2017年浙江高考卷21题解析几何PPT 课件

P(x,
y)(
1 2
x
3 2
),
24
24
过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(2) 求|PA|·|PQ|的最大值.
分析：做题切忌盲目掉入“套路(设
直线联立方程组韦达定理)”之中.
y
x2=y
B(
3 2
,
9) 4
应学会分析，理解题意 分析题意有三条大道：
( 1 , 2
1 4
)A
P (x,
Q x2)
①“顺推法”,即“执因索果”.从条件入手 步步分析转化；
x
(1x ,1x 2)(3x ,9x 2) 24 24
(3x)(x1)3 1 x 3
2
2
2
2
此法大大减少了计算量与计算过程，
可谓“神来之笔”，出奇制胜。
点评：本题并无向量，但引进向量，达到了“出奇制胜”的
效果. 事实上平面向量是十分活跃的一个“角色”，它融数、形于 一体，与圆锥曲线问题自然交汇，亲密接触，无论对试题的表 述，还是在揭示曲线的几何性质方面都有它独特的优势。
分析：若在“椭圆背景下”, 我们说
“所求对象(AP斜率)”就不好表示了,
y
x2=y
B(
3 2
,
9) 4
则可以设出“所求对象(AP斜率)”
( 1 , 2
1 4
)A
(xP,
Q y)或(x,
x2)
得到AP直线方程
O
x
而AP直线与曲线相交为P
自然会联立方程组韦达定理
设直线AP的斜率为k ,
则直 A:P 线 y1k(x1) 即ykxk1
P(x,
y)(
1 2
x
3 2
),
24
24
过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1) 求直线AP斜率的取值范围；
分析：第(1)问“求直线斜率范围”，
y
不妨“依题行事”，直接表示出“所求
x2=y
B(
3 2
,
9) 4
对象”，只问一句“能表示否？”
y 1
k AP
4 x 1
x2 1
4
x 1
x1 2
( 1 , 2
前面三种解法，我们始终停留在|PA|·|PQ|“本身距离”的意义
若|PA|·|PQ|不从距离意义理解，你能想到什么？
y
x2=y
|PA ||PQ | PA PQ
B(
3 2
,
9) 4
如何计算这两个向量呢？
有两条路：坐标或转化成其它已知向量 A
PA(PBBQ)
( 1 , 1) 24
O
PAPB
(Px,
Q x2)
好处：只需计算点P, Q的横坐标，只计算横坐标之差
解 :设直 A:P y线 1k(x1)即ykxk1
4
2
24
y
kx
x 2 y
k 2
41x P x2kk12 x 2kP4 (k1120,(k x 12A )2)xPk
y
当直 k0A 时 线 :P 直 kx B y线 :P k 2 y 4 9 4 1 0k 1 直 (x B 2 3 线 ):即 P xyk y k14 9 xk 23k2 30 49
学会跳出圆锥曲线本身的限制，站在其他知识（向 量视角、三角视角、不等式视角、几何意义视角等）的 角度审视所面临的问题，或许会有一番别开生面的场景
解:易知点Q在以AB为直径的圆上, 过ABQ可作圆M, M是AB的中点
易得半径R =
2
, M(1, 2
5) 4
连接MP交圆于点C、D
|PA ||PQ ||PC||PD|
|
PQ
|
k 2 1 |x P x Q |k 2 1 | k 2 ( 2 k 2 4 k 1 )3 (k 1 2 )|
(k 1)2(k 1) k2 1
|P|A |P| Q (k 1 )3 (k 1 )
|记 P f(k |) Q |(A k 1 )3 |(k Q 1 |)A 1 | k P 1 |A|2 B |B|2 Q |A| P
B(
3 2
,
9) 4
你是用什么方法计算|PQ|？
( 1 , 2
1 4
)A
两点间的距离公式
O
(Px,
Q x2)
x
是不是方法出问题了？
若不用两点间距离公式计算长度，那该用什么呢？
|PQ | 1kP 2Q |xPxQ| |PQ ||A|Q |A|P |AB |2|BQ |2|AP |
若每次等到遇见困难时，才想寻求优化方案，可能很多同学 都已精疲力尽了，重新分析可能也很费时。是否在一开始分 析思路时，一同进行优化计算的思考呢？
Q y)或(x,
x2)
所以抛物线在点A处切线的斜率为-1
O
x
而kAB1 kAP(1, 1)
2017年浙江卷21题
如图, 已知抛物线 x2=y, 点A ( 1 , 1 ) , B ( 3 , 9 ) . 抛物线上的点
P(x,
y)(
1 2
x
3 2
),
24
24
过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1) 求直线AP斜率的取值范围；
4
2
24
y
kx
x 2百度文库 y
k 2
1 4
x2kx2k10 4
xAxPk
xP
k
1 2
P(k1,(k1)2) 22
y
当直 k0A 时 线 :P 直 kx B y线 :P k 2 y 4 9 4 1 0k 1 直 (x B 2 3 线 ):即 P xyk y k14 9 xk 23k2 30 49
“其实解题教学也应如此，入乎其内（分析理解为上），才 能够认识问题更多的细节，对其本质了若指掌；出乎其外
（跳出题意本身限制），或许能看到问题的不同方面，对其 产生更为全面的理解，甚至能够另辟蹊径”
——这大概就是圆锥曲线综合题的 “入题、破题”之道的真正意义所在
常听见这样的感叹：要是当初2018年 中国大 学毕业 生薪酬 排行榜 通过对 280多 万以及 多届毕 业生调 研后， 计算出 了各高 校毕业 生的薪 酬状况 。 虽然我们都知道名校毕业生的收入会普 遍比较 高，但 这份榜 单告诉 我们， 清华北 大毕业 生的月 薪，平 均近万 ，而普 通院校 的只有 两三千 。
(2) 求|PA|·|PQ|的最大值.
( 1 , 2
1 4
)A
分析：本题题干简洁，并没有错
B( 3 , 9 ) 24
P (x,
Q y)或(x,
x2)
综复杂的点线和几何关系. 但此题 第(1)问并没有按常规“出牌”，
O
x
不求圆锥曲线的方程而是求直线斜
率范围。
“看图识题”
2017年浙江卷21题
如图, 已知抛物线 x2=y, 点A ( 1 , 1 ) , B ( 3 , 9 ) . 抛物线上的点
(Px,
Q x2)
自问: 如何求？ 可利用两点间的距离公式直接求
O
x
第②步: 需分别求出点P, 点Q的坐标 自问: 如何求？
点P：直线AP与抛物线的交点 点Q：直线AP与直线BQ的交点
第③步: 需设直线AP 分别联立直线AP与抛物线方程, 直线AP与BQ方程求点P, 点Q的坐标
解 :设直 A:P y线 1k(x1)即ykxk1
1 4
)A
(xP,
Q y)或(x,
x2)
O
x
2
2
kAP(1, 1)
完成求解,可作再思考,若背景是“椭圆”之下呢?
发现 yP=f(xP) 就不甚简单了 则“所求对象”就不好表示了
2017年浙江卷21题
如图, 已知抛物线 x2=y, 点A ( 1 , 1 ) , B ( 3 , 9 ) . 抛物线上的点
面临一个巨大的挑战——计算问题
故而寻求简捷、合理的运算途径， 优化计算过程显得尤为重要
解 :设直 A:P y线 1k(x1)即ykxk1
4
2
24
y
kx
x 2 y
k 2
1 4
x2kx2k10 4
xAxPk
xP
k
1 2
P(k1,(k1)2) 22
当直 k0A 时 线 :P 直 kx B y线 :P k 2 y 4 9 4 1 0k 1 直 (x B 2 3 线 ):即 P xyk y k14 9 xk 23k2 30 49
“破题”之道
①若遇困境，切莫放弃，切中要害，寻求破解之法 ②学会在分析探索思路之时，适时预测所选方法所携带的计
算量问题，以便一入题即可寻求简捷、合理的运算途径 ③在分析转化时，尝试从不同角度、不同维度看，或许有一
番别开生面之景象
王国维在《人间词话》中说：
“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外”。
这就要求学会适时预测所选方法所携带的计算量问题
第①步: 要求|PA|·|PQ|, 应先求出|PA|，|PQ| 自问: 如何求？ 利用两点间的距离公式直接求 自问:计算量如何？ |A| B(x 1x 2)2(y 1y2)2公式形式比较繁琐 自问:若不选用“两点间的距离公式”计算， 有没有其它方法计算|PA|，|PQ|？ |P|A 1kP 2A |xPxA| |PQ | 1kP 2Q |xPxQ|
O
x
②“逆推法”,即“执果索因”.从结论入手逆向分析， “要求次需求何”不断逆推，探索出结论与条件的联系；
③“双管齐下”,即先“顺推”再“逆推”,找到交汇之处.
2017年浙江卷21题
如图, 已知抛物线 x2=y, 点A ( 1 , 1 ) , B ( 3 , 9 ) . 抛物线上的点
P(x,
y)(
(|M|C |M|P )(|M|D |M|P) y
x2=y
(R |M |)P (R |M |)P
C M
B(
3 2
,
9) 4
R2| MP|2
2[(x1)2(x25)2]
2
4
A
( 1 , 1)
(x,
xP2)
Q
D
24
O
x
x43x2x3 1 x 3
2
16 2
2
妙哉!!
“入题”之道
①审题之时，尽可能在图中表征出条件，以便看图即能识题 ②依题行事，求什么就列什么 ③理解为上，注重分析（“顺推、逆推、双管齐下”）
1 2
x
3 2
),
24
24
过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(2) 求|PA|·|PQ|的最大值.
y
x2=y
分析：对于此题第(2)问我们可选择
“逆向分析”(因本身已知条件简洁，没
什么可以转化).
第①步: 要求|PA|·|PQ|, 应先求出|PA|，|PQ|
( 1 , 2
1 4
)A
B(
3 2
,
9) 4
圆锥曲线综合题
“入题、破题”之道
以2017年浙江卷21题为例
2017年浙江卷21题
如图, 已知抛物线 x2=y, 点A ( 1 , 1 ) , B ( 3 , 9 ) . 抛物
线上的点P(x,
y)(
1
x
3
),
24
24
过点B作直线AP的垂线，
2
2
垂足为Q.
y
x2=y
(1) 求直线AP斜率的取值范围；
解 :设直 A:P y线 1k(x1)即ykxk1
4
2
24
y
kx
x 2 y
k 2
1 4
x2kx2k10
4 xAxPkxP
k
1 2
|P | A k 2 1 |x P x A |k 2 1 ( k 1 )
| AB|2 2
| BQ|| 2k2| k2 1
y
A
( 1 , 1) 24
O
|AQ | |AB |2|BQ |2
kx
y
x
ky
k 2 9 4
1 0 4
k 3 0 2
Q(k 2(2k24 k1 )3,
9k 42 (k 28 k1 )1)
两次计算挑战
|P| A(k1)2(k2k)2 k2 1(k1)
怕怕!! | PQ|
理论可行，现实有些残酷
来一场自我对话，寻求破题之道
y
面临的是何困难？
计算|PQ|
x2=y
kx
y
x
ky
k 2 9
k
1 4
3
0
0 Q(k 2(2k24 k1 )3,
9k 42 (k 28 k1 )1)
42
A
( 1 , 1) 24
O
|P| A(k1)2(k2k)2 k2 1(k1)
怕怕!! | PQ|
理论可行，现实有些残酷
x2=y
B
(
3 2
,
9) 4
(Px,
Q x2)
x
在解决圆锥曲线综合题时，能探索出解题思路，已 经跨出了很大一步，但是离最终的成功胜利却仍然
8
4(k k2
1)2 1
2(k 1) k2 1
|PQ ||AQ ||AP |2(k1) k21(k1) (k1)2(k1)
k21
k2 1
|P|A |P| Q (k 1 )3 (k 1 )
记 f(k)(k 1 )3(k 1 ) 1k1
x2=y
B(
3 2
,
9) 4
(Px,
Q x2)
x
|P| Q |A| Q |A| P |A|2 B |B|2 Q |A| P
P(x,
y)(
1 2
x
3 2
),
24
24
过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1) 求直线AP斜率的取值范围；
分析：从几何角度可直观确定“直
线AP的斜率”介于“抛物线在点A处切 线的斜率”与“直线AB的斜率”之间
y
x2=y
B(
3 2
,
9) 4
yx2
y 2x
则y'|x11
( 1 , 2
1 4
)A
2
(xP,
kx
y
x
ky
k 2 9 4
1 4
k
0 3 2
0
Q xQ( k 2 (2k k2(2 24 k k 21 4 )k13 ),39k 42 (k 28 k1 )1)
A
( 1 , 1) 24
O
x2=y
B(
3 2
,
9) 4
(Px,
Q x2)
x
|P| A(k k 2 1 1 )| 2x P ( k2 x A k | )2 k 2 k1 2 | k 1 (k1 | 1) k 2 1 ( k 1 )
4
2
24
y
kx
k 2
1 4
x2kx2k10
y
x 2 y
4 (k1)20k1
xAxP kxP
k
1 2
( 1 , 2
1 4
)A
1 2
xP
3 2
O
1k13 1k1 2 22
x2=y
B(
3 2
,
9) 4
(xP,
Q y)或(x,
x2)
x
2017年浙江卷21题
如图, 已知抛物线 x2=y, 点A ( 1 , 1 ) , B ( 3 , 9 ) . 抛物线上的点