西南大学专升本2016初等数论第三次作业

初等数论第三次作业
计算题
1．求169与121的最大公因数。

答；（169，121）=（169 – 121，121）=（48，121）=（48，121 – 48）
=（48，73）=（48，25）=（23，25）=1。

所以（169，121）＝1。

2．求出12!的标准分解式。

答；e d c b a 117532!12⨯⨯⨯⨯=，
10812412212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a ，5912312=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b ， 2512=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c ，1712=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d ，11112=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=e ， 所以12!的标准分解式为117532!122510⨯⨯⨯⨯=
3．求不定方程3x - 4y = 1的一切整数解。

答；因为（3,4）= 1，所以不定方程有整数解。

观察知x = 3，y = 2是其一个整数解。

由公式知其一切整数解为⎩⎨⎧+=+=t
y t x 3243，t 为整数。

4．求不定方程7x + 2y = 1的一切整数解。

答；因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。

观察知其一个整数解是
0013
x y =⎧⎨=-⎩。

于是其一切整数解为1237x t y t =+⎧⎨=--⎩
，t 取一切整数。

5．解同余式3x ≡ 1 (mod 7)。

答；因为（3,7）= 1，所以同余式有解且有一个解。

由3x - 7y = 1得⎩⎨⎧+=+=t
y t x 3275，
所以同余式的解为)7(mod 5≡x
6．解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。

答；因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。

由3108x y -=得
一个解00
61x y =⎧⎨=⎩，所以同余式的解为6(mod10)x ≡。

7．解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。

答：因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解，且有7个解。

同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5)，解4x ≡ 3(mod 5)得x ≡ 2(mod
5)，故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2，7，12，17，22，27，32(mod 35)。

8．解同余式组：
⎩⎨⎧≡≡)
5(mod 2)3(mod 1x x 。

答；由)3(mod 1≡x 得13+=k x ，将其代入)5(mod 2≡x
得)5(mod 213≡+k ，
解得)5(mod 2≡k ，即25+=t k ，
所以715+=t x ，所以解为)15(mod 7≡x 。

9．解同余式组：
⎩⎨⎧≡≡)
7(mod 3)5(mod 2x x 。

答；由)5(mod 2≡x 得25+=k x ，将其代入)7(mod 3≡x
得)7(mod 325≡+k ，
解得)7(mod 3≡k ，即37+=t k ，
所以1735+=t x ，所以解为)35(mod 17≡x 。

10．解同余式组：
1(mod3)2(mod 7)x x ≡⎧⎨≡⎩。

答；由1(mod3)x ≡得1113,x t t Z =+∈，将其代入2(mod7)x ≡得
1132(mod 7)t +≡，即131(mod 7)t ≡，解得15(mod 7)t ≡，所以
12257,t t t Z =+∈，于是12221313(57)1621,x t t t t Z =+=++=+∈。

所以同余式组的解为16(mod 21)x ≡。

11．解同余式组：
1(mod 2)1(mod 3)1(mod 5)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。

答：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。

由孙子定理可得该同余式组的解为 1(mod 30)
12．一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数有许多的约数
是两位数，求出这些两位约数中最大的那一个。

答；设这个数为n ，则由已知条件可得7532235⨯⨯⨯=n 。

由于11|99，98|72，97|97，所以99，98，97都不是n 的约数。

又32965⨯=，所以96是n 的约数，
所以n 的两位约数中最大的为96。