不等式在中学数学中的应用 -毕业论文

【标题】不等式在中学数学中的应用

【作者】李益财

【关键词】应用分析归纳不等式

【指导老师】杨世显

【专业】数学与应用数学

【正文】

1. 引言

在我们的一般生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识，所以不等式在解决最优优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具，所以研究不等式不只是一个数学问题，还给生活和生产带来很多方便。

在中学数学中初看起来不等式的内容涉及并不多,常见的是包括方程等在内的代数和几何不等式也就几种，但事实上只有不等关系才是绝对的，所以不等式的内容是中学数学必不可少的.不等式在中学数学算是一个比较难的知识，但近年来的高考对不等式颇为重视，所以不等式在中学数学中算是一个很重要的内容了。但在传统的中学数学教材中，对有的不等式的讨论不是很多，对均值不等式、三角不等式、贝努利不等式、椭圆不等式这几个重要的特殊不等式更是少之又少了，但它们在中学数学中却是不可小视的一部分内容，学好这些不等式给我们解决很多实际问题带来很多方便。所以我认为写这篇论文，研究一下中学不等式是有必要的。

均值不等式

（1）

（2）

是中学数学中最常见的，应用最为普遍的特殊不等式，在不等式的证明和求解有关最值等问题中有着极为广泛的应用。三角不等式（主要以（、b不全为零）为例）也是中学数学中常见的特殊不等式，它的应用也很广泛。这两种不等式在中学数学中虽然很常见，但对它们的分析不是很彻底。贝努利不等式和椭圆不等式（若，则有不等式），在中学数学中出现的很少，课本对它们几乎不作介绍，但它们在中学数学中的作用很大，是不能缺少的两个特殊不等式，所以很有讨论的必要。

本文主要以中学教材中出现的均值不等式、三角不等式、贝努利不等式、椭圆不等式为根据,采取了分析、归纳、总结的方法，对它们很好的分析它们的性质、总结和归纳它们的用法。本文在此基础上,以有关理论为依据,以具体问题为例,对以上几种不等式分别作以讨论。

2. 均值不等式

大家都知道，均值不等式

（1）

（2）

是不等式一章中最基础、广泛的灵活因子，是中学数学的一个很重要的特殊不等式，

也是高考重点考查内容之一。在不等式的证明和求解有关最值等问题中有着极为广泛的应用。所以加强这一不等式的分析探讨，探寻其多种证题途径和方法，是显得很有必要的。下面对均值不等式的分析和应用，我们可以从一下三个方面着手：2.1. 通过特征分析，用于证不等式

（1）次数相等；

（2）项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等；

（3）不等式的左边和右边积。

当要证的不等式具有上述性质时，考虑用均值不等式证明。

例2.1 已知、b、c为不全相等的正数，求证

分析：观察要证不等式的两端都是关于、b、c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

证明：∵，>0

∴

同理可得：、

又∵、b、c不全相等

∴上述三个不等式中的等号不能同时成立，因此

例2.2 若、b、c ，且，求证：

分析：由、b、c ，联想均值不等式成立的条件，并把1= 代换、、中的“1”，要证不等式变为

，

即，

亦既

发现与互为倒数，已具备均值不等式的特征。

证明：∵、b、c

∴ 2 =2，，

∴

∴

又∵=1

∴.

说明：1）此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。

2）在附加条件的变换下，要证的不等式隐含均值不等式的部分特征，显示其一个或者两个特征，这时，仍可考虑用特征分析法，合理选择思路，寻找解决问题的切入点。

2.2. 抓条件“一正、二定、三等”求最值

由均值不等式（2）

推证出最值定理及其使用的前提条件“一正、二定、三等”，所谓“一正、二定、三等”就是变量均为正数、变量积或和为定值、等号成立。求最值时，三者缺一不可。

例2.3 已知x、y 且9x+16y=144，求xy的最大值.

分析：由题设一正：x、y ；二定：9x+16y=144.求积的最大值，可考虑用均值不等式求解.

解：∵x、y

∴xy=

=36

等且仅当9x=16y，即x=8、y= 时，

例2.4 某工厂生产一批精密仪器，这个厂有两个分厂，分设在甲、乙两城市。在甲城市的分厂生产半成品，然后运到乙城市的分厂加工成成品。现该厂接受了一批订货，要在100天内制成这批精密仪器，由于乙分厂每天可以加工完一件仪器，而甲分厂的半成品保证满足供应，所以这项订货任务恰好按时完成。今知每个半成品从甲市运到乙市的运费为100元，而每个半成品在乙市储存一天的储存费为2元。问应分几批（批量相等），才能使总花费（包括运输费及储存费）最少？

分析：由题设条件，每批送x个，批次为。又①每批运费100元；②每批储存费为，由此可建立总的花费y与x的函数。

解：设总费用为y元，每批送x个半成品，批次为。由题意，得

=

=1900

当且仅当，即x=10（件）时等号成立。

=10（批）

答：分10批送费用最低。

说明：本题根据解答数学应用问题的思路，分阅读、译释、建模、运算、评价五步完成，也可以设批次为x解答。

2.3. 抓“当且仅当……等号成立”的条件，实现相等与不等的转化

在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界线，是相等与不等的突破口。

例2.5 在⊿ABC中，若三边、b、c满足条件，试判定三角形的形状。

分析：，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例（取等号情形），所以有下面解法。

解：∵>0、b>0、c>0,故有不等式

，即，

当且仅当=b=c时，上式等号成立，故三角形ABC为等边三角形。

例6．已知x、y、z为正实数，且x+y+z=3，。求的值。

解：由题设得

∵x、y、z>0

∴、、

∴

此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即

、、

∴、、