用奇异函数求梁的弯曲内力和变形

用奇异函数求梁的弯曲内力和变形
1．概念
挠曲线：当梁在xy 面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为xy 面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。

挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（x 轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号v 表示。

()x f =ν
转角：横截面的角位移，称为截面的转角，用符号θ表示。

从图中可以看到，截面C 的转角C θ等于挠曲线以C 点的切线与x 轴的夹
角。

()x f dx
d tg '==
ν
θ ()dx dv
x f tg ==≈'θθ
综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程()x f =ν
2．挠曲线近似微分方程
梁轴的曲率半径ρ与弯矩M 的关系为
EI
x M x )
()(1=ρ 将微分弧段ds 放大，有如下关系：
θρd ds =，
()EI
M
x ds d =
=ρθ1 。

由于挠度很小，dx ds ≈，上式可以写成 EI
M
dx d =
θ 考虑到弯矩的符号与dx d θ一致，上式写成EI
M
dx d =θ
将dx
dv
≈
θ代入上式得出
EI x M dx
dv )
(2
''= 对EI
x M v )
('
'=
两侧积分，可得梁的转角方程为 C dx EI
x M v x +==⎰)
()('θ
再积分一次，即可得梁的挠曲线方程
D Cx dx dx EI x M x v ++⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰⎰)()(
式中C 和D 为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。

固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。

弯曲变形的对称点上转角等于零。

在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。

例：所示简支梁AB 受到集中力P 作用，讨论它的弯曲变形。

解：
①求反力并列梁的弯矩方程
P l b R A =
P l
a
R A = ②建立坐标系xAy ，分两段列出AB 梁的弯矩方程为：
AC 段 111)(Px l b
x M =
)0(1a x ≤≤ CB 段 )()(2222a x P Px l
b
x M --= )(2l x a ≤≤
③对挠曲线近似微分方程积分，将AC 和CB 两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。

L
2
确定积分常数 积分常数1C 、1D 和2C 、2D ，需要连续条件和边界条件来确定。

即挠曲线在C 截面的连续条件为
当a x x ==21时，21θθ= 21v v = 即：
22212)(266C a l P
a l P
b C a l Pb +--=+ 2233113)(6
66D a C a l p a l Pb D a C a l Pb ++--=++ 由上两式解得
2121,D D C C ==
此外，梁在A 、B 两端的边界条件为
01=x 时， 01=y l x =2时， 02=y
即：
0)(6
60
23
2
1=+--=l C a l P l l Pb
D 解得
021==D D )(622
21b l l
Pb C C --
== 梁AC 和CB 段的转角方程和挠曲线方程列于下表：
⎥⎦⎤2④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为
EIl b l Pab x a x A 6)
()(1
11+-
===θθ
在梁右端截面的转角为
EIl
a l Pa
b x a
x B 6)
()(2122+=
==θθ
当b a >时，可以断定B θ为最大转角。

为了确定挠度为极值的截面，先确定C 截面的转角
)(3)(1
11b a EIl
Pab
x a x C -=
==θθ 若b a >，则转角0>C θ。

AC 段挠曲线为光滑连续曲线，而0<A θ，当转角从截面A 到截面C 连续地由负值变为正值时，AC 段内必有一截面转角为零。

为此，令0)(11=x θ，即
0)3(62
022=---
x b l EIl
Pb 解得
3
2
20b l x -=
0x 的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。

由AC 段的挠曲线方程可求得AB 梁的最
大挠度为
[])(39)(2211max 0
1
b l EIl
Pb x v x x -=
==ν。