最完整高等几何习题解答(最全版)
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
最完整高等几何习题解答(最全版)
高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。
高等几何(梅学明著)高等教育出版社课后答案
课后答案网1.证明线段的中点是仿射不变性.第一章部分习题及答案B DC B'精品课【高等几何】D'C'B' D'C'图2---3B' D'C'图2 ——4证明设仿射变换T将ABC变为A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D′=T（D），E′=T（E），F′=T（F）分别是B′C′、C′A′、A′B′的中点，因此，A′D′、B′E′、C′F′是A′B′C′R的三条中线，如图2 ——4，即三角形的中线是证明取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形A′B′C′,如图仿射不变性。
2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=∠' ' BD3．证明三角形的重心是仿射不变性。
β,设T(D)=D ’,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是' '=CD=证明如图2 ——4所示，设G是ABC的重心，且G′=T（G）。
因为G∈AD，V －1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。
由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即' ' =AD=32．证明三角形的中线是仿射不变性。
' ' GD 1同理B' 'E=' '' ' ' '=31∴G′是A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。
V1课后答案网4．角的平分线是不是仿射不变量？答：不是。
如图2 ——6所示。
DBC D'精品课【高等几何】C'B DC B' D' C'如图2 ——7设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。
(完整版)高考立体几何大题及答案(理)
故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。
连接CH，则∠ECH为 与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形，AD= ，故EH=1，又EC= =2，
（II）设线段 、 的中点分别为 、 ，
求证： ∥
（III）求二面角 的大小。
10.如题（18）图，在五面体 中， ∥ ， ， ，四边形 为平行四边形， 平面 ， ．求：
（Ⅰ）直线 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
11．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅱ）设平面BCD的法向量 则
又 =（-1，1，0），
=（-1，0，c）,故
令x=1,则y=1,z= , =(1,1, ).
又平面 的法向量 =（0，1，0）
由二面角 为60°知， =60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以 与平面 所成的角为30°
3、（Ⅰ）证明：连接 ，在 中， 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 ，又 平面ACD，DC 平面ACD，所以 平面ACD
(1)证明：PA⊥BD；
(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
12（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD，垂足为H，
PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE BC
（2）若 APB= ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
高等几何习题参考答案
高等几何综合练习题参考答案一、（1）椭圆；（2）三角形；（3）三角形内切椭圆的中心；（4）两个等面积的平行四边形；（5）三角形的重心；（6）面积比相同但不必相似的三角形；（7）不是三角形的垂心；（8）平行四边形。
二、（2）、（3）、（6）、（9）经中心射影后不变。
三、过点(,,),(0,,)a b c b c -的直线为12300x x x ab c bc =-，即12320,bcx acx abx --= 因为1110,a b c ++=所以0bc ca ab ++=，取点1(,1,1)2--代入直线方程，得0bc ca ab ++=，故此直线必过定点1(,1,1)2--。
四、取XYZ 为坐标三点形：(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),X Y Z 设(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(,,)A B C D P f g h ------，可以求得直线l 的方程为230gx hx -=，类似可以求出,m n 的方程。
五、只有恒等变换的群没有相应的几何学，理由是经过恒等变换图形的任何性质都没有改变，因为位置没有改变，就无法进行比较、推广，对任何图形都要一一研究，这是不可能的。
六、因无三点共线的五个点A,B,C,D,E 构成线束A(C,D,E)与B(C,D,E)的射影对应，由此三对对应直线唯一决定，故其对应线之交点唯一确定，因此唯一确定一条二次曲线。
其对偶命题为：非退化的二级曲线是由无三线共点的五条直线唯一决定。
七、设两个透视三点形111222,A B C A B C 的对应边的交点为L,M,N,非对应边之交点为123456,,,,,P P P P P P ,适当编排这六点的顺序，使这六点为定点的简单六点形之对应边交点为L,M,N ，因为L,M,N 共线，根据帕斯卡定理的逆定理知此六点形为二次曲线之内接六点形。
八、主轴为612110,220x y x y +-=--=。
《高等几何》考试练习题及参考答案
《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。
高等几何练习题(附参考答案)
1.求一个二维射影变换，它使点（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1）,（0,0,1）分别变为（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（1,1,1）。
2. 求通过点（1,0,1），（0,1,1），（0,-1,0）且以031=-x x ，032=-x x 为切线的二次曲线的方程。
3.已知一个一维射影变换的三对对应点的参数为：0→1/2，2→5/8，1→3/5，求出此射影变换的参数对应方程和自对应点的参数。
4.给定二次曲线C: 02223222121=++-x x x x x ， (1)求点P(1,1)关于二次曲线(C)的极线以及x 轴关于的二次曲线(C)极点。
(2) 判断二阶曲线(C)的类型，并求二阶曲线(C)的过点(1,0,0)的直径及其共轭直径。
5.设四直线4321,,,l l l l 的方程分别为,023,02321321=-+=+-x x x x x x,0721=-x x ,0531=-x x ，求),(4321l l l l 的值。
6. 一个一维射影对应，它使直线l 上的点)1(1P ，)2(2P，)3(3P 顺次对应直线l '上的点)1(1-'P ，)2(2-'P ，)3(3-'P，请写出该一维射影对应的非齐次表达式与齐次表达式。
7.求由两个射影线束031=-x x λ，032='-x x λ，12='+λλ所构成的二次曲线的方程。
8.已知二阶曲线c ：04228233231212221=+-++-x x x x x x x x x ， （1） 此二阶曲线什么类型的？其中心是什么？（2）试求此二阶曲线的渐近线。
9.求一仿射变换，使直线x+2y-1=0上的每一个点都不变，且使点（1,－1）变为点（－1,2）。
1．（15分）解：所求变换式为：3132121111x a x a x a x ++='ρ 3232221212x a x a x a x ++='ρ 3332321313x a x a x a x ++='ρ （3分） 将（1,0,1）→（1,0,0）,（0,1,1）→（0,1,0）,（1,1,1）→（0,0,1）,（0,0,1）→（1,1,1）代入上式可解得：1:1:1:1:0:1:1:1:0::::::::333231232221131211----=a a a a a a a a a （6分）∴所求变换式为：321x x x +-='ρ 312x x x +-='ρ 3213x x x x +--='ρ （6分）2.（15分）0222233332233113222221122111=+++++x a x x a x x a x a x x a x a过点（1,0,1） 02331311=++a a a过点（0,1,1） 02332322=++a a a过点（0,-1,0） 022=a （6分）02331311=++a a a ，023323=+a a ，022=a ， ∴02312=+a a ，)(33131311a a a a +-=+ （0,1,1）在曲线上，切线032=-x x ，0)()()(333232232211312=+++++x a a x a a x a a∴01312=+a a ，)(33232322a a a a +-=+∴曲线方程为023323121=+--x x x x x x x 。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得空间中，下列哪个几何体的体积是固定的？A. 球体B. 圆柱体C. 圆锥体D. 正方体答案：A2. 以下哪个是平面几何中的定理？A. 勾股定理B. 毕达哥拉斯定理C. 欧拉定理D. 费马定理答案：A3. 在三维空间中，一个点到一个平面的距离公式是什么？A. 点到平面的距离等于点到平面上任意一点的距离B. 点到平面的距离等于点到平面上垂足的距离C. 点到平面的距离等于点到平面上垂线段的长度D. 点到平面的距离等于点到平面上垂线段的长度的平方答案：B4. 以下哪个几何图形是对称的？A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个圆的周长公式为__________。
答案：2πr2. 一个球体的表面积公式为__________。
答案：4πr²3. 在直角坐标系中，点(3, -4, 5)到原点的距离为__________。
答案：√(3² + (-4)² + 5²)4. 一个正四面体的体积公式为__________。
答案：(a³√2)/12，其中a是正四面体的边长。
三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在欧几里得平面上，如果一个三角形的两边和这两边的夹角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
证明：设三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠BCA。
根据等腰三角形的性质，我们知道在等腰三角形中，两腰相等的三角形，其底角也相等。
因此，∠ABC=∠ACB。
由于∠BAC=∠BCA，所以∠ABC=∠ACB=∠BAC。
这表明三角形ABC的所有内角都相等，即每个角都是60°。
因此，三角形ABC是一个等边三角形，也是等腰三角形。
2. 计算：在三维空间中，给定一个点P(2, -3, 4)和一个平面方程3x - 4y + 5z = 6，求点P到该平面的距离。
高等几何测试题及答案
高等几何测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在三维空间中，以下哪个几何体的体积是最小的？A. 正方体B. 球体C. 圆柱体D. 圆锥体答案：D2. 以下哪个定理是关于直线与平面关系的？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 毕达哥拉斯定理D. 欧拉定理答案：B3. 在欧几里得几何中，以下哪个图形是不可测量的？A. 线段B. 角度C. 面积D. 体积答案：B4. 以下哪个几何概念与曲面的曲率有关？A. 向量B. 张量C. 标量D. 矢量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个球体的表面积公式是_______。
答案：4πr²2. 一个圆柱体的体积公式是_______。
答案：πr²h3. 欧拉特征数对于一个球体的值是_______。
答案：24. 一个圆锥体的侧面积公式是_______。
答案：πrl三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在三维空间中，任何两个不同平面的交线都是一条直线。
答案：略2. 解释并证明高斯-博内定理在曲面上的适用性。
答案：略四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算半径为3的球体的体积。
答案：4/3π(3)³ = 36π2. 计算底面半径为4，高为5的圆柱体的表面积。
答案：2π(4)² + 2π(4)(5) = 32π + 40π = 72π结束语：以上为高等几何测试题及答案，希望同学们通过这些题目能够更好地理解和掌握高等几何的基本概念和定理。
高等几何 习题和答案
Desargues透视定理
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交 于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
C
A L F V D E G
U
B
证法二 设 GL×UA=E, 我们只需证明C, E, F 三点共线. 由三 点形GBL与UDA有透视中心 V, 得对应边的交点 C, E, F 三点 共线, 即 LG, CF, AU 共点.
证法三 解析方法(略).
习题P58-1.6.2 已知射影平面上一条直线p以及不在p上的相异
两点 A,B, 不允许连结AB, 求作直线AB与p的交点C p
A
B
b, c, d为平面内四条直线, 不允许作a, b交点
和 c, d 交点, 求作一条直线 l, 使得l 通过这两个交点. ξ O η γ B C C’ B’ D E Q c
Desargues透视定理
二、应用举例
1、证明共线点与共点线问题
C
A L F V D E G
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交 于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
U
B
证法一 考察三点形LFA与GCU, 因为 LF×GC=B,FA×CU=D, AL×UG=V, 而显然 B,D,V 三点共线, 所以这一对对应三点形 满足 Desaugues 透视的定理的逆定理的条件, 其对应顶点的连 线 LG, CF, AU必定共点.
A’
高等几何_习题集(含答案)
《高等几何》课程习题集一、计算题11. 设点A （3，1，2），B （3，-1，0）的联线与圆x 2+y 2－5x －7y ＋6=0相交于两点C 和D ，求交点C ，D 及交比（AB ，CD ）。
2. 将一维笛氏坐标与射影坐标的关系：,0(1)x x αβλαδγβγδ+=-≠+以齐次坐标表达。
3. 求射影变换11221231234,63,(1)x x x x x x x x x x ρρρ'=-⎧⎪'=-⎨⎪'=--⎩的二重元素。
4. 试求四直线2x －y+1=0,3x+y －2=0, 7x －y=0,5x －1=0顺这次序的交比。
5. 已知线束中的三直线a ，b ，c 求作直线d 使（ab ，cd ）=－1。
6. （i ）求变换：x'=21x x -，y'=21yx -的二重点。
（ii ）设O 为原点，P 为直线x=1上任一点，m'为直线OP 上一点M 的对应点， 求交比（OP ，MM'）；（iii ）从这个交比得出什么结论？解出逆变换式以验证这结论。
7. 设P 1，P 2，P 4三点的坐标为（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P 1P 2, P 3P 4）=2，求点P 3的坐标。
8. 在直线上取笛氏坐标为 2，0，1的三点作为射影坐标系的A 1,A 2, E (i)求此直线上任一点P 的笛氏坐标x 与射影坐标λ的关系；（ii ）问有没有一点，它的两种坐标相等？9. 直线上顺序四点A 、B 、C 、D 相邻两点距离相等，计算这四点形成的六个交比的值。
10. 设点列上以数x 为笛氏坐标的点叫做x ，试求一射影对应，使点列上的三点1,2,3对应于点列上三点0,3,2；11. 从变换式112321233123,,(1)x x x x x x x x x x x x ρρρ'=-++⎧⎪'=-+⎨⎪'=+-⎩求出每一坐标三角形的三边在另一坐标系下的方程 12. 求四点(2，1，－1),(1，－1，1),(1，0，0),(1，5，－5)顺这次序的交比。
(完整word版)高中立体几何大量习题及答案
立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个 平面互相平行；③若直线4与同一平面所成的角相等，则4互相平行；④若直线 /|仏是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线。
其中假命题的个数是（）A. 1B. 2 C ・ 3 D. 42. 将正方形ABCD 沿对角线〃£）折成一个120。
的二面角，点C 到达点G ，这时异面直 线AD 与BCi 所成角的余弦值是（）A. —B. -C.逅D.- 2 2 4 43. —个长方体一顶点的三个面的面积分别是血、巧、后，这个长方体对角线的长为（）6. 正方体A ,B ,C ,D ,—ABCD 的棱长为a, EF 在AB 上滑动，且|EF|=b （b<a=9 Q 点在DC 上滑动，则四面体N —EFQ 的体积（）A ・与E 、尸位置有关 B.与Q 位置有关C.与E 、F 、0位置都有关D.与E 、F 、0位買均无关，是定值 7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O,点P 到三个平面的距离比为1 ：2 ： 3, PO=2V14 ,则P 到这三个平面的距离分别是（）4. A. 2^3 B. 3^2 C. 6 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、尸分别为各边的中点，G 、H 、I 、丿分别为AF 、AD. BE 、DE 的中点.将△ ABC 沿QE 、EF 、Q 尸折成三棱锥以后，与〃所成角的度数为（A. 90° B ・ 60° C. 45。
5.两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱 长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正 方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面 上，则这样的几何体体积的可能值有（）A ・I 个B. 2个C. 3个 D0°D.A. 1, 2, 3 B・ 2, 4, 6 C・ 1, 4, 6 D・ 3, 6, 98. 如图，在四而体ABCD 中，截rfij AEF 经过四面 体的内切球（与四个面都相切的球）球心O,且 与BC, DC 分别截于E 、F,如果截面将四面体 分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与 三棱锥A-EFC 的表面积分别是Si ，52,则必有 （）A. S\<S2B. Si>S2C. S I =52D. 5I ，S2的大小关系不能确定 9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条 件甲是条件乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P, P 在底面上的射影为O, PO=a,现用平行于底面的平面去截 这个棱锥，截面交PO 于点M,并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（） B ・ h= （ V2 +1） aD.后土色 2 —♦ f11. 已知向量d=（2, 4, x ）, 〃=（2, y, 2）,若f |=6, “ 丄〃，则 x+y 的值是（）12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是迈,JI 亦，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（）A.1271B. 1871C.3671D. 6兀 13. 己知某个几何体的三视图如下，图中标出的尺寸（单位:cm ）,则这个几何体的体积是（）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧tfri 展开图扇形的圆心角为（ A.12O 0 B.15O 0 C.180° D.24O 0A ・ b= ( 5/2 —l)a A. 4000 14. A8000 正视图 俯视图20. 15.在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个而都接触，经 过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）“（-1,0,2）,且几+》与必―》互相垂直，贝IJR 值是（） 厂3 “7 C. — D.— 5516. 正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi 中，AB=3, BBi=4.长为 1 的线段PQ 在棱AAi 上移动，长为3的线段MN 在棱 CCi±移动，点R 在棱BBi 上移动，则四棱锥R- PQMN 的体积是（）A. 6B. 10 C ・12 D ・不确定17. 已知三棱锥0—ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，若x+y=4,则已知三棱锥O —ABC 体积的最大值是（）1 2 >/3 B. — C. — D. 3 3 3 A.l18. 如图，在正四面体A-BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心, 则AEFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（）A.①③B.②®® c.③④D.②④ A/ \ /◎、L ________ \ ① MB — — —②19. 如來底而直径和高相等的圆柱的侧面积是s •那么圆柱的体积等于A.-VSB.-J-C.-VSD.- 2 2V K 44 vn 已知直线AB. CD 是异面直线，AC 丄AB, AC 丄CD, BD 丄CD, 则异面直线AB 与CD 所成角的大小为（）A. 30°B. 45° 且 AB=2, CD=1,C. 60°D. 75°已知向量”m°）,B.- 5 A. 1 OC=1, OA=x, OB=y,22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最参可有（）A.4个B.2个C.3个D.1个23. 三棱锥A-BCD 中，AC 丄BD, E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是（）A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形24. 在正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不 成立的是（）25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面1何积与底面面积的比为1： 3,则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（）A.1： 3B.1： 2C.1：羽D.1：羽一 1 26. 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（）A 並B 並C 返D 迴 A. 2 B. § C. 4 D. 327. —个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1, & ,3 已知该三棱锥的四个顶点都在一个球而上，则这个球的表面积为（）A.16nB.32 兀C.36 兀D.64 兀28. 在棱长为。
高等几何试题推荐及答案
高等几何试题推荐及答案1. 已知一个正四面体的边长为 \(a\)，求其体积。
答案：正四面体的体积 \(V\) 可以通过以下公式计算：\[ V = \frac{a^3 \sqrt{2}}{12} \]2. 求证：在球面上任意两点的最短距离是这两点之间的大圆弧。
答案：设球面上的两点为 \(A\) 和 \(B\)，球心为 \(O\)，球半径为 \(R\)。
设 \(AB\) 与球心 \(O\) 连线交于点 \(C\)。
根据球面距离的性质，\(AC + CB\) 为 \(A\) 和 \(B\) 之间的大圆弧。
根据球面三角形的性质，\(AC + CB \leq AB\)。
当且仅当 \(A\)、\(B\)、\(C\) 共线时，等号成立，即 \(AB\) 为大圆弧。
3. 已知一个圆锥的底面半径为 \(r\)，高为 \(h\)，求圆锥的侧面积。
答案：圆锥的侧面积 \(A\) 可以通过以下公式计算：\[ A = \pi r l \]其中 \(l\) 为圆锥的母线长度，可以通过勾股定理计算得到：\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]4. 求证：如果一个平面与一个球相交，那么交线是一个圆。
答案：设平面与球相交，设球心为 \(O\)，球半径为 \(R\)，平面与球相交的圆心为 \(C\)，圆半径为 \(r\)。
因为平面与球相交，所以 \(OC\) 垂直于交线。
根据球心到平面的距离 \(d\) 与球半径 \(R\) 和圆半径 \(r\) 的关系：\[ d^2 + r^2 = R^2 \]由于 \(d\) 为常数，\(r\) 也为常数，所以交线是一个圆。
5. 已知一个圆柱的底面半径为 \(r\)，高为 \(h\)，求圆柱的体积。
答案：圆柱的体积 \(V\) 可以通过以下公式计算：\[ V = \pi r^2 h \]6. 求证：在三维空间中，任意两条相交直线确定一个平面。
答案：设两条相交直线为 \(L_1\) 和 \(L_2\)，交点为 \(P\)。
高中几何体试题及答案大全
高中几何体试题及答案大全试题一：直线与平面的关系题目：在空间直角坐标系中，直线l过点A(1, 2, 3)且与向量(2, -1, 0)平行。
求证：直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
答案：首先，直线l的参数方程可以表示为：\[ x = 1 + 2t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 \]其中\( t \)为参数。
接下来，将直线l的参数方程代入平面方程x - 2y + z = 6，得到：\[ (1 + 2t) - 2(2 - t) + 3 = 6 \]\[ 1 + 2t - 4 + 2t + 3 = 6 \]\[ 4t = 6 \]\[ t = \frac{3}{2} \]由于直线l的参数方程中，参数\( t \)可以取任意实数，而代入平面方程后，\( t \)有唯一解，这表明直线l与平面x - 2y + z = 6平行。
试题二：立体几何体积计算题目：一个正方体的边长为a，求其外接球的体积。
答案：正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长度，即：\[ 2R = a\sqrt{3} \]其中\( R \)为外接球的半径。
由此可得外接球的半径为：\[ R = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]球的体积公式为：\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \]代入\( R \)的值，得到正方体外接球的体积为：\[ V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^3 =\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{2} \]试题三：圆锥曲线问题题目：已知椭圆的方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中a > b > 0。
求椭圆的焦点坐标。
答案：椭圆的焦点位于主轴上，根据椭圆的性质，焦点到椭圆中心的距离为c，满足以下关系：\[ c^2 = a^2 - b^2 \]假设焦点位于x轴上，焦点的坐标为\( (c, 0) \)和\( (-c, 0) \)。
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
高等几何课后答案解析第三版
高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经过A（-32）和1）的直线AB与直线工+ 3，一6二0相交于P点、秦仃WP）=?U戌线AB的方程为x+9^- 15 = 0：F点的坐标为（yry）；（ABP）= -L2.求一仿射更换，它使直线工+2』- 1 = D上妁每个点都不变J 且<A（b-l）< 为点（-L2）.2 T在直线'工+ 2》一I =0上任取两点A Ui0）<B1 *1由于A（1 *D）fA C 10）I B_L l〉f E f - It1）* 又点（1・一1）f（-1 f 2）i仿輛变换式< . ' 可解得所求为ly =如严4 gy+如*2L y-b工_2y+ y -3.求仿射变换P = 7x -了十I ・'y - +r 十2y + 4的不变点和不变直线.3 r不变点为（一一2）・牛■变氏线为2r - 2_y _3 = 0与4⑦一_y = 0.4.问在仿射变换下，于列图形的对应图形为何？①菱形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形；（2）平疔四边形：G）梯形；（4）三骨形.5.节述性质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线*点；③三角形内接于一國；④一角的平分线上的点到两边等距.5. 0）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一1.下列哪些图带具有射影性质？平行宣蝕；三点共线；三武錢共点；两点阿的陌离；两亶统的先角；两相聘找段L答:（2）＞具有射影性质.2.求证：仟宦四边涉可以射齡虑甲行四边影. |2.捉示:将四边竝两对对也的交点连线収作燈消线，作•屮心射影即得.3・在平闻2上有一定直线宀以0対射右.投对封平面『上得到直线//•求证当Q变动时•”通过•定点.3.提灵平面（0-0）宀皆交于总线和它们与平而孑的交线为P；■如果p 口 J 交于点FS则嵐皿二…都通过点P. 如果P是无穷远点*则pjp.…彼此平行.4.设=xn P J P a.QiQ^fi|K I交于一点»Sl交二豈线2 于P M Q I.R.与齐求叫高找P.Q1与P1O|的交点・色&勻QR*的交氨点\Pi与殆兀的丸点启点共线，且就宜线与/i J3英点.4 ,捉力“如图2 —2 —2可卽选取射鏗中亡V与另呼面八将GT :点射影成平囱f上的无穷远直.如阍2-2-3,这时皆为平行网边形的对和线交点，容易证明它们扶线’且所共直线与I；平行’ 根抵站合性足射影性硕，所以夬线・11此J1线与石忆共点・5-试用稱脾格谟理证朗：任栽四边理各对时边中点的连线与二对角线中点的连线相理于一点.匚捉缺如图2-27段四边形AT3CD四边中点依次为E, F. ◎ H,对用线AQ.ED 的中点足P,Q,砂究三点形PER和QGF t利用捌萨格定理咐逆定理，可以证明其对应顶点连纯EG.FH.PQ 共点.6,ABCD Iffil面体』XftBC±,-直銭iS过X井別交AB.AC干巴。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案试题一：已知三角形ABC中，AB = AC，D为BC边中点，AD的延长线交BC于点E，且DE = DC。
证明：∠ABC = ∠ACD。
解析：首先，根据已知条件可得到以下几个等式：AB = ACDE = DC我们需要证明∠ABC = ∠ACD。
为了证明这个等式，我们可以利用三角形的相似性。
设∠ABC = α，∠ACD = β。
根据三角形ABC中的角度和为180°，我们可以得到∠BAC = 180°- 2α。
同样地，根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠CAD = 180° - 2β。
接下来，我们分别观察三角形ABD和三角形ACD。
在三角形ABD中，根据角度和的性质可得∠BAD = 180° - ∠BDA - ∠ABD = 180° - (180° - 2α) - α = α。
同时根据三角形ABD中的角度和为180°，我们可以得到∠ADB = 180° - ∠ABD - ∠BAD = α。
在三角形ACD中，根据角度和的性质可得∠CAD = 180° - ∠CDA - ∠ACD = 180° - (180° - 2β) - β = β。
同时根据三角形ACD中的角度和为180°，我们可以得到∠ACD = 180° - ∠ACD - ∠ACD = β。
由于 DE = DC，根据等腰三角形的性质可知三角形ACD和三角形CDE相似。
因此，我们可以得到以下等式：AC/CD = CD/DEAC/BC = BC/DC将已知条件代入上述等式，得到：AB/BC = BC/DCAB = AC由于 AB = AC，且 BC = BC，根据全等三角形的性质可知三角形ABC和三角形ACD全等。
因此，我们可以得到∠ABC = ∠ACD。
综上所述，已证明∠ABC = ∠ACD。
华中师大《高等几何》练习题库及答案
华中师大《高等几何》练习题库及答案《高等几何》练习题库及答案一、填空题1．欧几里得的《几何原本》一书共计卷，其中存有条公理，条公设。
2．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、、、等四个方面组成的。
3．绝对几何学的公理体系就是由四组，，条公理形成的。
4．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x时，其对应的平行角?连续递减。
5．罗氏平面上直线的相互位置有三种可能，即、、。
6．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是。
7．两个射影点列成透视对应的充要条件是。
8．欧氏平面上添加了后，成为仿射平面。
9．共线4点a,b,c,d，若满足用户，则表示点对a,b与点对c,d能斯脱调和共轭。
10．平面内两点i(1,i,0),j(1,?i,0)称作平面内的。
11．希尔伯特提出几何公理系统的三个基本问题是、、。
12．罗巴切夫斯基函数(x)当平行矩x连续递增时，其对应的平行角?。
13．球面三角形的三角和常小于而大于。
球面三角形中两角和减去第三角常小于。
14．射影转换t就是闭集的充要条件就是。
15．射影转换的基本不变量就是。
16．共线4点a,b,c,d，若满足(ab,cd)??1，则称点对a,b与点对c,d互成。
17．平面内两点、称为平面内的圆点。
18．几何学公理法从开始到形成，大体经历了阶段。
19．《几何原本》被认为是用建立的几何学。
20．欧几里得第五公设描述为：21．希尔伯特于1899年刊登了知名的著作《》，这部书被看做就是几何基础研究的经典著作。
22．《几何原本》被指出就是用古典公理法创建的几何学，这本书的作者就是。
23．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理描述为24．罗氏平面上三角形内角和二直角。
25．球面三角形的内角和大于，小于。
26．布里安香定理描述为。
27．欧氏直线上嵌入了后，沦为向量丛直线。
28．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是。
29．通过圆点的任意虚直线称为。
30．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是.131．两共轭虚直线的交点为，两共轭虚点的连线为。
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高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。
答：),4,1,3()()(-=⨯⨯⨯ϕζηξ方程为043321=-+x x x 。
1.6 把笛卡尔三维空间里经过原点的直线作为“点”；把经过原点的平面作为“直线”，求证：这些“点”和“直线”的集合ω可定义为射影平面。
证明：在笛卡尔三维空间里有下列事实：)1( 经过原点的任意二不同的直线属于一个而且只属于一个经过原点的平面； )2( 经过原点的任意不同的二平面相交于一条而且只相交于一条经过原点的直线。
因而集合ω里的“点”和“直线”满足下列条件：)1( 任意而不同的“点”属于一条而且只属于一条“直线”； )2(任意二不同的“直线”属于一个而且只属于一个“点”。
而且，当经过原点的直线属于经过原点的平面时，可以看作ω的“点”属于“直线”。
所以集合ω可以定义为射影平面。
2.1 试证点),2,3,2(-=*a ),4,2,1(-=*b )6,1,0(-=*c 是共线的，试求λ和μ，使得,***+=c b a μλ又求b 和c 的一个表示*'b 和,*'c 使得***'-'=c b a答：,2=λ,1=μ),8,4,2(-='*b )6,1,0(-='*c2.2 试求直线),2,1,3(-=ξ),3,5,1(-=η)2,0,4(-=ζ共点。
并求ξ和η的固定表示*ξ和*η，使**+=ηξζ答：),720,710,730(-=*ξ)76,710,72(--=η 2.3 写出下列命题的对偶命题)1(直线上至少有三点。
)2(射影平面上至少存在四条直线，其中任何三条直线不共点。
)3(A 、B 、C 、M 为无任何三点共线的四个点，AM 交BC 于,0A MB 交AC 于,0B CM 交AB 于,0C 连接,00B A ,00C B 00A C 得一个三点形。
答：)1(线束里至少有三条直线。
)2(射影平面上至少存在四个点，其中任何三点不共线。
)3(α、β、γ、δ为无任三线共点的四条直线，α和δ的交点与β和γ的交点的连结为0α，β和δ的交点与α和γ的交点的连线为0β，γ和δ的交点与α和β的交点的连线为0γ，0α，0β，0γ组成一个三线形。
2.4 写出下面作图题的对偶命题，并画出对偶图形（不必写做法）。
已知三点形的顶点a 、b 、c 和不在三点形任何边上的任意一点x ，并作三点形的每一顶点与点x 的连线x a ⨯，x b ⨯，x c ⨯。
图2对偶命题：已知三线形的三边α，β，γ，和不通过三线形任何顶点的任意一条直线ξ，求作三线形的每一边与直线ξ的交点ξα⨯，ξβ⨯，ξγ⨯。
对偶图形为右图。
2.5 已知三点形abc 和点p ，而p 不在三点形的边上，令a c b p a '=⨯⨯⨯)()(，b ac p b '=⨯⨯⨯)()(，c b a p c '=⨯⨯⨯)()(，a c b c b ''='⨯'⨯⨯)()(，b a c a c ''='⨯'⨯⨯)()(，c b a b a ''='⨯'⨯⨯)()(，试证a ''，b ''，c ''共线。
提示，对三点形abc 和c b a '''应用笛沙格定理。
3.1 在意直线上取点)1,7,5(--=y ，)1,2,1(-=z 作为基础点，)1,1,1(-=u 作为单位点，建立射影坐标系，试求点)5,1,1(-=x 的齐次和非齐次射影坐标。
答：)31,37,35(-=*y ，)32,34,32(-=*z ，)2,1(，213.2 在一线束里取直线)3,2,1(-=ξ，)6,3,2(-=η为基础直线，取)12,1,4(--=ζ为单位直线，建立射影坐标系，试求)0,1,0(=ϕ的齐次和非齐次射影坐标。
答：)7,9(，973.3 如果点)0,1,1(，)1,1,2(，)7,1,0(取作射影坐标系的参考三点形的顶点，)1,2,1(为单位点，试求点)1,1,1(在这个坐标系里的齐次射影坐标和方程。
答：)15,5,9(-，01559321=+-ξξξ3.4 试写出坐标三点形个边上任意点的坐标和方程；又写出通过各顶点的任意直线的的坐标和方程。
解：设1δ上不同于23,d d 的任意点x223323232233(0,,),,0,0x d d λλλλλλλξλξ=+=≠+=方程为2δ上不同于13,d d 的任意点y ，13131133(,0,),,0,0y μμμμμξμξ=≠+=方程为设3δ上不同于1d ，2d 的任意点121122,(,,0),0z z νννξνξ=+=方程设通过1d 而不同于2δ，3δ的任意直线为α，则),,0(32λλα''=，方程是03322='+'x x λλ 通过2d 而不同于1δ，3δ的任意直线β，则),0,(31μμβ''=，方程是0)(3311='+'x x μμ 通过3d 而不同于1δ，2δ的任意直线γ，则)0,,(21ννγ''=，方程是02211='+'x x νν 3.5 试证：如果1a ，2a ，3a ，b 是四个点，其中没有任何三点共线；而且)()(1k j i a a a b c ⨯⨯⨯=，其中i ，j ，k 取)3,2,1()1,3,2(和)2,1,3(，则三个点)()(j i j i a a c c ⨯⨯⨯共线（提示：选择i i d a =，e b =）证明：选择11d a =，22d a =，33d a =，e b = 则)1,1,0()0,0,1()1,1,0()()()()(3213211=⨯-=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=d d d e a a a b c同理)1,0,1(2=c ，)0,1,1(3=c 。
又)0,1,1()1,0,0()1,1,1()()(2121-=⨯-=⨯⨯⨯a a c c 同理)1,1,0()()(3232-=⨯⨯⨯a a c c )1,0,1()()(1313-=⨯⨯⨯a a c c011110011)()(),()(),()(131332322121=---=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯a a c c a a c c a a c c 所以)()(j i j i a a c c ⨯⨯⨯共线。
另证：观察三点形321a a a 和321c c c ，对应顶点的连线11c a ⨯，22c a ⨯，33c a ⨯属于一点b ，由笛沙格定理，对应边的交点)()(2121a ac c ⨯⨯⨯，)()(3232a a c c ⨯⨯⨯，)()(1313a a c c ⨯⨯⨯属于一条直线。
3.6 设两条直线ξ和ξ'上各有三个不同点x ，y ，z 和x '，y '，z '，这些点与ξξ'⨯都不同，那么三个点：)()(z y z y a ⨯'⨯'⨯=，)()(z x x z b ⨯'⨯'⨯=，)()(y x y x c ⨯'⨯'⨯=是共线的。
（pappus 定理）。
又叙述其对偶定理，并画出对偶图形。
证明：建立坐标系),,,(b z y x 'Ω，x ~1d )0,0,1(，y '~2d )0,1,0(，z ~3d )1,0,0(，b ~e)1,1,1(y 在z x ⨯上而且不同于x 和z ，所以y 的坐标为),0,1(λ=yz b ⨯~)0,1,1()1,0,0()1,1,1(-=⨯点x '在z b ⨯上且不同于b 和z ，所以x '的坐标可设为),1,1(μ='x 。
)1,0,()1,1,0()()(μ-⨯-='⨯'⨯⨯='y x b x z ~),,1(μμ)0,0,1(),,()()(⨯--=⨯'⨯'⨯=μμλλμz y z y a ~),,0(λμμ- )0,,()1,,()1,0,0()()(λμλλμλ-=-⨯=⨯'⨯'⨯=y x y x c0011100111,,=--=--=λμμλμμλμλλμμc b a∴a 、b 、c 共线。