评价估计量好坏的标准
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2 2 2 2 n n 1 2 2 n
1 n 2 2 故 E 证毕． ( X X ) i n 1 i1
由于 E ( X ik ) k i 1,2,, n 因而
1 n k 1 n E ( Ak ) E X i E ( X ik ) n i1 n i1 1 n k k n
特别地，样本均值 X 是总体期望E( X )的无偏估 计量．
E ( X i ) E ( X ) ，D( X i ) D( X ) 2
E ( X ) E ( X ) ，D( X )
2Βιβλιοθήκη Baidu
n
1 n 1 n 2 因而 E ( X i X ) E ( X i2 ) E ( X 2 ) n i1 n i1
1 n 2 样本二阶原点矩 A2 X i 是总体二阶原点矩 n i 1
2 E ( X 2 ) 的无偏估计量．
例2
设总体 X 的期望E( X )与方差D( X )存在，
(X1, X2，…，Xn)是 X 的一个样本，n > 1．证明
n 1 2 (1) S n ( X i X ) 2 不是D( X )的无偏估计量； n i 1 n 1 2 (2) S 2 是D( X )的无偏估计量． ( X X ) i n 1 i 1 n 1 n 1 2 2 2 证明 前已证 ( X i X ) X i X n i 1 n i 1
§6.2 评价估计量好坏的标准
对于同一个未知参数，不同的方法得到的估
计量可能不同，于是提出问题：
应该选用哪一种估计量? 用什么标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (2) 有效性
(3) 一致性
无偏性
定义 设X1, X2，…，Xn是总体X 的样本
ˆ ˆ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是总体参数 的估计量 E (ˆ)
存在，且对于任意 都有
E (ˆ)
ˆ 是 的无偏估计量． 则称
例1
k 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X ) 存在
(X1, X2，…，Xn)是总体X 的样本．
是 k 的无偏估计量． 证明
1 n k 证明：不论X 服从什么分布，Ak X i n i 1
1 n 2 2 故 E 证毕． ( X X ) i n 1 i1
由于 E ( X ik ) k i 1,2,, n 因而
1 n k 1 n E ( Ak ) E X i E ( X ik ) n i1 n i1 1 n k k n
特别地，样本均值 X 是总体期望E( X )的无偏估 计量．
E ( X i ) E ( X ) ，D( X i ) D( X ) 2
E ( X ) E ( X ) ，D( X )
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n
1 n 1 n 2 因而 E ( X i X ) E ( X i2 ) E ( X 2 ) n i1 n i1
1 n 2 样本二阶原点矩 A2 X i 是总体二阶原点矩 n i 1
2 E ( X 2 ) 的无偏估计量．
例2
设总体 X 的期望E( X )与方差D( X )存在，
(X1, X2，…，Xn)是 X 的一个样本，n > 1．证明
n 1 2 (1) S n ( X i X ) 2 不是D( X )的无偏估计量； n i 1 n 1 2 (2) S 2 是D( X )的无偏估计量． ( X X ) i n 1 i 1 n 1 n 1 2 2 2 证明 前已证 ( X i X ) X i X n i 1 n i 1
§6.2 评价估计量好坏的标准
对于同一个未知参数，不同的方法得到的估
计量可能不同，于是提出问题：
应该选用哪一种估计量? 用什么标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (2) 有效性
(3) 一致性
无偏性
定义 设X1, X2，…，Xn是总体X 的样本
ˆ ˆ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是总体参数 的估计量 E (ˆ)
存在，且对于任意 都有
E (ˆ)
ˆ 是 的无偏估计量． 则称
例1
k 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X ) 存在
(X1, X2，…，Xn)是总体X 的样本．
是 k 的无偏估计量． 证明
1 n k 证明：不论X 服从什么分布，Ak X i n i 1