_S_型加减速曲线在机器人轨迹插补算法中的应用研究_刘鹏飞

0 引言

工业机器人在一些应用领域如焊接和喷涂等需要对末端执行器运动的轨迹进行严格控制，这种控制称CP 控制(Continuous Path Control)[1]，需要在笛卡尔空间内进行轨迹插补。用示教或离线编程的方式告诉机器人路径中的若干点，以及各点之间所走的路径是直线和圆弧等，控制器根据插补算法自动生成路径上的中间点，机器人运行后自动重复上述的路径。

轨迹插补不仅是对位置的插补，也是对速度和加速度的插补[2]。不但要求插补点的位置严格在规定路径上，而且要求末端执行器的速度连续变化，在精度速度要求更高的场合要求加速度也是连续变化的。

1 笛卡尔空间插补概念

1.1 位姿描述

机器人末端的位姿由齐次变换矩阵 描述，

其子矩阵

‘S’型加减速曲线在机器人轨迹插补算法中的

应用研究

The study of S-curve’s application on manipulator’s trajectory

interpolation algorithm 刘鹏飞，杨孟兴，宋 科，段晓妮

LIU Peng-fei, YANG Meng-xing, SONG Ke, DUAN Xiao-ni

（中国航天科技集团 第16研究所，西安 710100）

摘 要： 本文用位置向量和姿态四元数描述机器人末端的位姿以减少实时插补的计算量。在分析传统笛卡尔空间插补算法的基础上，提出将‘S’型加减速曲线应用于机器人笛卡尔空间插补算法中。使机器人

末端沿直线或圆弧切线方向速度的大小呈‘S’ 型加减速规律变化，达到了速度和加速度平稳变化的要求，减小了对机器人驱动器和机械结构的冲击。针对‘S’型加减速曲线的生成算法以及归一化方法进行推导，分析并给出了相应的机器人直线和圆弧的插补方法。通过对一段直线和一段圆弧的插补仿真验证，表明该算法能使机器人末端的位姿及其一阶导数都连续平滑变化，满足应用要求。

关键词： 四元数；轨迹规划；S型加减速曲线；直线插补；圆弧插补

中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1009-0134(2012)10(下)-0004-06Doi: 10.3969/j.issn.1009-0134.2012.10(下).02

为旋转矩阵，描述姿态；位置矢量

描述位置。旋转矩阵中的9个元素是相关的且只有3个独立变量，所以插补运算时需寻求更精简的姿态描述方式。

通常，用姿态角（回转、俯仰、偏转）[2]、欧拉角、等效旋转矢量和四元素这四种方式描述姿态，这四种表示方法是等效的，它们和姿态旋转矩阵之间转换方法参考文献[2]。本文用位置矢量和姿态四元数的组合描述位姿：

其中：P 是位置矢量；Q 是姿态四元数，是四元数的矢量部分，

四元数的标量部分，n

和j 分别是等效旋转轴和等效旋转角。用这种方法描述位姿应用于插补运算时的计算量最小[3]。

为了避免与机器人机械产生共振，插补周期应控制1-5ms 以内[4]。在每个插补周期内计算机

收稿日期：2012-04-24

基金项目：国家战略性新兴产业高端装备专项（[2012]432）

作者简介：刘鹏飞（1988－），男，内蒙古人，研究生在读，研究方向为工业机器人插补技术。

需完成一次插补运算和一次运动学逆解，计算机的计算速度有限，应尽量减少插补运算的计算量。

1.2 笛卡尔空间插补标准算法

笛卡尔空间插补算法的思路较简单，文献[3]给出了标准算法并将其应用于直线插补。

Loop : 等待下一个插补周期

t: =t+D t，

F(t): 计算t时刻机器人末端的位姿，

j(t): 逆解出对应于F (t)的关节坐标，Go to Loop.

D t是插补周期；F(t)是位姿关于时间的函数；j(t)是机器人关节坐标，由F(t)逆解得到。

计算位姿函数F(t)和逆解得到j(t)是每个插补周期内的主要工作，插补算法讨论如何获得位姿函数F(t)。机器人末端执行器在时间T内从位姿F0运动到位姿F1，其中位置从P0运动到P1，姿态旋转矩阵从R0运动到R1，选择归一化时间算子[1,3,5] l(t)=实现直线均匀插补步骤如下：

1）将姿态旋转矩阵R

和R1转换为四元数Q0和Q1表示姿态；

2）计算位置函数，P(t)=P

0+l(t)×(P

1

P0)；

3）计算姿态四元数函数，采用两四元数的‘球形线性插补法’(spherical linear interpolation) [6]:

式中，q=arccos(Q1×Q2)，Q1×Q2是两个四元数的点积；

4）将四元数Q(t)变换回旋转矩阵R(t)，与位置函数P(t)组成齐次变换矩阵机

器人末端的描述位姿。

均匀插补生成的位置函数是有缺陷的：在端点P(0)处，速度由零突变为稳定值，P(T )处又由突变为零，也就是在两端点处加速度出现

脉冲。这样的轨迹显然是不可取的，一方面，在机器人的启动和停止时刻会产生巨大的惯性力、向心力和哥氏力，关节上的电机无法补偿如此大的力，导致电机电流过载；另一方面，机械上会产生震动和噪声，磨损加剧影响机器人的工作寿命。

本文提出用‘S’型加减速曲线保证末端执行器的速度光滑和加速度连续。2 ‘S’型加减速曲线

2.1 归一化时间算子分析

首先对归一化时间算子l(t)进行简要分析。l(t)有如下要求：l(0)=0，l(T )=1，t[0,T]则l(t)[0,1]且单调递增。它在插补运算中起到了调整步长的作用：若在时间T内从P0运动到P1，等时间插入N-1个中间位置，则步长为：

从上式可以看出l(t)的变化规律决定插补步长。

位置函数的n阶导数为：

可见l(t)决定了P(t)的变化趋势。例如上文选择了一次函数作为归一化时间算子，则P(t)也以一次线性规律变化，导致加速度在直线端点是脉冲。于是考虑寻求更平滑的归一化时间算子以满足速度光滑的要求。文献[4]中提出了用抛物线拟合方法归一化时间算子，避免了加速度在起始和终止是脉冲的情况，但速度仍然是不平滑的，加速度仍然有突变。文献[7]用一段一次函数、两段一次函数与正弦函数的线性组合做归一化时间算子，解决的速度光滑的要求。本文提出用S 型加减速曲线构造归一化时间算子l(t)也能满足上述要求，与文献[7]所提方法相比，减少了两个正弦函数的计算量。

2.2 S型加减速曲线

S型曲线加减速的称法是由系统在加减速阶段的速度曲线形状呈S型而来的[8,9]，广泛应用于高精度、高效率的柔性加工系统，如CNC系统。S 型曲线加减速控制是指在加减速时，使其加加速度J(Jerk)为常数，通过对J持续时间长短的控制来产生平滑变化曲线，以减小对机械的冲击。整个运动分为七段：加加速段(T1)、匀加速段(T2)

、

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t

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图1 S型加减速曲线