数列函数专题练习含答案

2015年01月09日数列函数练习题

一．选择题（共3小题）

1．（2014•余姚市模拟）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“和谐函数”，区间A为函数f（x）的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：

①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=ln（x+1）．

其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为（）

A．①②③B．②③④C．①③D．②③

2．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2011）的值为（）

A．﹣1 B．0C．1D．2

3．已知函数的图象关于点P对称，且函数y=f（x+1）﹣1为奇函数，则下列结论：

（1）点P的坐标为（1，1）；（2）当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0恒成立；

（3）关于x的方程f（x）=a，a∈R有且只有两个实根．其中正确结论的题号为（）

A．（1）（2）B．（2）（3）C．（1）（3）D．（1）（2）（3）

二．填空题（共3小题）

4．2015•浙江一模若实数x、y满足且x2+y2的最大值等于34，则正实数a的值等于

5．（2014•杭州一模）设正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则y的最大值为_________．

6．函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[m，n]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②f （x）在[m，n]上的值域为[2m，2n]，则称区间[m，n]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有_________（填上所有正确的序号）

①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=e x（x∈R）；③f（x）=（x≥0）；④f（x）=log a（）（a＞0，a≠1）．

13．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为_________．

三．解答题（共15小题）

7．已知递增数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2（n∈N*）且a1+a2+a3=18，a1a2a3=192．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）若b n=m an（m为常数，m＞0且m≠1），求数列{b n}的前n项和T n；

（3）在（2）的条件下，若c n=b n•lgb n且{c n}的每一项都小于它的后一项，求实数m的取值范围．

10．已知数列{a n}有a1=a，a2=p（常数p＞0），对任意的正整数n，S n=a1+a2+…+a n，并有S n满足S n=．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）试确定数列{a n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；

（Ⅲ）令p n=，T n是数列{p n}的前n项和，求证：T n﹣2n＜3．

11．在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，满足a n﹣a n﹣1+2a n•a n﹣1=0．

（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求使得2T n（2n+1）≤m（n2+3）对所有n∈N*都成立的实数m的取值范围．

8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lg（x+）

（1）求f（﹣1）的值；

（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）；

（3）若关于x的方程f（x）=lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

9．已知函数f（x）=（a x﹣a﹣x），其中a＞0，a≠1

（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；

（2）若函数y=f（x）的定义域为（﹣1，1），求满足不等式f（m2﹣1）+f（m﹣1）＜0的实数m的取值集合；

（3）当a∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负，求a的取值范围．

12．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），满足f（x+2）﹣f（x）=16x且f（0）=2．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使不等式f（x）＞2x+m成立，求实数m的取值范围．

14．已知函数f（x）=x2﹣3ax+1，．

（1）求函数g（x）的值域；

（2）求函数f（x）在[a，+∞）上的最小值；

（3）若对于任意的x1∈[a，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．

15．设函数f（x）=x2+2ax﹣a﹣1，x∈[0，2]，a为常数．

（1）求f（x）的最小值g（a）的解析式；

（2）在（1）中，是否存在最小的整数m，使得g（a）﹣m≤0对于任意a∈R均成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

16．设f（x）=ax2+x﹣a，g（x）=2ax+5﹣3a

（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是，求a的值；

（2）若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．

17．（2014•广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD 于点E．

（1）证明：CF⊥平面ADF；

（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．

18．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；

（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

19．（2014•河东区二模）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点，PA=2AB=2．

（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣D的大小．

20．（2014•甘肃二模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．

（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．

21．（2014•丽水二模）如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AA1=2，E是BB1的中点，且CE交BC1于点P，点Q在线段BC上，CQ=2QB．

（1）证明：CC1∥平面A1PQ；（2）若直线BC⊥平面A1PQ，求直线A1Q与平面BCC1B1所成角的余弦值．