概率统计习题课三

π 2
)
1 ( π arctan x ) ( x )
π2
2
FY
y
F
,
y
1 π2
(
π 2
arctan
y 3
)(
π 2
π 2
)
1
π (
arctan
y )
( y )
π2
3
可见 F x, y FX x FY y , x, y R2.
故 X、Y 相互独立 .
概率论
3 X ,Y 的联合密度为
Y=1}
C
1 3
1 2
1 2
2=3/8
XY 0
P{X=2,
Y=1}
C32
1 2
2
1 2
=3/8
1 2
P{X=3,
Y=0}
C31
1 2
2
1 0 2
1
8.
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
概率论
(X ,Y) 关于 X 的边缘分布
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8,
的联合分布为__C___.
A. 二维正态分布,且 r 0
B. 二维正态分布,且 r 不定
C . 未 必是二维正态分布 D. 以上都不对
当 X、Y 相互独立 时 , 则 X 和 Y 的联
合分布为 A .
f
x, y
1 2πσ1σ2
1 r2
exp
2
1 1 r2
(
x
μ1 σ12
)2
2ρ
(
概率论
第三章 习题课
一、选择题
概率论
1.
已知
X
、X
1
2
相互独立
,
且分布律为
Xi 0 1
(i 1 , 2)
P 12 12
那么下列结论正确的是__C___.
A. X1 X 2
B. P{X1 X2} 1
C. P{ X1 X2} 1 2 D. 以上都不正确
概率论
解 { X1 X2 } { X1 0, X2 0} { X1 1, X 2 1}
k 30
P{Y=3}= PX k,Y 3=1/8+1/8=2/8.
k0
概率论
2. 设二维连续型随机变量 X ,Y 的联合分布函
数为
F x, y A(B arctan x )(C arctan y )
2
3
1 求A 、B 、C 的值 ,
2 判断 X、Y 的独立性 .
3 求 X ,Y 的联合密度 ,
因为
X
、X
1
2
相互独立 ,
所以
P{ X1 0, X2 0} P X1 0 PX2 0 1 4
P{ X1 1, X2 1} P X1 1 P X2 1 1 4
故
P{X1 X2} 1 2
概率论
2.设 X ~ N
μ1, σ12
, Y~N
μ2
,
σ
2 2
,
那么 X 和Y
概率论
三、解答题
1. 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷 中正面出现的次数, 而 Y 为出现正面与反面次数之 差的绝对值, 求 (X ,Y) 的分布律与边缘分布 .
解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)
P{X=0, Y=3} 1 23 1 8
P{X=1,
f
x,
y
2F x,
xy
y
π2
6 4 x2
9 y2
4. 设(X,Y)的概率密度是
概率论
Ay(1 x), 0 x 1,0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) A的值 (2) 两个边缘密度. (3)X 与Y 是否相互独立?
解 (1) 1 f x, ydxdy
y
R2
P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8,
P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8,
P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
(X ,Y) 关于 Y 的边缘分布
3
P{Y=1}= PX k,Y 1=3/8+3/8=6/8,
3 P{ X Y 1} P{ X 0,Y 1} P{ X 1,Y 0} a b
概率论
因为X 0与X Y 1 独立 , 所以
P{ X 0, X Y 1} PX 0P{ X Y 1}
即
a (a 1 )(a b)
3
联立
ab 1 1 1 36
得到
a 1,b 1. 36
x
μ1 )( y σ1σ2
μ2
)
(
x
μ2
σ
2 2
)2
二、填空题
1. 已知 X、Y 的分布律为
概率论
X0 1 Y
0 13 b
1
a 16
且X 0与X Y 1 独立 ,则 a 1__3_ , b _1_6__ .
解 P{ X 0, X Y 1} P{ X 0,Y 1} a
PX 0 P{ X 0,Y 0} P{ X 0,Y 1} a 1
1
dx
x Ay 1 x dy
0
0
A
1
(
x2
x3
)dx
20
0
A 24
故 A =24.
y x x1 x
解 (2)
fX x
பைடு நூலகம்
f x, ydy
当 x 1或 x 0时 , y ,,
y
都有 f x, y 0,故 fX x 0 .
当 0 x 1时,
0
fX
x
f
x,
y dy
x
0 24 y(1 x) dy .
1
当 0 y 1 时 ,
0
fY
y
f
x,
y
dx
1
y
24 y(1
x)dx
12 y 1
y2
,
概率论
y x x
综上 ,
fY
( y)
24 y 1
0,
y2
,
0 y1 其它
概率论
(3) f x, y fX x fY y 所以 X 与Y 不独立 .
概率论
y x 1x
当 0 x 1时,
概率论
fX
x
x
0 24 y(1
x )dy
12 x2(1 x),
综上 ,
12x2 1 x,
fX (x)
0,
0 x1 其它
(2)
fY y
f x, ydx
y
当 y 1或 y 0时,对x ,, y
都有 f x, y 0,故 fY y 0 .
概率论
解 1 由 F , 0 , F , 0 ,
F , 0 , 得到
解得
A(B π )(C π ) 0 22
A(B π )(C π ) 0 22
A(B π )(C π ) 1 22
A
1 π2
,
B
C
π 2
.
概率论
2
FX
x
F
x,
1 π2
(π 2
arctan
x 2
)(
π 2