线性方程组通解中自由未知量选取方法探讨
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未 知量 的 选取 方法 。下面 用 例题 来说 明 。
（ ２ ． １ ） 的通解时， 可取系数矩阵Ａ ＝ ｌ ｉ 。 ｉ ｌ 列向量组的
＼ ａ ∞ ｌ … ａ ｍ ｎ ］
任 意一 个极 大 线性 无关 组 所对 应 的变 量 为约 束 未知 量 ，其 余 的未 知 量为 自由未 知量 。
／ ａ ｌ ｊ 、
解法 一 ：系数矩 阵
０ ， 其 中 ： ｆ ＼ ｌ … １ … ， ｎ ｝ ， 不 失 一 般 性 可 设 ｎ ， ａ ， …
ａ嘲
／ ｌ ２ ３ ４ 、 ｒ ￣ － Ｚ ３ ｒ ｈ ｘ ／ ｌ ２ 。 ４ 、
／
３ ４ ； ）
｛ ｌ ； ３ ４ ： ｝ 一 … （ 厨 上 ） … 一 ｛ ０ 。 。 １ ） ５ ６ ７ ／ ｉ ０ ０ ０ ０／
列 向 量组 的一 个 极 大无 关 组 ，故 可选 ｘ ２ 为 自由未 知 量 ，那 么 就 会 得 到解 法 二 给 出 的答 案 。依 据 定理 可 知 ，还可 选择 Ｘ ２ Ｘ ３ 或 Ｘ Ｉ Ｘ ２ 等 等 作 为 自 由未 知 量 ，那 么就 可 得 到 更 多 不 同 形 式 的通
证 明：
例 ： 求 解 齐 次 线 性 方 程 组 ｛ ， 瑟 ｘ Ｉ ： ＋ ： ２ ｘ ２ ＋ 十 ： ３ ｘ ３ ： ＝ ４ ： ｘ ４ ； ０
Ｌ ４ ｘ １ ＋５ ｘ ２ 十６ ｘ ｓ ＋７ ｘ ４ ０
可将 方程 组 （ ２ ． １ ） 改 写 为向 量形 式 ｘ ｔ ｃ ｑ＋ｘ ｚ ａ ２ ＋… ＋Ｘ ｎ Ｕ ｎ
行的首非零元所在列对应的变量为约束未知量，其余未知量即为
自由未知 量 。 （ 如解 法 一 ）
根 本 原则 ：
ｆ ａ ｌ ｌ Ｘ ｌ ＋ａ ｔ ２ ｘ ２＋． ． － ＋ａ ｘ ｎ Ｘ ｎ ０
ห้องสมุดไป่ตู้
年的教学过程中出现的问题也是颇 多，这里我们对其中一个问题
做深 入研 究 。
１ 提 出问题
Ｉ ＼ ０ ０ ０ ０ ／ ） ｆ ｌ ㈦ 、 ０ ０ ０ ０ 。 ／ ） Ｊ
得 同 解 方 程 组 蹙 一 琵二 釜（ 取 ＿ ｘ ３ ｘ ４ 为 自 盎 泰 知 董 ）
与之 对 应 ，即满 足 方 程 组 Ｘ １ ａ Ｉ ＋ｘ ２ ａ ２ ＋ …＋ｘ ａ ｎ ０ ，即 满 足 （ ２ ． １ ）。故 可视 Ｘ ｒ ＋ １ ｘ ｒ ＋ ２ ， … ，， ｃ ｎ 为 自由未 知 量 。 不 失 一般 性 ，极 大 无关 组 ａ ｌ ，娌 ２ ，… ， 无 论位 于 仅 １ ， ２ ，
…
得 方 程 组 的 通 解 为 ） ｔ ） ＋ １ ） 槛 为 任 意 囊 黝 … ．
／ １ ２ ３ ４ ＼ ／１ ０ — １ － ２ ＼
‰ 的 任何 位 置此 定理 显 然成 立。 证 明 完毕 。 由 以上 定理 ，例题 中系 数矩 阵 Ａ 的 四个 列 向 量 中一 、三 列为
么 原 则呢 ？
一
有很强的抽象 洼，是高校基础数学教 学难点之一。线性代数是研
究有 限维 空 间 中线性 关 系 的理 论和 方 法的 数学 ，定义 、定理 多 ，
般方法 ：将系数矩阵经初等行变换化为行最 简形 ，非零
尤其向量部分最为典型 ，需要较强的抽象思维能力 ，这一点对于
侧重 于 计算 能 力培 养 的工科 学 生来 讲 是一 个挑 战 。基于 此 ，在 多
ｉ ２
０ ０ ０
二 二 － 一 ３ ）
， ｉ ０一 ｌ一 ０ 、
。 ０
为 向 量组 ａ ｔ ，ａ ｚ ，…， ‰ 的一 组 极 大 无 关组 ，则 任 意 一 个 向 量 ａ ｒ ＋ ｌ ， ａ ｒ ＋ ｚ ，…， ｎ 均可 由 ｌ ，ｇ ２ ，…，ａ 唯 一 线 性 表 示 ，故 对 任
曩 工 种技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
学 术 研 讨
线性 方程组通 解 中 自由未知 量选取 方法探 讨
白 通 拉 嘎
内蒙 古 工 业 大 学 理 学 院 工 科 数 学 部
摘 要
０ １ ０ ０ ５ ｌ 呼 和 浩 特
本 文 深入 讨 论 了线 性代 数 教 学过 程 中所 遇 到 的一 个 问题一 求解 齐次线 性 方程 组 通 解 时 自由 未知 量 的选取 方 法 ，
定理 ： 求解齐次线性方程组 ｛
……… ……… …・
／ ａ ｌ ｌ … ａ 抽 、
ｔ ａ ｍ ｌ Ｘ ｌ ＋ａ 煳 ２ ｘ ２＋ … ＋ａ ｔ ｒ ｍ Ｘ ｎ： ０
… ． ．
在 讲授 线 性 代 数 过 程 中 ，常 常 被 学 生 问 到 同 一 个 问 题 ： “ 老师 ，为什 么我 算 出 的齐 次线 性 方程 组 的通解 与 答 案不 同 ？ ” 这就 是 下 面我 们要 解 决的 问题 一 齐次 线 洼方 程 组求 解过 程 中 自由
线性 代数 齐次 线性 方程 组 自由 未知 量
通过 例题 给 出 了一般 性 的 结论 ，并从 中总结 了几点教 学经 验 。
关键 词
线 性 代 数 是 理 工 科 大 学 生 的 一 门 重 要 基础 课 ，课程 内容 具
的区 别在 于 自由未 知量 的选 取 不 同 ，那么 自由未 知量 的 选取 有 什
ｒ ： ： 象， Ｉ ２ ３ 、
意一组数 ｘ ｒ ÷ ｌ Ｘ ｒ ￣ ２ ， … ｘ ｎ总有唯一一组数 ｘ ｌ ，ｘ ２ ，…，
ｘ ｆ ，按 照 ｘ ｌ 疵 ｔ ＋ｘ ２ 仅 ２ ＋…＋ ｘ ｒ ａ ｒ － Ｘ ｒ ＋ ｌ ａ ｒ ＋ ｌ — ｘ ｒ ＋ ２ ｄ ｒ ＋ ２ …・ 一ｘ ｎ ‰
得 同 解 方 程 组 ｛ 一 Ｘ ２ ｘ ３ ３ 一 ｘ ２ — ２ ３ Ｘ ｘ ４ ． （ 取 ｘ ｘ ｔ 为 自 由 来 知 量 ） 解 。
（ ２ ． １ ） 的通解时， 可取系数矩阵Ａ ＝ ｌ ｉ 。 ｉ ｌ 列向量组的
＼ ａ ∞ ｌ … ａ ｍ ｎ ］
任 意一 个极 大 线性 无关 组 所对 应 的变 量 为约 束 未知 量 ，其 余 的未 知 量为 自由未 知量 。
／ ａ ｌ ｊ 、
解法 一 ：系数矩 阵
０ ， 其 中 ： ｆ ＼ ｌ … １ … ， ｎ ｝ ， 不 失 一 般 性 可 设 ｎ ， ａ ， …
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／
３ ４ ； ）
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列 向 量组 的一 个 极 大无 关 组 ，故 可选 ｘ ２ 为 自由未 知 量 ，那 么 就 会 得 到解 法 二 给 出 的答 案 。依 据 定理 可 知 ，还可 选择 Ｘ ２ Ｘ ３ 或 Ｘ Ｉ Ｘ ２ 等 等 作 为 自 由未 知 量 ，那 么就 可 得 到 更 多 不 同 形 式 的通
证 明：
例 ： 求 解 齐 次 线 性 方 程 组 ｛ ， 瑟 ｘ Ｉ ： ＋ ： ２ ｘ ２ ＋ 十 ： ３ ｘ ３ ： ＝ ４ ： ｘ ４ ； ０
Ｌ ４ ｘ １ ＋５ ｘ ２ 十６ ｘ ｓ ＋７ ｘ ４ ０
可将 方程 组 （ ２ ． １ ） 改 写 为向 量形 式 ｘ ｔ ｃ ｑ＋ｘ ｚ ａ ２ ＋… ＋Ｘ ｎ Ｕ ｎ
行的首非零元所在列对应的变量为约束未知量，其余未知量即为
自由未知 量 。 （ 如解 法 一 ）
根 本 原则 ：
ｆ ａ ｌ ｌ Ｘ ｌ ＋ａ ｔ ２ ｘ ２＋． ． － ＋ａ ｘ ｎ Ｘ ｎ ０
ห้องสมุดไป่ตู้
年的教学过程中出现的问题也是颇 多，这里我们对其中一个问题
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１ 提 出问题
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得 同 解 方 程 组 蹙 一 琵二 釜（ 取 ＿ ｘ ３ ｘ ４ 为 自 盎 泰 知 董 ）
与之 对 应 ，即满 足 方 程 组 Ｘ １ ａ Ｉ ＋ｘ ２ ａ ２ ＋ …＋ｘ ａ ｎ ０ ，即 满 足 （ ２ ． １ ）。故 可视 Ｘ ｒ ＋ １ ｘ ｒ ＋ ２ ， … ，， ｃ ｎ 为 自由未 知 量 。 不 失 一般 性 ，极 大 无关 组 ａ ｌ ，娌 ２ ，… ， 无 论位 于 仅 １ ， ２ ，
…
得 方 程 组 的 通 解 为 ） ｔ ） ＋ １ ） 槛 为 任 意 囊 黝 … ．
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‰ 的 任何 位 置此 定理 显 然成 立。 证 明 完毕 。 由 以上 定理 ，例题 中系 数矩 阵 Ａ 的 四个 列 向 量 中一 、三 列为
么 原 则呢 ？
一
有很强的抽象 洼，是高校基础数学教 学难点之一。线性代数是研
究有 限维 空 间 中线性 关 系 的理 论和 方 法的 数学 ，定义 、定理 多 ，
般方法 ：将系数矩阵经初等行变换化为行最 简形 ，非零
尤其向量部分最为典型 ，需要较强的抽象思维能力 ，这一点对于
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为 向 量组 ａ ｔ ，ａ ｚ ，…， ‰ 的一 组 极 大 无 关组 ，则 任 意 一 个 向 量 ａ ｒ ＋ ｌ ， ａ ｒ ＋ ｚ ，…， ｎ 均可 由 ｌ ，ｇ ２ ，…，ａ 唯 一 线 性 表 示 ，故 对 任
曩 工 种技 ２ ０ １ ３ 年第４ 期
学 术 研 讨
线性 方程组通 解 中 自由未知 量选取 方法探 讨
白 通 拉 嘎
内蒙 古 工 业 大 学 理 学 院 工 科 数 学 部
摘 要
０ １ ０ ０ ５ ｌ 呼 和 浩 特
本 文 深入 讨 论 了线 性代 数 教 学过 程 中所 遇 到 的一 个 问题一 求解 齐次线 性 方程 组 通 解 时 自由 未知 量 的选取 方 法 ，
定理 ： 求解齐次线性方程组 ｛
……… ……… …・
／ ａ ｌ ｌ … ａ 抽 、
ｔ ａ ｍ ｌ Ｘ ｌ ＋ａ 煳 ２ ｘ ２＋ … ＋ａ ｔ ｒ ｍ Ｘ ｎ： ０
… ． ．
在 讲授 线 性 代 数 过 程 中 ，常 常 被 学 生 问 到 同 一 个 问 题 ： “ 老师 ，为什 么我 算 出 的齐 次线 性 方程 组 的通解 与 答 案不 同 ？ ” 这就 是 下 面我 们要 解 决的 问题 一 齐次 线 洼方 程 组求 解过 程 中 自由
线性 代数 齐次 线性 方程 组 自由 未知 量
通过 例题 给 出 了一般 性 的 结论 ，并从 中总结 了几点教 学经 验 。
关键 词
线 性 代 数 是 理 工 科 大 学 生 的 一 门 重 要 基础 课 ，课程 内容 具
的区 别在 于 自由未 知量 的选 取 不 同 ，那么 自由未 知量 的 选取 有 什
ｒ ： ： 象， Ｉ ２ ３ 、
意一组数 ｘ ｒ ÷ ｌ Ｘ ｒ ￣ ２ ， … ｘ ｎ总有唯一一组数 ｘ ｌ ，ｘ ２ ，…，
ｘ ｆ ，按 照 ｘ ｌ 疵 ｔ ＋ｘ ２ 仅 ２ ＋…＋ ｘ ｒ ａ ｒ － Ｘ ｒ ＋ ｌ ａ ｒ ＋ ｌ — ｘ ｒ ＋ ２ ｄ ｒ ＋ ２ …・ 一ｘ ｎ ‰
得 同 解 方 程 组 ｛ 一 Ｘ ２ ｘ ３ ３ 一 ｘ ２ — ２ ３ Ｘ ｘ ４ ． （ 取 ｘ ｘ ｔ 为 自 由 来 知 量 ） 解 。