参数方程的求导法

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主要内容

2相关变化率的概念与计算相关变化率的应用实例

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2相关变化率的概念与计算相关变化率的应用实例

)

(t x x =)(t y y =实际问题中有一类问题：x 和 y 同随另一个变量 t 而变，

从而 x 和 y 之间存在某种依赖关系，因此变化率

()x x t '= ()y y t '= 也相互联系，研究变化率之间关系的问题称为相关变化率问题。

6 相关变化率

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例8 设有一个倒置的圆锥形容器，其底面圆直径为

10cm, 高为5cm, ，现以每秒给容器中加水。试求 秒时水面上升的速率.3

3cm 1

t

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3 由参数方程所确定的函数的概念 由参数方程所确定的函数的求导法 参数方程求导法应用举例

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3 由参数方程所确定的函数的概念

在许多实际问题中，常常用参数方程来表示物体的运动规律.

例如：炮弹运动的轨迹（弹道曲线）在不计空气阻力的情况下可 表示成参数方程： 122,1.2x v t y v t gt =⎧⎪

⎨=-⎪⎩

其中 12v v 、分别表示炮弹的水平和铅垂方向的初速度， g 为重 力加速度， t 为时间， x 和 y 分别表示炮弹在铅垂平面内位置的 横坐标与纵坐标

还有，旋轮线（摆线）的方程就是用参数方程表示的：

()()()sin 021cos x a y a θθθπθ⎧=-⎪≤≤⎨=-⎪⎩一般地，将由参数方程 ()()x x t y y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所表示的 y 与 x 的函数

()y f x =称为由参数方程所确定的函数. 00.10.20.30.40.50.60.7

00.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.140.160.18

0.2

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4 由参数方程所确定的函数的求导法 定理 设有参数方程 ()

()

x x t y y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 在 (),αβ()1 若函数 ()x x t = 与 ()y y t = 内可导，且

()0x t ≠ ，则 dy y dx x

= 与 ()2 二阶可导，则

若 ()x x t =()y y t =223 d y x y x y

dx x -=

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3 由参数方程所确定的函数的概念 由参数方程所确定的函数的求导法 参数方程求导法应用举例

例6 设 ()2arctan ln 1x t t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩ 求 22

,dy d y

dx dx 5 参数方程求导法应用举例

例7 已知摆线（旋轮线）的参数方程为 求摆线在 处的切线方程与法线方程。

()()

sin 1cos x a t t y a t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩2t π=

(1),()f C y f x ∈=（1）若 则 光滑；

)(),(t y t x 0)()(22≠+t y t x ⎩⎨⎧==)

()(t y y t x x 连续且 ，则 光滑. （2）若 光滑曲线：每点都有切线，切线方向连续变化.

平面曲线： （1）直角： ()(),0y f x F x y =⎧⎨=⎩（2）参数： ⎩⎨⎧==)

()(t y y t x x （3）极坐标： ()ρρθ=()cos ()sin x y ρθθρθθ

=⎧⇒⎨=⎩分段光滑曲线：