 作平行于x 轴的直线,交直线2y x =-于点M ,过点P
作平行于y 轴的直线,交函数(0)k
y x x
=
＞的图象于点N . ①当1n =时,判断线段PM 与PN 的数量关系,并说明理由； ②若PN PM ≥,结合函数的图象,直接写出n 的取值范围.
24.(本小题满分5分)
如图,AB 是O 的一条弦,E 是AB 的中点,过点E 作EC OA ⊥于点C ,过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D . (1)求证：DB DE =；
(2)若12AB =,5BD =,求O 的半径.
25.(本小题满分6分)
某工厂甲、乙两个部门各有员工400人,为了解这两个部门员工的生产技能情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.
收集数据 从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工,进行了生产技能测试,测试成绩(百分制)如下： 甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77 乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据 按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x 人数
部门 4049x ≤≤ 5059x ≤≤ 6069x ≤≤ 7079x ≤≤ 8089x ≤≤
90100x ≤≤
甲 0 0 1 11 7 1 乙
(说明：成绩80分及以上为生产技能优秀,70～79分为生产技能良好,60～69分为生产技能合格,60分以
下为生产技能不合格)
分析数据 两组样本数据的的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门
平均数
中位数 众数
得出结论 a .估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 ；
b .可以推断出 部门员工的生产技能水平较高,理由为
.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性) 26.(本小题满分6分)
如图,P 是AB 所对弦AB 上的一动点,过点
P 作PM AB ⊥交
AB 于点M ,连接MB ,过点P 作PN AB
⊥于点N .已知
P ,N 两点间的距6cm AB =,设A ,P 两点间的距离为cm x ,
离为cm y .(当点P 与点A 或点B 重合时,
y 的值为0)
小东根据学习函数的经验,对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了如下探究.
下面是小东的探究过程,请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量,得到了x 与y 的几组值,如下表：
(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象,解决问题：当PAN △为等腰三角形时,AP 的长度约为 cm .
27.(本小题满分7分
)
在平面直角坐标系
xOy
中,抛物线243
y x x =-+与x 轴交于点A ,B (点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .
(1)求直线BC 的表达式；
(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点11(,)P x y ,22(,)Q x y ,与直线BC 交于点33(,)N x y .若123x x x ＜＜,结合函数的图象,求123x x x ++的取值范围.
28.(本小题满分7分)
在等腰直角ABC △中,90∠=︒ACB ,P 是线段BC 上一动点(与点B ,C 不重合),连接AP ,延长BC 至点Q ,使得CQ CP =,过点Q 作QH AP ⊥于点H ,交AB 于点M .
(1)若PAC α∠=,求AMQ ∠的大小(用含α的式子表示)； (2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系,并证明.
29.(本小题满分8分)
对于直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ,给出如下定义：若在图形M 上存在一点Q ,使得P ,Q 两点间的距离小于或等于1,则称P 为图形M 的关联点. (1)当O 的半径为2时,
①在点11(0)2P ，
,213
(,)22P ,35(0)2
P ，中,O 的关联点是 ； ②点P 在直线y x =-上,若P 为O 的关联点,求点P 的横坐标的取值范围；
(2)C 的圆心在x 轴上,半径为2,直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ,B .若线段AB 上的所有点
都是C 的关联点,直接写出圆心C 的横坐标的取值范围.
北京市2017年高级中等学校招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】B
【解析】由题意，得点P 到直线l 的距离是线段PB 的长度，故选：B 。

【考点】点到直线的距离的概念 2.【答案】D
【解析】由意义可知：40-≠x ，∴4≠x ，故选：D 。

【考点】分式有意义的条件 3.【答案】A
【解析】观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故选：A 。

【考点】几何体的展开与折叠 4.【答案】C
【解析】由数轴上点的位置，得401a b c d -＜＜＜＜＜＜；A ．4-＜a ，故A 不符合题意；B ．0＜bd ，故B 不符合题意；C ．4=＞a d ，故C 符合题意；D ．0+＜b c ，故D 不符合题意；故选：C 。

【考点】数轴上点的特征
【解析】A ．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，故选A 。

【考点】轴对称图形和中心对称图形的概念 6.【答案】B
【解析】设多边形n 边形，由题意，得(2)180150-︒=n n ，解得12=n ，故选：B 。

【考点】正多边形的内角和定理 7.【答案】C
【解析】2222
244(2)(2)()(2)2222
-+--===+=+---a a a a a a a a a a a a a a a a a 。

∵2210+-=a a ，∴221+=a a ，∴原式1=，故选C 。

【考点】分式的化简求值 8.【答案】B
【解析】A ．由折线统计图可得：与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；
B ．由折线统计图可得：20112014年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，故此选项错误，符合题意；
C ．20112016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：
(3632.54003.04436.54803.64718.74554.4)64358+++++÷≈
故超过4 200亿美元，正确，不合题意；
D ．∵4554.41368.2 3.33÷≈，∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多。

故选：B 。

【考点】从统计图获取信息解决问题，数的估算 9.【答案】D
【解析】由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A 错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度
=
路程
时间，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B 错误；根据图象小苏前15s 跑过的路程小于小林前15s 跑过的路程，故C 错误；小林在跑最后100m 的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D 正确；故选：D 。

【考点】函数图像的应用
【解析】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的可能性是：3085000.616÷=，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，
“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误，故选B 。

【考点】用试验估计概率
第Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】略
【解析】写出一个比3大且比4小的无理数，如π，也可以用开平方的方法来确定，即二次根式中被开方数比9大而比16
等。

【考点】无理数的概念，实数的大小比较
12.【答案】454353+=⎧⎨-=⎩
x y x y
【解析】设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，由题意得：245435-=⎧⎨+=⎩x y x y ，故答案为：2
45435-=⎧⎨+=⎩
x y x y 。

【考点】二元一次方程组解应用题 13.【答案】3
【解析】∵M ，N 分别是边AC ，BC 的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，∴∥MN AB ，且1
2
=MN AB ，∴△∽△CMN CAB ，∴
21
=)4
=△△（CMN CAB S MN S AB ，∴
13=△CMN 四边形ABNM S S ，∴3313==⨯=△四边形AMN ABNM S S ，故答案为：3。

【考点】三角形的中位线定理，平行线等分线定理 14.【答案】25
【解析】∵=AD CD ，∴=AD CD 。

∵AB 为O 的直径，40∠=︒CAB ，∴80︒=BC ， ∴18080100︒-︒==︒AC ，∴50︒==AD CD ，∴25∠︒=CAD ，故答案为：25︒° 【考点】圆的相关性质，圆周角与所对的弧的关系 15.【答案】略
【解析】以点C 为圆心，将△OCD 顺时针旋转90︒，再将得到的三角形向左平移2个单位长度，或者也可以先将△OCD 向左平移2个单位长度，再以直角顶点为中心顺时针旋转90︒可以得到△AOB 。

【考点】平移，旋转，轴对称的变化
16.【答案】到线段两端相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；圆的定义
【解析】该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90︒的圆周角所对的弦是直径。

故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90︒的圆周角所对的弦是直径。

【考点】三角形外接圆 三、解答题 17.【答案】3
【解析】原式41233=-==。

【考点】实数的综合运算 18.【答案】2＜x
【解析】2(1)3
70512++-⎧⎪
⎨⎪⎩①＞②＞x x x x ，由①式得3＜x ；由②式得2＜x ，所以不等式组的解为2＜x 。

【考点】解一元一次不等式组
19.【答案】∵=AB AC ，36∠=︒A ，∴72∠==︒ABC C 。

∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴36∠=∠=︒ABD DBC ，72∠=︒BDC 。

∴∠=∠A ABD ，∠=∠BDC C ，∴==AD BD BC 。

【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理
20.【答案】=-+△△△矩形（）ADC ANF FGC NFGD S S S S ，()=-+△△△矩形ABC ANF FCM EBMF S S S S 。

易知，=△△ADC ABC S S ，=△△ANF AEF S S ，=△△FGC FMC S S ，可得=矩形矩形NFGD EBMF S S 。

故答案分别为△AEF S ，△FCM S ，△ANF S ，△AEF S ，△FGC S ，△FMC S 。

【考点】矩形的性质，图形的面积关系，古代数学文化传承 21.【答案】（1）∵在方程2(3)220-+++=x k x k 中，
22[(3)]41(22)21(1)20=-+-⨯⨯+=-+=-△≥k k k k k ，∴方程总有两个实数根。

（2）∵2(3)22(2)(1)0-+++=---=x k x k x x k ，∴12=x ，21=+x k 。

∵方程有一根小于1，∴11+＜k ，解得：0＜k ，∴k 的取值范围为0＜k 。

【考点】一元二次方程根的判别式及求根公式
22.【答案】（1）∵2=AD BC ，E 为AD 的中点，∴=DE BC 。

∵∥AD BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形。

∵90∠=︒ABD ，=AE DE ，∴=BE DE ，∴四边形BCDE 是菱形。

（2）连接AC 。

∵∥AD BC ，AC 平分∠BAD ，
∴∠=∠=∠BAC DAC BCA ，∴1==AB BC 。

∵22==AD BC ，
∴1
sin 2∠=ADB ，∴30∠=︒ADB ，∴30∠=︒DAC ，60∠=︒ADC 。

在Rt △ACD 中，∵2=AD ，∴1=CD ，=AC
【考点】菱形的判定，直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质
23.【答案】（1）将(3,)A m 代入2=-y x ，∴321=-=m ，∴(3,1)A ，将(3,1)A 代入=k
y x ，∴313=⨯=k 。

（2）①当1=n 时，(1,1)P ，令1=y ，代入2=-y x ，21-=x ，∴3=x ，∴(3,1)M ，∴2=PM ，令1=x 代入3
=
y x
，∴3=y ，∴(1,3)N ，∴2=PM ，∴=PM PN 。

②(,)P n n ，点P 在直线=y x 上，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2=-y x 于点M ，(2,)+M n n ，
∴2=PM ，∵≥PN PM ，即2≥PN ，∴0＜n ≤1或n ≥3 【考点】一次函数和反比例函数的图像及其性质
24.【答案】（1）证明：∵=AO OB ，∴∠=∠OAB OBA 。

∵BD 是切线，
∴⊥OB BD 。

∴90∠=︒OBD 。

∴90∠+∠=︒OBE EBD 。

∵⊥EC OA ，∴90∠+∠=︒CAE CEA 。

∵∠=∠CEA DEB ， ∴∠=∠EBD BED 。

∴=DB DE 。

（2）作⊥DF AB 于F ，连接OE 。

∵=DB DE ，6==AE EB ，∴1
32
=
=EF BE ，⊥OE AB 。

在Rt ∆EDF 中，5==DE BD ，3=EF ，
∴4=DF 。

∵90∠+∠=︒AOE A ，90∠+∠=︒DEF A ，∴∠=∠AOE DEF 。

∴4
sin sin 5∠=∠==AE DEF AOE AO ，
∵6=AE ，∴15
2=AO 。

∴O 的半径为15
2。

【考点】圆的基本性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质
（2）A ．
12
40024020
⨯=（人）。

故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为200。

B ．答案不唯一，理由合理即可。

可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技能水平较高。

或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高； ②甲部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高。

故答案为：1，0，0，7，10，2。

【考点】数据的整理与描述，数据的分析
26.【答案】（1）通过取点、画图、测量可得4x =时， 1.6=y cm ，故答案为1.6。

（2）利用描点法，图象如图所示。

（3）当△PAN 为等腰三角形时，=x y ，作出直线=y x 与图象的交点坐标为(2.2,2.2)， ∴△PAN 为等腰三角形时， 2.2=PA cm ，故答案为2.2。

【考点】等腰三角形的性质，函数的应用
27.【答案】（1）由243-=+y x x 得到：(3)(1)=--y x x ，(0,3)C ，所以(1,0)A ，(3,0)B 。

设直线BC 的表达式为：(0)=+≠y kx b k ， 则330=⎧⎨
+=⎩b k b ，解得1
3=-⎧⎨=⎩
k b ，
所以直线BC 的表达式为3=-+y x 。

（2）由243=-+y x x 得到：2(2)1=--y x ，
所以抛物线243=-+y x x 的对称轴是2=x ，顶点坐标是(2,1)-。

∵12=y y ，∴124+=x x 。

令1=-y ，3=-+y x ，4=x 。

∵123＜＜x x x ，
∴334＜＜x ，即12378++＜＜x x x 。

【考点】一次函数和二次函数的图像及性质，解一元二次方程 28.【答案】（1）Q 45∠=︒+AM α；理由如下： ∵∠=PAC α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴45∠=∠=︒BAC B ，45∠=︒-PAB α。

∵Q ⊥H AP ， ∴90∠=︒AHM ，
∴Q 18045∠=︒-∠-∠=︒+AM AHM PAB α。

（2
）Q =P ；理由如下： 连接Q A ，作Q ⊥ME B ，如图所示：
∵Q ⊥AC P ，Q =C CP ，∴Q ∠=∠=AC PAC α。

∴Q 45Q ∠=︒+=∠AM AM α。

∴Q Q ==AP A M 。

在△APC 和Q △ME 中，Q Q Q ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
M E PAC
ACP EM AP M ，
∴Q ()≅△△APC ME AAS 。

∴=PC ME 。

∴△AEB 是等腰直角三角形。

∴12P 。

∴Q =P 。

【考点】等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质
29.【答案】（1）①∵点11(,0)2P ，21(22P ，3
5(,0)2
P ， ∴112=
OP ，21=OP ，35
2
=OP ， ∴1P 与O 的最小距离为32，2P 与O 的最小距离为1，3P 与O 的最小距离为1
2
，
∴O 的关联点是2P ，3P ； 故答案为：2P ，3P 。

②根据定义分析，可得当最小=-y x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意， ∴设(,)-P x x ，当1=OP 时，
由距离公式得，1==OP ，∴=x
当3=OP 时，3=OP ，解得：=x 。

∴点P 的横坐标的取值范围为：≤x x （2）∵直线1=-+y x 与x 轴、y 轴交于点A 、B ，∴(1,0)A ，(0,1)B 。

如图1。

当圆过点A 时，此时，3=CA ，∴(2,0)-C 。

如图2。

当直线AB 与小圆相切时，切点为D ，∴1=CD 。

∵直线AB 的解析式为1=-+y x ， ∴直线AB 与x 轴的夹角45=︒。

∴=AC 。

∴(1C 。

∴圆心C 的横坐标的取值范围为：21-≤≤C x 如图3。

当圆过点A ，则1=AC ，∴(2,0)C 。

如图4。

当圆过点B ，连接BC ，此时，3=BC ，
∴==OC C 。

∴圆心C 的横坐标的取值范围为：2≤≤C x
综上所述；圆心C 的横坐标的取值范围为：21-≤≤C x 2≤≤C x 【考点】平面直角坐标系内点的坐标变化，新定义运用。