挠曲线近似微分方程及其积分
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d 2 M ( x)
dx2 EI
当y轴向上为正方向时，恒同号。
d 2
dx2
M(x) EI
——这个等式称为挠曲线近似微分方程。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
二、挠曲线近似微分方程的积分法
(1) 转角方程和挠度方程 对挠曲线的近似微分方程一次积分，得转角方程：
(x) d 1 ( M(x)dx c) dx EI
c
1 EI
ql 2
16
(l 2 )
q 24
(
l 2
)4
23ql 4 384EI
1
dx2
d
2
3 2
dx
挠曲线的微分方程为：
d 2
M(x) EI
1
dx2
d
2
3 2
dx
由于小变形， d 很小，( d )2 为高阶无穷小量，舍去。
dx
dx
此二阶非线性常微分方程可化简为：
l 2
q 6
(
l 2
l 2
)3
C2
得 C1 C2 0
l 当 x2 x1 2 时，(x2) (x1) ，即联立(2)、(4)式：
ql 2 16
( l )2 2
q 24
(l 2
l )4 2
C2
l 2
D2
ql 2 16
(
l )2 2
C1
l 2
D1
得 D2=0
② 分段列出梁的挠曲线近似微分方程，对其积分两 次；
③ 利用边界条件，连续条件确定积分常数C、D；
④ 建立转角方程和挠度方程；
⑤ 计算指定截面的转角和挠度值，特别注意 max
和 及其所在截面。
max
例题1:用积分法求图所示梁的 B、 B、C 、C
解：1. 分段建立弯矩方程
由边界条件确定C1、D1：
当 x1 0 ，A 0 时， 由(1)式得 C1=0 ； 当 x1 0 ，A 0 时， 由(2)式得 D1=0 。
由连续条件确定C2、D2：
当
x2
l x1 2
时， (x2) (x1)
，即联立(1)、(3)式子：
ql 2 8
l 2
C1
ql 2 8
再积分一次，得挠度方程：
(x) 1 ( M(x)dx) cx D EI
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
(2) 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处截面的挠度或转角是已知的，
这样的已知条件称为边界条件。
P D
固定端处 0 ， 0
P
A
C
B
铰支座处 0
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y FA
d
x
dx
FB
d
M
k o
M
k y
o
中性层
由于剪力对一般细长梁的变形影响不计，平面弯
曲时，挠曲线曲率与梁上弯矩方程和抗弯刚度间的关 系为：
1 M(x)
( x) EI
高等数学中定积分应用部分的曲率公式为：
d 2
1
(x)
M ( x2
EI
)
2
ql 2 8
q 2
( x2
l )2 2
ql 2 q 8 x2 6 ( x2
l )3 2
c2
EI( x2
)
EI2
ql 2 16
x22
q 24
( x2
l )4 2
c2
x2
D2
──── (3) ──── (4)
3. 利用边界条件、连续条件确定积分常数
AB段：
M ( x1 )
ql 2 8
l
(0
x1
) 2
BC段：
M(x2 )
ql 2 8
q( x2
l ) 2
1 2
( x2
l) 2
ql 2 8
q 2
( x2
l )2 2
(l 2
x2
l)
2. 分段建立近似微分方程，并对其积分两次
AB段： 即：
d 21
dx12
EI1 M(
q 24 (x2
l )4 2
───── (8)
5. 求梁指定截面上的转角和挠度
当
x1
l 时，由(5)式得
2
B
ql 3 16EI
由(6)式得
B
ql 4 64EI
当
x2 l 时，由(7)式得
c
1 EI
ql 3
8
q 6
(
l 2
)3
5ql 3 48EI
由(8)式得
4. 分段建立转角方程、挠曲线方程：
AB段：
EI ( x1 )
ql 2 8
x1
─────── (5)
EI( x1 )
ql 2 16
x12
───────(6)
BC段：
EI ( x2 )
ql 2 8
x2
q 6 (x2
l )3 2
───── (7)
EI( x2 )
ql 2 16
x22
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
连续条件：当弯矩方程需要分段建立时， 梁的挠曲线分段处满足的连续、光滑条件， 这样的已知条件称为连续条件。即在梁的 同一截面上应具有相同的挠度和转角。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
三、积分法的基本步骤
利用积分法求梁变形的基本步骤：
① 建立坐标系（坐标原点设在梁的左端），求支座 反力，分段列弯矩方程；
M( x1 )
EI
x1
)
ql 2 8
EI ( x1 ) EI1 m( x1 )dx c1
ql 2 8
x1
c1
──── (1)
EI( x1）
EI1
M( x1)dx
dx
c1 x1
D1
ql 2 16
x12
c1 x1
D1
─ (2)
BC段： EI2
EI ( x2 )