第七章拉弯和压弯构件典型例题_钢结构

查表得 I36a ： A = 76.3cm 2，Wx = 875cm 3，ix = 14.4cm，iy = 2.69cm
2．验算弯矩作用平面内的稳定性
λx
=
l ox ix
=
1000 14.4
=
69.4
查表得（按 a 类截面），ϕ x = 0.842
N'Ex
= π 2EA 1.1 λ2x
= π 2 × 206 ×103 × 76.3 ×102 1.1 × 69.42
/ 277.6)
= 44.7 +114.7 = 159.4 N/mm2 < f = 215 (满足)
N A
−
β mxM x
γ
x2W2 x
(1−
1.25
N N'Ex
)
=
42 ×103 2127
−
1.2
×
35.7
×
1× 8×106 10（3 1 −1.25
×
42
/
277.6)
= 20 − 230.3 = 210.3 N/mm 2 < f = 215 (满足)
能向左或向右弯曲，但因系对称截面，故在验算稳定性时，仅须按一个方向弯曲验算弯矩作 用平面内的稳定性即可。在弯矩作用平面外的稳定性由验算分肢平面外的稳定性确定，若分 肢的稳定性满足，即可保证。分肢按轴心压杆计算。对工字钢可不验算局部稳定。
1．截面几何特性
查表得， I50a ： A = 119cm 2，I x1 = 1120cm 4，I x1 = 46470cm 4，i x1 = 19.7cm，iy1 = 3.07cm;
分析：根据已知条件，该题为承受轴心压力和横向均布荷载作用的压弯柱。跨中截面 A
点由最大弯矩产生的压应力最大且与轴心压力产生的压应力同号，为最大不利截面，故弯矩 作用平面内的稳定性验算应以此处为代表截面。在进行弯矩作用平面外的稳定性计算前，首 先应结合长细比要求，将支承布置好，然后再进行验算。
1．截面的几何特性
（2）验算弯矩作用平面外的稳定
ϕb = 1 − 0.0017λy f y / 235 = 1 − 0.0017 ×146 = 0.7518
N+ ϕyA
βtxM x ϕ bW1x
=
42 ×103 0.322 × 2127
+
1× 8×106 0.7518 × 75.6 ×
10 3
= 61 +141 = 202N/mm 2 < f = 215 (满足)
λx = lox / i x = 1980 / 75 = 26.4
λox =
λ2x
+ 27 A A1
=
26.42 + 27 × 2 ×119 = 30 < [λ] = 150 （刚度满足）
2 ×15.6
查表得，ϕ x = 0.936 （ｂ 类截面）
N'Ex
=
π 2EA = 1.1λ2ox
π2
× 206 ×103 × 2 ×119 ×102 1.1 × 302
N1 ϕ min A1
=
2183 × 10 3 0.861×119 ×102
= 213N / mm 2
<
f
= 215N / mm 2 （满足）
现增设四个侧向支承点， loy = 1000 / 5 = 200cm ，并取中间段验算
λy
=
loy iy
=
200 2.69
= 74.3 < [λ ] = 150 （刚度满足）
查表得（按 b 类截面），ϕ y = 0.725
ϕb
= 1.07
−
λ2y 44000
= 1.07
−
74.32 44000
=
0.94
=
48827273N
= 48827.3kN
W1x
=
Ix yo
= 1341000 75
= 17880cm3
(注意工字钢截面的 yo 取值为 x 轴到压力较大分肢轴线的距离)
按有侧移框架柱，取 βmx = 1.0 ，
N ϕx A
+
β mx M x
W1x (1 − ϕ x
N )
N'Ex
=
1700 ×103 0.936 × 2 ×119 ×102
查表得，2∠110×70×6 的截面数据：
A = 21.27cm2，I x = 267cm 4，ix = 3.54cm，i y = 2.88cm
λx = lox / ix = 420 / 3.54 = 119，ϕ x = 0.442 （ｂ 类截面）
λy = loy / i y = 420 / 2.88 = 146 < [λ] = 150，ϕ y = 0.322 （ｂ 类截面）
= 1.365 < 1.6 ，
所以，腹板高厚比 ho / t w = 760 / 12 = 63.3 < 16 ×1.365 + 0.5 × 33.3 + 25 = 63.5 （满足）
（2）翼缘外伸宽厚比
b1 / t = (125-6) / 12 = 9 .9 < 15 235 / f y = 15 （满足）
【例题４】试验算如图所示一厂房柱的下柱截面。柱的计算长度 lox = 19.8m，loy = 6.6m ， 最不利内力设计值为 N = 1700kN，M = ±2000kN ⋅ m 。缀条倾角为 45o ，且设有横缀条。 钢材 Q235 − A ⋅ F 。
a
【解答】 分析：根据已知条件，该厂房下柱弯矩带正、负号且大小相等，说明在荷载作用下柱可
（1）验算弯矩作用平面内的稳定
Mx
=
1 ql 2 8
=
1 × 3.63 × 4.22 8
=
8kN ⋅ m
N'Ex = π 2 EA/1.1λ2x = π 2 × 206 ×103 × 2127 /1.1/ 1192 = 277636.4 N
W1x = I x / 3.53 = 75.6cm3
W2x = I x / 7.47 = 35.7cm3
∟100×8： A = 15.6cm 2
I x = 2(1120 +119 × 752 ) = 1341000cm 4 I y = 2 × 46470 = 92940cm 4
ix =
Ix = A
1341000 = 75cm 2 ×119
iy =
Iy = A
92940 2 ×119
= 19.8cm
2．截面验算 （1） 弯矩作用平面内的稳定性：
查表得，γ x1 = 1.05，γ x2 = 1.20
按无端弯矩但有均布横向荷载作用时，取 βmx = 1.0 ，
N ϕx A
+
γ
βmx M x W x1 1x (1 − 0.8
N N'Ex
)
=
42 ×103 0.442 × 2127
+
1× 8 ×106 1.05× 75.6 ×10（3 1− 0.8 × 42
[ ] λx1
=
lox i x1
= 150 = 48.9 < 3.07
λ
= 150（刚度满足）（ l01 取值按缀条倾角为 45o ，且在其
间设有横缀条计算）
λ y1
=
loy iy1
=
660 19.7
=
33.5 <
[λ] = 150 （刚度满足）（分肢平面外计算长度即柱的平面外
计算长度 loy ）
按 λmax = λx1 ，查表得，ϕ x1 = 0.861 （ｂ 类截面）
=
N A
− My1 Ix
=
800 ×103 151 × 10 2
−
400 ×106 × 380 133296 ×104
= 53 − 114 = −61N/mm 2
σmax =167 N/mm2
σmin = 61 N/mm2
因应力梯度α o
= σ max − σ min σ max

= 167 − (−61) 167
【解答】
由图算得， A = 151cm 2，I x = 133296cm 4
（1）腹板的高厚比 腹板的边缘应力计算如下：
σ max
=
N A
+
My1 Ix
= 800 ×103 151×10 2
+ 400 ×106 × 380 133296 ×10 4
= 53 + 114 = 167N/mm 2
σ min
实腹式截面无削弱，强度无需计算；因截面是角钢（型钢）， 局部稳定不用验算。
【例题２】 某压弯杆的截面如图所示， 该截面有轴心压力设计值 N = 800 kN ， 弯矩设计值
M = 400kN ⋅ m ，并已知 λx
= lox ix
= 33.3，钢材 Q235 ，试验算板件的宽厚比限值。
弯矩作用在主轴平面内。
按构件段内有端弯矩和横向荷载同时作用时，取 βtx = 1.0 ，
N+ ϕyA
βtxM x ϕbW1x
=
650 ×103 0.725× 76.3×102
+
1.0 × 78×106 0.94 ×875 ×103
= 212.3N/mm 2 < f = 215N/mm 2 (满足)
计算结果表明，设四个侧向支承点，该柱在两个方向可基本达到等稳定性。
+
17880
×
1.0 10（3 1
× −
2000 ×106 0.936 × 1700 ×103
48827.3 ×10
3
)
= 191.9N/mm 2 < f = 215N/mm 2 (满足)
（2） 分肢的整体稳定性：
分肢承受的轴心压力
N1
=
N 2
+M a
= 1700 + 2000 2 1.5
= 2183kN
【例题３】工字钢I36a （材料 Q235 − A ⋅ F 钢）的 10m 长两端铰接柱，承受轴心压力设计值
N = 650kN ，在腹板平面承受均布荷载设计值 q = 6.24kN/m 。试计算此压弯柱在弯矩作
用平面内的稳定性有无保证？为保证弯矩作用平面外的稳定性须设置几个侧向中间支承 点？
q
【解答】
= 2925455N = 2925.5kN
按无端弯矩但有均布横向荷载作用时，取 βmx = 1.0 ，
Mx
=
ql 2 8
= 1 × 6.24 ×102 8
= 78kN ⋅ m
N ϕx A
+ γ
βmx M x W x1 1x (1− 0.8
N N'Ex
)
=
650 ×103 0.842 × 76.3 ×102
【例题１】某两端铰接压弯杆，如图所示，选用型钢 2∠100×70×6，钢材 Q235 ，l = 4.2m ， 受轴向压力 N = 42kN （设计值）和横向均布荷载 q = 3.63kN / m （设计值），试验算截面
是否满足要求。 （验算题）
q
【解答】
b 类截面 b
lox = loy = l = 4.2m
+
1.05
×
875
1× 78 ×106 ×10（3 1 − 0.8×
650 × 2925.5
103 ×10
3
)
= 204.4N/mm 2 < f = 215N/mm 2 (满足)
3．验算弯矩作用平面外的稳定性 如不设支承点：
λy
=
loy iy
= 1000 2.69
= 372 > [λ] = 150 （刚度不满足）