1向量的加减法运算及其几何意义

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向量的加减法运算及其几何意义

知识点一：向量的基本概念：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；

④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，

要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

A(起点)

B

（终点）

a

知识点二：向量的加法（“首尾相接，首尾连”）

在三角形法则中“首尾相接”，是第二个向量的与第一个向量的重合.

2、向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量a，b（

→

==

,

OA a OB b）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是a与b的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，我们规定a+o=___________=_______.

练习：

1、化简

++=

++=

+++=

++=

____________

____________

___________

_______________

MB BA AC

MN NP PM

OA OC BO CO

AB AC BA

++=

+++=

++=

____________

____________

___________

_______________

MB BA AC

MN NP PM

OA OC BO CO

AB AC BA

2、若C是线段AB的中点，则+

AC BC=（）

A、AB

B、BA

C、O

D、0

3、已知△ABC中，D是BC的中点，则++

32

AB BC CA=（）

A、AD

B、3AB

C、O

D、2AD

4、已知正方形ABCD的边长为1，===

,,

AB a AC c BC b，则++

||

a b c为（）

A．0 B．3 C．2D．22

5、在矩形ABCD，==

||4,||2

AB BC，则向量++

AB AD AC的长度等于（）

A．25B．45C．12 D．6

O A

C

B

b

a

+

a

b

B C A b

a

b a - 注意：共起点，()a b -的方向

指向被减向量 ● ●

●

A

B

C

D E

F

知识点三：向量的减法

1、相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作a -.零向量的相反向量仍是 .

2、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = ， b = ，a b += .

3、 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头

指向被减数”.

如图：a AB =，b AC =，则AC AB b a -=-=CB 。

例1、化简：AB DA BD BC CA ++--=_______________。

例2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+； ⑵OE OA EA -+.

例3、（09湖南）如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）

A ．0AD BE CF ++=

B ．0BD CF DF -+=

C ．0A

D C

E C

F +-= D ．0BD BE FC --=

变式：如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )

A. AB →＝DC →

B. AD →＋AB →＝AC →

C. AB →－AD →＝BD →

D. AD →＋CB →

＝0 练习：

1、化简下列各式：

①AB AC DB --； ②AB BC AD DB +--.

2、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +-等于（ ） A ．BA B ．BD C ．AC D ．AB

3、下列各式中结果为O 的有（ ）

①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD

④+-+MN NQ MP QP A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．①②③ 4、下列四式中可以化简为AB 的是（ ）

①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OA