基于FFT和频谱校正法的信号处理研究_张奕

0.8
0.9
1 60 40
X (k )
图 2 x( n) 补至 100 点数据对应的 x( n) 、 X (e ) 、 X (k )
j
20 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频率 0.7 0.8 0.9 1
由图 2 可以看出，在时域信号 x(n) 补零至 100 点，致使振幅频谱中出现很多其他成分，密度明显 增加。但是频谱泄露没有改变，这时 X (k ) 仍不能 准确分辨 1 0.48 、2 0.52 这两个频率分量。 从图 3 可以看出，当将时域信号 x(n) 的采样点 数增加且采样为周期序列的整数倍时，改变了频谱 混叠的作用，提高了分辨率，使 X (k ) 能准确分辨
f (n n) f s N
幅值校正公式：
(2)
A
相位校正公式为：
Y (n)n sin(n )
(3)
arctan(I n Rn ) n
式中， Rn 和 I n 分别为信号 FFT 的实部和虚部。
(4)
根据对称窗函数离散频谱的能量重心特性，数 值分析表明，以上校正过程同样适用于其它窗函 数，只是在实际应用中，对于不同的窗函数，有不 同的主瓣和旁瓣形状，对应着不同的窗谱函数数学 表达式。 图 5 是对信号 x 46.7 sin( 2 255t ) 校正前后 做的比较，仿真结果表明，在非整周期采样的情况 下， 信号频率、 幅值精度己经有了很大程度的提高。
FFT/IFFT 是时域信号与频域信号之间转换的 基本运算，是数字信号处理的核心工具之一，因此 它广泛的应用于许多领域。在数字化的今天，对数 字信号处理的速度、精度和实时性要求不断提高。 当今 FFT 算法在国外的发展已经相当成熟。 FFT 快 速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根 据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散 傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换 的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或 者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进 了一大步。FFT 的方法将信号变换到频域，可以将
图 4 x( n) 前 128 点数据对应的 x( n) 、 X (e j ) 、 X (k )
图 1 可以看出数据点过少，几乎无法看出有关 信号频谱的详细信息。图 2 将 x(n) 补 90 个零，幅 度频谱的数据相当密，成为高密度频谱图，改变频 谱的频率取样间隔，但改变的仅是频谱的频率取样 密度，而无法改变频率分辨率，从图中也很难看出
46.9 31.71 31.7 107.5 108 108.5 109 109.5 110
31.85 110.15 110.2 110.25 110.3 80 90 100 110 120
图 6 多频信号校正前后的对比
3 结束语
快速傅立叶变换(FFT)， 是一个非常具有创造性 和革命性的方法，因为它大大提高了运算速度，使 得傅立叶变换能够在计算机中被广泛应用。但是由 于计算机只能处理有限的离散采样信号，从而遇到 数据截断问题，这就不可避免地出现由于时域截断 而产生频谱泄露问题，使谱峰值减小，精度降低。 如何提高谱分析精度已成为进一步推广应用 FFT 的关键问题。能量重心校正法可以抑制由于信号截 断产生的能量泄露，以及由于栅栏效应产生的误 差，从而得到更为精确的频谱，该方法补充和发展 了信号检测的理论和方法，因此将二者结合具有重 要的理论意义和实用价值。 参考文献：
x(n)(0 n 99)
2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
X (k )
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 0 -2 0 40 20 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 20 30 40 50 60 DTFT 70 80 90 100
0
0.1
0.2
图 5 对单频信号校正前后的对比
图 6 是 对 x 10.8161 sin( 2 52t ) 32.4
sin( 2 110t ) 做的校正前后比较， 显然当频率间
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Байду номын сангаас
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隔较远时，多频信号校正精度都很高，频率和幅值 绝对误差在 1%左右。但是两个频率越靠近，校正 精度越差，从理论分析，当两个频率的间隔小于 4 个频率分辨率时， 由于主瓣重叠， 此方法存在缺陷。
Key words：FFT；Spectrum Peak；Frequency； Energy Centrobaric Correction
0 引言

一个信号的频谱提取出来，很容易看出信号特征， 得出信号的测量值。但是由于无法满足对信号的整 周期采样，受栅栏效应和频谱泄露的影响，频谱测 量存在偏差，单纯用谱分析来对信号进行分析还存 在着很大的局限性，因此需要考虑将其他一些方法 与谱分析相结合，共同解决信号处理问题，本文采 用重心法对 FFT 运算结果进行校正， 提高了非整周 期采样下的频谱检测精度，扩展了测量范围。
0.3
0.4
0.5 频率
0.6
0.7
0.8
0.9
1
图 1 x(n) 的前 10 点数据对应的 x( n) 、 X (e j ) 、 X (k )
从图 1 可以看出，整个频谱图是对称图形，由 于非整周期采样，造成频谱泄露，导致 X (k ) 不能 准确分辨 1 0.48 、 2 0.52 这两个频率分量。
FFT 结果的频谱中，最高的频谱频率为 f1 ，高度为
39.34 40 30 39.30 20 10 0 0 50 40 30 20 10 0 253.5 254 254.5 255 500 39.28 247 1000 1500 2000 248 249 2500 48.0 47.5 47.0 46.5 46.0 254.9 255.5 254.95 256 255 250 3000 3500 4000 39.32
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x(n)(0 n 9)
2 0 -2 0 10 5 0 10 5 0 1 2 3 4 5 DTFT 6 7 8 9 10
从图 4 可以看出，将时域信号 x(n) 的采样点数 进一步增加，但是不是周期序列的整数倍，这样的 频谱图具有较高的质量，可在一定程度减小因补零 或者截断而产生的影响，所以尽管 X (k ) 能准确分 辨 1 0.48 、 2 0.52 这两个频率分量，但还 呈现频谱泄漏。
收稿日期：2014-02-17。张奕（1981—） ：女，硕士，研究 方向为数据链通信技术。
1 基于 FFT 的频率和幅值估计
设接收信号为双频正弦信号，如果忽略噪声因 素，则经采样后信号为
x ( n) cos( 0.48 * n) cos( 0.52 n) （1）
利用 MATLAB 程序求 X (exp( j )) ，X(k)。
x(n)(0 n 127)
2 0 -2 0 0.1 0.2 0.3 0.4
20
40
X (k )
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 60 40 20 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4
60 DTFT
80
100
120
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 频率
0.6
0.7
2 频谱校正理论在信号处理中的应用
在 FFT 谱估计中， 误差产生的原因主要来自两 个方面，一方面是由于时域加窗截断产生的频域连 续化，另一方面是由于计算机只能对有限的离散的 频率进行计算，也即是频域离散化的结果。其中， 加窗截断的影响使一个无穷长单频信号在频域对 应一根谱线，变成一个连续谱，但是由于频域的离 散化，FFT 计算的频率一般不会刚好落在峰值处， 这就是我们平时常说的泄露，这时我们就只能把计 算得到的峰值谱线对应的频率作为估计的频率，幅 值也会产生误差。频谱校正理论就是针对这种误差 提出的各种校正出实际的频率、幅值和相位的方 法。国内现在比较常用的方法有插值法、能量重心 法、FFT+FT 法，都有各自的特点和优缺点。本文 主要采用能量重心校正法提高系统的测量精度。 校正方法的实质是利用归一化后窗函数幅值 谱的主瓣中心两旁差值为一个频率分辨率 f s 的两 条谱线的高度建立一个以修正频率为变量的方程， 解出修正频率，进而对其相应的信号幅值和频率进 行修正。假如设置 f 0 为加窗信号的频谱主瓣中心， 即为信号的真实频率，信号幅值为 A0 ；加窗信号
9.429 9.4285 40 30 20 10 0 1500 10.945 10.94 10.935 31.95 31.9 51.53 51.535 51.54 51.545 10 0 50 60 70 2000 9.428 46.8 46.85
因为对于多频成分的信号来说，离散频谱分析的另 一个误差来自于频率间的相互干涉，这也是由于泄 露所引起的，这个误差主要靠加窗抑制旁瓣和减小 频率分辨率、拉大频率间的距离来尽量减小。
Research on Signal Processing Based on FFT and Frequency Spectrum Correction
ZHANG Yi
Abstract：FFT Spectrum analysis can only dispose a limited number of discrete sampling signal, this is inevitable occurs the
1 0.48 、 2 0.52 这两个频率分量。
第3期
张奕：基于 FFT 和频谱校正法的信号处理的研究
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信号的频谱成分，图 3、图 4 信号的有效数据加长， 有效了克服了频谱混叠效应。
Y1 ；高谱线频率为 f 2 ，高度为 Y2 。二者相差仅为一
个频率分辨率。由公式推得，主瓣内的两条谱线的 重心即为主瓣中心，按重心法可求得矩形窗的主瓣 中心坐标 f 0 。由于不同的窗函数有不同的主瓣形 状，即不同的窗谱主瓣函数，因此需要推导出不同 的校正公式，下面仅以矩形窗为例进行分析。可得 到频率校正公式：
2014 年 6 月第 3 期
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基于 FFT 和频谱校正法的信号处理的研究
张奕
（中国电子科技集团公司第二十研究所，西安 710068）
摘
要：FFT 谱分析只能对有限的离散采样信号进行处理,这就不可避免的存在由于时域截
断而产生频谱泄露,使测量精度降低。因此必须采用其他方法进行改进以提高测量精度。本文主 要采用能量重心校正法以满足实际应用中对频谱分析精度的要求。仿真结果表明,在非整周期采 样的情况下，精度已经有了很大程度的提高,因此在一定程度上足以满足实际应用的要求。 关键词：FFT；谱峰值；频率；能量重心校正 中图分类号： TN911 文献标识码： A 文章编号： 1674-7976-(2014)03-219-04
x( n)(0 n 9) +90 个零
2 0 -2 0 10 5 0 0 10 5 0 10 20 30 40 50 60 DTFT 70 80 90 100 40 20 0
X (k )
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 频率
0.6
0.7
0.8
0.9
1
图 3 x( n) 前 100 点数据对应的 x( n) 、 X (e j ) 、 X (k )
leak of time domain truncation, which decrease the accuracy of measurement. So we must use an approach to improve and increase the precision. The energy centrobaric method is adopted to satisfy the requirement of spectrum analysis precision in practical application. The simulation results show that, under the condition of a whole cycle sampling, the accuracy has been improved greatly and is sufficient to meet the requirements of practical application.