5.3卡方分布、t分布及F分布
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Hale Waihona Puke Baidu
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
P{ X 2 } 1 F (2 ) 0.5
x1
1 x0.5 2 x10.5
标准正态分布的分位数
标准正态分布的α分位数：记作u , 若U ~ N 0,1 , P{U u } (u ) , 常用的上侧 分位数有： P{U u1 } 1 , 0 . 10 ， u 1 . 28 ; 0 . 90 P{U u } 0.5 ,
2) X ~ t (n), 则X ~ F (1, n).
2
p x
p x
p x
5.常用分布的分位数
三种分位数的定义
x
设连续型随机变量X的分布函数为F(x)， ① α分位数xα （下侧α分位数）
x
2
2
x
1
2
x
P{ X x } F ( x )
② 上侧α分位数λ P{ X } 1 F ( ) ③ 双侧α分位数λ 1，λ 2 P{ X 1 } F (1 ) 0.5
1 再求F ( n, m ) . F1 ( m , n)
当 X ~ F (m, n) 时，PX F1 m, n 1 ，
1 1 1 1 P 1 , P X F1 m, n X F1 m, n
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)
性质: 1) t分布的分布密度是偶函数; t分布近似于N(0,1)分布. 2) 当n>30时，
3.F分布
什么是F分布
设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~ 2 ( n), X n Y ~ ( m ), 则称F 的分布为第一自由度为 Y m
2
n，第二自由度为m的F 分布，记作F ～F n, m 。 性质: 1 1)当F ~ F ( n, m )时, ~ F ( m, n). F
2 2
分布的可加性 若Y ~ 2 (n)与Z ~ 2 (m )相互独立, 则
2
Y Z ~ (n m ).
2
2.t分布
什么是t分布
设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~ N (0,1), Y ~ ( n), 则称T
2
X Y n
的分布为自由度等于n
的t 分布。记作T ~ t n .
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
1.卡方分布
2.t分布
3.F分布
4.t分布与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
0.5
P{U u10.5 } 1 0.5 .
对称分布，显然有： 1) 0.5时，u 0 2) 0.5时，u 0
0.05 ，u0.95 1.65; 0.01 ，u0.99 2.33;
0.025 ，u0.975 1.96;
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
P{ X 2 } 1 F (2 ) 0.5
x1
1 x0.5 2 x10.5
标准正态分布的分位数
标准正态分布的α分位数：记作u , 若U ~ N 0,1 , P{U u } (u ) , 常用的上侧 分位数有： P{U u1 } 1 , 0 . 10 ， u 1 . 28 ; 0 . 90 P{U u } 0.5 ,
2) X ~ t (n), 则X ~ F (1, n).
2
p x
p x
p x
5.常用分布的分位数
三种分位数的定义
x
设连续型随机变量X的分布函数为F(x)， ① α分位数xα （下侧α分位数）
x
2
2
x
1
2
x
P{ X x } F ( x )
② 上侧α分位数λ P{ X } 1 F ( ) ③ 双侧α分位数λ 1，λ 2 P{ X 1 } F (1 ) 0.5
1 再求F ( n, m ) . F1 ( m , n)
当 X ~ F (m, n) 时，PX F1 m, n 1 ，
1 1 1 1 P 1 , P X F1 m, n X F1 m, n
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)
性质: 1) t分布的分布密度是偶函数; t分布近似于N(0,1)分布. 2) 当n>30时，
3.F分布
什么是F分布
设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~ 2 ( n), X n Y ~ ( m ), 则称F 的分布为第一自由度为 Y m
2
n，第二自由度为m的F 分布，记作F ～F n, m 。 性质: 1 1)当F ~ F ( n, m )时, ~ F ( m, n). F
2 2
分布的可加性 若Y ~ 2 (n)与Z ~ 2 (m )相互独立, 则
2
Y Z ~ (n m ).
2
2.t分布
什么是t分布
设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~ N (0,1), Y ~ ( n), 则称T
2
X Y n
的分布为自由度等于n
的t 分布。记作T ~ t n .
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
1.卡方分布
2.t分布
3.F分布
4.t分布与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
0.5
P{U u10.5 } 1 0.5 .
对称分布，显然有： 1) 0.5时，u 0 2) 0.5时，u 0
0.05 ，u0.95 1.65; 0.01 ，u0.99 2.33;
0.025 ，u0.975 1.96;
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，