北京中国人民大学附属中学届高三上月考理科数学

中国人民大学附属中学2018届高三12月月考
数学试题（理科）
制卷人：赵婷、肖警庆、张端阳 审卷人：梁丽平、吴中才 2017.12.08 说明：本试卷共三道大题、20道小题，共4页，满分150分.考试时间120分钟.考生务必按要求将答案答在答题纸上.在试题上作答无效.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上.）
1.设全集为，集合，,则（ ） R {}012>-=x x A {}
R x y y B x ∈==,3=B A A. B. C. D. ()1,-∞-(]1,-∞-()+∞,1[)+∞,12.若直线与垂直，则的值为（ ）
012=-+y ax 0163=--y x a A.4 B.-4 C.1 D.-1
3.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向右)4sin(π+=x y 21平移
个单位，所得到的图像解析式是（ ） 4π
A. B. x y 2sin =x y 2
1sin =C. D. 42sin(π+=x y )42sin(π
-=x y 4.已知非零向量、，“”是“”的（ ）
a b b a b a -=+b a ⊥ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，下列结论正确的是（ ） 18
172
2=-+-k y k x x A.的取值范围为 B.的取值范围为
k 178<<k k 8<k C.双曲线的焦距为10 D.双曲线的实轴长为10
6.设函数是上的偶函数，在是减函数，则，，的)(x f y =R [)∞+，0)(e f -)(πf )3(-f 大小关系为（ ）
A. B.
)()3()(e f f f ->->π)()()3(πf e f f >->-C. D.
)()3()(πf f e f >->-)3()()(->->f e f f π7.若变量满足约束条件，且的最小值为-4，则=（ ）
y x ,⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x x y 4y x z +=2k A. B. C. D. 34-3443-4
38.定义全集的子集的特征函数对于任意的集合、，下列U A ⎩⎨
⎧∉∈=A
x A x x f A ,0,1)(A B U ⊆说法错误的是（ ） A.若，则，对于任意的成立；
B A ⊆)()(x f x f B A ≤U x ∈ B.，对于任意的成立；
)()(x f x f f B A B A += U x ∈ C.，对于任意的成立；
)()(x f x f f B A B A = U x ∈ D.若，则，对于任意的成立.
B C A U =1)()(=+x f x f B A U x ∈
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）
9.抛物线的焦点坐标为 .
22x y =10.在等差数列中，，，则公差 ，前17项的和{}n a 11=a 4108=+a a =d =17S .
11.若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，则 .
x y =)0(>=a a x 0=y 2a =a 12.已知与的夹角为，且，则的值为 .
a b 4π
12==a b ()a a b -213.若双曲线的渐近线方程为，则椭圆的离心率12222=-b y a x 02=±x y 122
22=+b
y a x 为 .
14.设为平面直角坐标系内的点集，若对于任意{}0),(),(==y x F y x M xOy M y x ∈),(11，存在，使得，则称点集满足性质.给出下列三个点M y x ∈),(2202121<+y y x x M P 集：①； ②； ③. {}x y y x R cos ),(=={}x y y x S ln ),(=={}1),(22=-=y x y x T 其中所有满足性质的点集的序号是 .
P
三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15.（本小题满分13分）
已知函数. x x x f 2cos 22)62sin(2)(+-=π
（I ）求函数的单调区间；
)(x f
（II ）求函数的最值.
)(x f
16. （本小题满分13分）
在△中，、、分别为角、、的对边，. ABC a b c A B C 272cos 2sin
42=-+A C B （I ）求角的大小；
A （II ）若，求和的值.
3,3=+=
c b a b c
17.（本小题满分13分）
已知圆过点（0，），（1，0），（-3，0）.
M 3（I ）求圆的方程；
M （II ）过点（0，2）的直线交圆于、，圆上有一点使得△是等边三角l M A B M P PAB 形，求直线的方程.
l
18.（本小题满分13分）
已知函数 ()()0ln 2>+-=a x x ax x f （I ）当时，求在点（1，）处的切线；
1=a )(x f )1(f
（II ）若有两个极值点，，求证：<.
)(x f 1
x 2x )()(21x f x f +3-2ln 2
19.（本小题满分14分） 已知圆，定点，是圆周上任一点，线段的垂直平分()16222=++y x B ：()
02，A P AP 线与交于点.
BP Q （I ）求点的轨迹的方程；
Q C （II ）直线过点且与轴不重合，直线交曲线于、两点，过且与垂直的l A x l C M N A l 直线与圆交于、两点，求四边形面积的取值范围.
B D E MDNE
20.（本小题满分14分）
若数列满足：①；②； )3(,,,21≥n a a a A n ：n a a a <<< 21),2,1(n i N a i =∈*③任意项的算术平均值是整数，则称数列为“Z-数列”. 1-n A （I ）若数列1，，，13为“Z-数列”，写出所有可能的； x y y x ,（II ）是否存在正整数，使得为“Z-数列”？若存654321,,,,,b b b b b b 654321b b b b b b 2,2,2,2,2,2在，请写出一组并验证，若不存在，请说明理由； 654321,,,,,b b b b b b （III ）若“Z-数列”中，，求的最大值. n a a a A ,,,21 ：2017,11==n a a n。