7.1空间解析几何简介

空间直角坐标系与向量的坐标
一、空间直角坐标系 二、向量及向量运算的坐标表示 三、向量的方向角与方向余弦 四、向量在坐标轴上的投影
一、空间直角坐标系
竖轴 z
k
定点O i
j纵轴 y
横轴 x
三个坐标轴的正方 向符合右手法则.
空间直角坐标系 Oxyz 或[O;i, j, k].
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
示式为
(bx ,by ,bz ) (ax , ay , az ),
也就是向量b 与向量a 对应的坐标成比例:
bx by bz .
如果 ax
ax 0, ay、az
a
y
0,
az 上式
应理
解为
bbxy
a y
0, bz
az
;
如果 ax
ay＝0, az
0,
上式
应理
解为
bx by
0, 0.
3.数量积 设 a axi ay j azk,b bxi by j bzk,则 a b (axi ay j azk) (bxi by j bzk) axi (bxi by j bzk) ay j (bxi by j bzk)
设 a (ax , ay , az ), b (bx ,by ,bz ),
即
a axi ay j azk, b bxi by j bzk.
那么 a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
(ax bx ,ay by ,az bz ).
向量 r 的坐标分解式, xi、yj、zk 称为向量沿三个
坐标轴方向的分向量.
z
zR
K
H O
x xP
M(x, y,z)
Q y
y
N
M r OM xi yj zk ( x, y, z).
数 x, y, z 称为点M 的坐标, 依次称 x、y 和 z 为点
M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.
azk (bxi by j bzk) axbxi i axbyi j axbzi k
aybx j i ayby j j aybz j k
azbxk i azbyk j azbzk k. 注意到i j j k k i 0, j i k j i k 0, i i j j k k 1,所以
a b axbx ayby azbz .
由于a b a b cos ,所以当a、b 都不是零向量
时, 有
cos a b ,
ab
从而可得两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx ayby azbz
.
ax2
a
2 y
a
2 z
bx2 by2 bz2
4.向量积 设 a axi ay j azk,b bxi by j bzk,则 a b (axi ay j azk) (bxi by j bzk) axi (bxi by j bzk) ay j (bxi by j bzk)
1.向量的模
z
R
设 r ( x, y, z), 作 OM r, 则 H
r OM OP 2 OQ 2 OR 2
O
P
x
由于 OP xi, OQ yj, OR zk,
所以 OP x , OQ y , OR z ,
K
M
Qy
N
于是向量模的坐标表示式为 r x2 y2 z2.
2.线性运算
将点M 记为M (x, y, z).
数 x, y, z 也称为向量r 的坐标,记为r (x, y, z).
一些特殊点的坐标
坐标轴上的点 P,Q, R; 坐标面上的点 A, B,C;
坐标原点 O(0,0,0).
z z R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,0, z)
M(x, y,z)
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
(ax bx , ay by , az bz ).
a (ax )i (ay ) j (az )k (ax ,ay ,az ) 其中 为实数.
当向量a 0时,向量 b // a 相当于b a ,坐标表
O
y
x
d 2 M1 P 2 PN 2 NM 2 2 .
d 2 M1 P 2 PN 2 NM 2 2 . M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
d M1P 2 PN 2 NM2 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 . M1 M 2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 . 空间两点间距离公式
azk (bxi by j bzk) axbx (i i) axby (i j) axbz (i k)
aybx ( j i) ayby ( j j) aybz ( j k)
azbx (k i) azby (k j) azbz (k k). 由于 i i j j k k 0;
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
O
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限.
z
R
M
O
xP
Q
y
一一对应
M
(x, y, z)
各卦限中点的坐标的特点
卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
点的坐标(x, y,z) x 0, y 0, z 0 x 0, y 0, z 0 x 0, y 0, z 0 x 0, y 0, z 0
卦限 Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
点的坐标(x, y,z) x 0, y 0, z 0 x 0, y 0, z 0 x 0, y 0, z 0 x 0, y 0, z 0
二、向量及向量运算的坐标表示
z
zR
K
Hale Waihona Puke H Ox xPM(x, y,z)
Q y
y
N
r OM OP PN NM OP OQ OR xi yj zk.
O(0,0,0)
yQ(0y, y,0)
x
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
空间两点间的距离公式
设 M1 ( x1 , y1 , z1 ) 和 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点.
d M1M2 ? z M2 M1
P
N
在直角ΔM1PN 和 直角 ΔM1 NM 2 中 使用勾股定理