7.1 常数项级数的概念和性质

1．写出下列级数的一般项： ⑴

1357

2468

++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律：

分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21

2n n u n

-=

，1,2,3,....n =。 ⑵

1111112349827

++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律：

分子不变恒为1，

分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12

2

n +，偶数项为3

的乘幂，幂指数为项数的一半，即2

3n ，

于是有12

22, 21

3, 2n n n n k u n k +⎧=-⎪=⎨⎪=⎩

，k J ∈，1,2,3,....n =。

也可为1

221(1)1(1)2322

n n

n n n u +--+-=⋅+⋅，1,2,3,....n =。

【解法二】分析级数各项的表达规律：

分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个

级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，

若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有

111

23

u =

+， 21149u =+221123=+，

311827u =+

3311

23

=+， ......

于是得11

23

n n

n u =

+，1,2,3,....n =。 ⑶3456

22345

-+-+- 。

【解】分析数列各项的表达规律：

各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1

(1)n +-，

从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n

于是得1

1

(1)

n n n u n

++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21

u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，

从而得 11(1)n n n u n

++=-，1,2,3,....n =。

2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴

1

1

(21)(21)n n n ∞

=-+∑； 【解】级数前n 项和为

11(21)(21)n

n i S i i ==-+∑1111()221

21n n i i ==--+∑1111

()22121n n i i ==--+∑

11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11

(1)221

n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12

=，知级数收敛，收敛于1

2。

⑵

1

1

1n n n

∞

=++∑

；

【解】级数前n 项和为

1

1

1n

n i S i i ==++∑

2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1

(1)n

i i i ==+-∑

(1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-，

由于lim n n S →∞

lim(11)n n →∞

=+-=∞，知级数发散。

⑶

1

1

ln

n n n

∞

=+∑； 【解】级数前n 项和为

11ln n

n i i S i =+=∑1

[ln(1)ln ]n

i i i ==+-∑

ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，

由于lim n n S →∞

lim ln(1)n n →∞

=+=∞，知级数发散。

⑷

1

(

221)n n n n ∞

=+-++∑。

【解】级数前n 项和为

1

(221)n

n i S i i i ==+-++∑

323(221)(2)()24543=-+++-++-+…………

2()(1)(2121221)n n n n n n n n n +-+++-+++--++--

各项抵销的规律为：第一括号中的首项与第二括号中的中项及第三括号中的末项相

互抵销为0，按此规律，第一括号中余下221-+，第二括号中余下2，而第三括号与后面括号抵销完，...，

同理，倒数第三个括号与前面括号抵销完，倒数第二个括号中余下1n +，倒数

第一个括号中余下221n n +-+，

于是，n S 22121221n n n =-++++++-+

2121n n =-+++-+1

2121

n n =-++

+++，

由于lim n n S →∞

1

21lim

21

n n n →∞

=-+++++21=-+，

知级数收敛，收敛于12-。

3．判断下列级数的敛散性，若级数收敛，求其和：

⑴1

11(1)2

n n n -∞

-=-∑； 【解】这是等比级数，首项为00

(1)12a -==，公比为12q =-，可见1

12

q =<，知级数收敛，其和为

1a

q -111()2

=

--23

=。