机理分析建模

2米
模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为 通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率”，即
dV Q 0.62S 2 gh dt
S—孔口横截面积(单位：平方厘米) h(t) —水面高度(单位：厘米) t—时间(单位：秒)
当S=1平方厘米，有
dV 0.62 2 ghdt
(1)
r1 h(t) r2 h+Δh 在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh(Δh<0), 容 器中水的体积的改变量为 ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
函数 的初 值
量的初值 和终值
ode23：组合的2/3阶龙格–库塔–费尔贝格算法 ode45：运用组合的4/5阶龙格–库塔–费尔贝格算法 用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6), 命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at） rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差．
(二) 微分方程的求解
求解常微分方程模型的常用方法： 微分方程的数值解 微分方程的定性分析
1、常微分方程的数值解
1.1 常微分方程数值解的定义：
在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂, 且大多得不出一般解。而实际问题中对初值问题的 求解，一般是要求得到在若干个点上满足规定精确 度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于 计算的表达式。
例1.2(战斗模型) 两方军队交战，希望为这场战斗 建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能 赢得这场战斗？ 模型建立 设: x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
机理分析建模常用方法：
常微分方程
偏微分方程
逻辑方法
比例方法
代数方法
目录
常微分方程建模 微分方程的建立
微分方程的求解
逻辑方法建模
一 微分方程建模
当实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化 规律 y=y(t)，且直接求很困难时，可以建立关于未知变 量、未知变量的导数以及自变量的方程(即变量满足的 微分方程)。 在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。
' 解：令y1 x, y2 y1
则微分方程变成一阶微分方程组：
y1' y 2 ' 2 ( y 2 1000 1 y1 ) y 2 y1 y (0) 2, y (0) 0 2 1
1．建立M文件vdp1000．m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2．取t0=0，tf=3000，输入命令： [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-') 3．结果如图：
1 16 代入条件，求得c=42 ， k l n , 最后得 3 21
T (t ) 18 42e
1 16 ln t 3 21
(t 0)
结果：
T (10) 18 42e
1 16 ln 10 3 21
39.3( 0 C )
该物体温度降至300C 需要8.17分钟。
注意:
1．在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量， M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出． 2．使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等 价地变换成一阶微分方程组．
d 2 x 2 dx ( 2 10001 x ) x 0 例：dt dt x(0) 2, x ' (0) 0
1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市 场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值； 2. 商品销售率(销售加速度)随商品销售速度的增高 而降低；
3. 选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：
建模：
A, A( t ) 0,
0 t ; t .
记 S(t) — t 时刻商品的销售速度； M — 销售饱和水平，即销售速度的上限； λ(＞0)— 衰减因子，广告作用随时间的推移而自 然衰减的速度。 直接建立微分方程
记
令Δt
r 100 2 (100 h) 2 200 h h2
得 0, dV=－πr2 dh，
(2)
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
0.62 2 ghdt ( 200h h2 )dh h t 0 100
积分后整理得
t

4.65 2 g
然后继续下一步 yi 2 的计算．
使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等 方法。
数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）（其 中k为正整数，h为步长）时，称它是一个k阶公式． k越大，则数值公式的精度越高． •欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公 式． •龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式．
令Δt 0，得到微分方程组：
dx dt ay (a 0) dy bx (b 0) dt
3、微元法 基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况。 例1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水 从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。 对孔口的流速做两条假设 ： 1．t 时刻的流速v 依赖于此 刻容器内水的高度h(t)。 2 ．整个放水过程无能量损失。 容器内水的体积为零 分析：放空容器 容器内水的高度为零
dS S (t ) pA( t )(1 ) S ( t ) dt M
称 p 为响应系数，表征A(t) 对 S(t) 的影响力。 模型分析：是否与前三条假设相符？ 改写模型
dS A( t ) p ( M S ( t )) S ( t ) dt M
假设1 市场余额 假设2
销售速度因广告作用增大, 同时 又受市场余额的限制。
机理分析建模法
———成都大学
机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因
果关系，找出反映内部机理的规律。
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对现实对象的认识来源： 与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识；
通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的
猜想(模型假设)。
模型特点：有明确的物理或现实意义
(一) 微分方程的建立
建立常微分方程模型的常用方法： 运用已知物理定律 利用平衡与增长式 运用微元法
运用分析法
1、运用已知物理定律 建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功 倍。 例1.1 一个较热的物体臵于室温为180C的房间内， 该物体最初的温度是600C，3分钟以后降到500C 。想知 道它的温度降到300C 需要多少时间？10分钟以后它的 温度是多少？ 牛顿冷却(加热)定律：将温度为T的物体放入处于 常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质 的温度差。 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的 物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡， 保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
•线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公 式．
1.3 用MATLAB软件求常微分方程的数值解
[t，x]=solver(’f’,ts,x0,options)
自变 量值 函数 值
ode45 ode23 ode11 3ode1 5sode 23s
Biblioteka Baidu
由待解 方程写 成的M 文件名
ts=[t0,t f]，t0、 tf为自变
2、利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性， 如封闭区域内的能量、货币量等。 利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关 变量间的相互关系. 续 人口增长模型
对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、 死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响。
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单 的模型是： {Δt时间内的人口增长量} ={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数} + {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} 更一般地 {Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量} 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。 此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的 右端，使平衡式成立。
若步长h较小，则有
y ( x h) y ( x ) y ' ( x) h
故有公式：
yi 1 yi hf ( xi , yi ) i 0,1, 2,, n -1 y0 y( x0 )
使用数值积分（改进的欧拉法）
对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：
y ( xi 1 ) y ( xi )

xi 1
xi
f (t , y (t ))dt
故有公式：
h y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i 1 )] 2 y 0 y ( x0 )
xi 1 xi [ f ( xi , y ( xi )) f ( xi 1 , y ( xi 1 ))] 2
3 (700000 1000h 2
5 3h 2 )
(0≤h≤100)
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分。
4、分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系, 找出反映内部机理的规律。 例1.4(独家广告模型) 广告是调整商品销售的强有 力的手段, 广告与销售量之间有什么内在联系？如何评 价不同时期的广告效果？ 分析： 广告的效果，可做如下的条件假设：
假设： 1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x(t) 与y(t)都是连续变量。
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3) X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；
平衡式：
{Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 即有：Δx =－ayΔt ，同理：Δy =－bxΔt
实际应用时，与欧拉公式结合使用：
0 y i(1) yi hf ( xi , y i ) h ( k 1) k y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , y i(1) )] k 0,1,2, 2
k k （ 对于已给的精确度 0，当满足 yi(11) yi(1) 时， yi 1 yi k11） 取 ，
1.2 建立数值解法的一些途径： 用差商代替导数 使用数值积分 使用泰勒公式 数值公式的精度
用差商代替导数（欧拉法）
设 xi 1 xi h, i 0,1, 2, , n 1, 则可用以下离散化方法求解 微分方程 y ' f ( x, y ) y ( x0 ) y0
y' f ( x, y ) 即：对常微分方程 ，其数值解是指由初始点x0 开始 y ( x0 ) y0 的若干离散的x处的值，即对x0 x1 x2 xn， 求出准确值y ( x1 ), y ( x2 ), , y ( xn ) 的相应近似值y1 , y2 ,, yn .
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)
(t≥0)， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
dT 翻译成数学语言也就是： 与T m成正比。
建立微分方程
dt
dT k (T m ) dt T (0) 60
其中参数k >0，m=18，求得一般解为 ln(T－m)=－k t+c 或 T m ce kt (t 0)