最大公约数和最小公倍数
最大公约数与最小公倍数(正式)
最大公约数与最小公倍数基本概念：1、公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法A．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法（4）小数缩倍法（5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）大数翻倍法（4）a×b=（a,b）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例1、437与323的最大公约数是多少？LX1、24871和3468的最小公倍数是多少？例2、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
至少能剪块。
【分析】根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。
所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）解：（１）求90和42的最大公约数2 90 423 45 2115 7（90，42）＝60（2）求至少剪多少块正方形铁板90÷6＝1545÷6 ＝715×7＝105（块）至少可以剪105块正方形铁板。
最大公约数与最小公倍数应用
最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1:如果a、b两数的最大公约数为d,贝U a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4 X 6,54=9 X 6, （4,9 ）=1。
2、性质2:两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a x b=[a,b]x（a,b ）。
例如：（18, 12）= , [18 , 12]= （18, 12）X [18 , 12]=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
（运用性质2）练一练：甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
”例3已知a与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, c。
分析与解：因为12 , 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12 , 15]=60 的倍数。
再由[a , b , c]=120 知，a只能是60或120。
[a , c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a , b , c]=120=23 X3X5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公约数是21 ,最小公倍数是126 ,求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50 ,它们的最大公约数是5 ,求这两个自然数。
例5已知两个自然数的积为240 ,最小公倍数为60 ,求这两个数。
习题四1. 已知某数与24的最大公约数为4 ,最小公倍数为168 ,求此数。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数和最小公倍数1、如果一个自然数a能被自然数b整除，便称a是b的倍数，b是a的约数，几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个数，称为这几个数的最大公约数。
一般用(a,b)表示a，b的最大公约数。
如(6,9)=3，(6,8,12)=2。
2、几个数公有的倍数，称为这几个数的公倍数。
公倍数中除零以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
一般用[a,b]表示a、b的最小公倍数。
如[4,6]=12，[6,8,12]=24。
3、若(a,b)=1，称a、b互质。
4、最大公约数的性质：(1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。
即：如果(a,b)=d，c|d，那么c|a，c|b。
(2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。
即：如果(a,b)=d，那么(a÷d,b÷d)=1。
5、最小公倍数的性质：(1)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，即：如果(a,b)=d，[a,b]=m，则dm=ab，且d|m。
(2)如果一个数C能同时被两个（或几个）自然数a，b整除，那么C一定能被这两个（或几个）数的最小公倍数整除。
或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
6、最小公倍数与最大公约数的关系：ab=(a,b)×[a,b]或[a,b]=ab/(a,b)7、求最大公约数和最小公倍数通常可采用：列举法、分解质因数法、短除法。
经典例题：1.选择题（把正确答案的字母填在括号里）（1）两个数的（）个数是无限的。
A.公约数B.公倍数C.最大公约数D.最小公倍数（2）下列四组数中，两个数只有公约数1的数是（）。
A.13和91B.21和51C.34和51D.15和28（3）17是136和476的（）。
A.公约数B.公倍数C.最大公约数D.最小公倍数（4）有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有（）对。
高中数学中的最小公倍数与最大公约数求解方法
高中数学中的最小公倍数与最大公约数求解方法最小公倍数与最大公约数都是高中数学中必须要掌握的基础知识，这两个概念在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
在中学阶段，最小公倍数和最大公约数经常被用于解决各种数学问题，例如求解分数的通分和约分，解一元二次方程、不等式等。
本文将在探讨最小公倍数与最大公约数的定义和性质之后，介绍几种常见的求解方法。
1. 最小公倍数与最大公约数的定义和性质在介绍最小公倍数和最大公约数的求解方法之前，我们首先需要了解它们的定义和性质。
最大公约数，也称为最大公因数、公因数、最大公因子等，是指几个数中最大的公因数。
例如，数字 12 和 18 的最大公约数是 6，因为 12 和 18 都可以被 6 整除，而 6 是 12 和 18 的公因数中最大的一个。
如果几个数没有公约数，则它们的最大公约数为1。
最小公倍数是指几个数中最小的公倍数。
例如，数字 12 和 18 的最小公倍数是 36，因为 12 和 18 的倍数 36 是它们中最小的公倍数。
如果几个数没有公倍数，则它们的最小公倍数为0。
最大公约数和最小公倍数的性质有以下几点：1）最大公约数和最小公倍数都是正整数；2）最大公约数和最小公倍数是唯一的，也就是说，只有一个最大公约数和最小公倍数；3）最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公约数，即$lcm(a,b) = \frac{ab}{gcd(a,b)}$；4）如果 $a$ 和 $b$ 是整数，那么它们的最大公约数是能写成$ax+by$ 的最小正整数 $d$，其中 $x$ 和 $y$ 是整数。
2. 辗转相减法求最大公约数所谓辗转相减法，即用两个数的差去替代其中一个数，不断重复这个过程，直到两个数相等，此时的数就是它们的最大公约数。
具体的求解过程如下：1）取两个不为0的正整数 $a$ 和 $b$，其中 $a>b$；2）计算 $a-b$ 的值，并用这个值去替代 $a$；3）如果 $b$ 大于新的 $a$，就将 $b$ 和 $a$ 互换，这样可以保证 $a$ 始终大于等于 $b$；4）将新的 $a$ 和 $b$ 再次进行第二步计算，重复这个过程，直到 $a=b$ 为止，此时 $a$ 或 $b$ 的值就是最大公约数。
最大公约数最小公倍数的概念
最大公约数最小公倍数的概念在数学的世界里，有两个小家伙儿总是能让我们刮目相看，它们就是最大公约数和最小公倍数。
你知道吗？这两个词听起来可能有点儿吓人，但其实它们就像一对好朋友，常常一起出现在我们的生活中。
咱们今天就来聊聊它们，轻松愉快，让我们一起轻松搞定这两个家伙。
说到最大公约数，咱们可以把它想象成一位和善的老奶奶，总是愿意把她的好东西分享给大家。
比如说，咱们有两个数字，6和9。
它们的公约数就是可以同时被这两个数字整除的数。
要是你们都能整除，那它们就是朋友。
嗯，6的公约数有1、2、3、6，9的公约数有1、3、9。
对了，你猜它们的共同朋友是谁？没错，就是3！所以，3就是6和9的最大公约数。
这就像是两个人在一起玩耍，发现了共同的爱好，嘿，太棒了。
接着再说说最小公倍数，哦，这可是个精明的家伙！它就像是你身边那个总想让大家聚在一起的组织者。
最小公倍数是指能够被这两个数字同时整除的最小的数。
对于6和9来说，我们先列出它们的倍数。
6的倍数是6、12、18、24，而9的倍数是9、18、27。
你瞧，18是它们共同的倍数中最小的。
哇，这就像是大家一起出门聚会，最早到的那个小伙伴，大家都得等他，嘿！我们在生活中也经常遇到这两个概念。
比如说，咱们有两个班级，A班和B班，A班有24个人，B班有36个人。
如果要安排一个大联欢，想让每个班的人数都相等，最大公约数就是6。
因为6是可以整除这两个班人数的最大数。
而最小公倍数就是72，这样一来，咱们就可以安排12个A班的小朋友和6个B班的小朋友一起参与，这样才不会让他们挤在一起，场面可就乱了。
听着是不是有点儿无聊？但其实这两个家伙在生活中可重要了。
就拿做披萨来说，想让每个人都能吃到相同数量的披萨，你得用到最大公约数和最小公倍数。
就像你想做一个30块的披萨，大家想吃一样的份儿，最大公约数告诉你，分成6块是个不错的选择。
大家都有份，心情好，食欲也来啦！有时候你可能觉得数学就是那么枯燥无味，但其实它们就像一首有趣的歌，充满了旋律和节奏。
最大公约数与最小公倍数
第五讲 最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。
最大公约数:如果一个数既是数a 的约数，又是数b 的约数，称为[a,b]的约数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
1. 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。
例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。
2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。
3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a即为所求。
二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m ，能被n 整除（n/m ）,那么m 就是n 的倍数。
最大公约数和最小公倍数
最大公约数和最小公倍数最大公约数又叫最大公因数，是指两个或多个整数共有约（因）数中最大的一个。
例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。
最小公倍数是指两个或多个整数的公倍数里最小的那一个。
例如：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12。
最大公约数和最小公倍数区别有：
1、本质不同
最小公约数是几个数公有的最大约数，最大公倍数是几个数公有的最小倍数。
同一组数字中，最小公倍数是最大公约数的倍数。
2、概念不同
能够整除一个整数的整数称为其的约数（如5是10约数）；几个自然数公有的约数，为他们的公约数，其中最大一个，为这几个自然数的最大公约数能够被一个整数整除的整数称为其的倍数（如10是5的倍数）；两个或多个整数的公倍数里最小的那一个为它们的最小公倍数。
最小公倍数和最大公约数的关系证明
最小公倍数和最大公约数的关系证明
首先，我们需要知道最大公约数和最小公倍数的定义。
最大公约数是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数，而最小公倍数是指能够被两个或多个整数同时整除的最小正整数。
假设有两个整数a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为l。
那么有以下的关系式：
a = m * d
b = n * d
l = k * d
其中，m和n为整数，且m、n与d互质，k为整数。
这个关系式可以用辗转相除法证明。
我们先来证明a和b的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的乘积。
根据定义，我们有：
a *
b = (m * d) * (n * d) = m * n * d * d
l * d = k * d * d
因为m、n与d互质，所以m * n与d互质。
因此，k = m * n。
那么有：
a *
b = m * n * d * d = k * d * d = l * d
因此，我们证明了a和b的乘积等于它们的最大公约数和最小公倍数的乘积。
接下来，我们来证明a和b的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数。
我们有：
l = k * d = (m * n) * d
a *
b = m * n * d * d = l * d
因此，我们可以得到：
l = a * b / d
这就证明了a和b的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数。
综上所述，最小公倍数和最大公约数之间存在以下的关系：a和b的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数。
第2讲最大公约数与最小公倍数
第二讲 最大公约数与最小公倍数一 基础知识与典型例题知识点1.约数与倍数:若|b a ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数.知识点2.最大公约数：设c b a ,,, 是（有限个）不全为零的整数，则同时整除c b a ,,, 的整数叫做它们的公约数，非零整数的约数有有限个，故c b a ,,, 的公约数有有限个，其中必有一个最大的，我们称它为c b a ,,, 的最大公约数.记为()c b a ,,.例1.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数.知识点 3.最小公倍数:同时是c b a ,,, 的倍数的整数称为它们的公倍数,最小的正的公倍数叫做最小公倍数,记为[]c b a ,,, .知识点4.素数与合数：一个大于1的整数m ，如果它仅有1和m 这两个约数，则称m 是素数（或质数）；如果它除了1和m 之外还有其他的约数，即m 可表示为b a ⋅的形式,则称m 是合数.1既不是素数，也不是合数.知识点5.素数的性质：(1) 大于1的整数必有素因子(2) 素数与合数都有无数个(3) 既为偶数又为素数的正整数只有一个,它就是2.(4) 设p 为素数,n 是任意整数,则或者n p ,或者()1,=n p(5) 若p 是素数，且|p ab ，则|p a 或|p b ；(6) 若p 是素数，且p ab =，则p a =或p b =；例2.求所有这样的素数,它既是两素数之和,同时又是两素数之差.例3.求三个素数,使得它们的积为和的5倍.例4.设p 是素数，整数z y x ,,满足p z y x <<<<0，若333,,z y x 除以p 的余数相等. 证明：222z y x ++可以被z y x ++整除.知识点 6.欧几里得算法:设b a ,为整数,0>b ,按下述方式反复作带余除法,有限步之后必然停止(即余数为零):用b 除a 得:b r r bq a <<+=0000,;用除b 得:011100,r r r q r b <<+=;用1r 除0r 得:1222100,r r r q r r <<+=;…用1-n r 除2-n r 得:1120,---<<+=n n n n n n r r r q r r ;用n r 除1-n r 得:0,1111=+=+++-n n n n n r r q r r ;则()()()()n n n r r r r r r b b a =====+1100,,,, .特殊的:若r bq a +=,则()()r b b a ,,=.即()()bq a b b a -=,,.知识点7.裴蜀等式设b a ,是整数,且()b a d ,,则()d b a =,的充要条件是存在整数v u ,,使得d vb ua =+. 例5.求下面各组数的最大公约数.(1)36,138==b a ;(2)1859,1573a b ==;(3)108,72,48321===a a a ; 例6.设n 是正整数,证明:(1)()1314,421=++n n ;(2)()()11!1,1!=+++n n知识点8.最大公约数和最小公倍数的性质:(1) a 和b 的任一公约数都是它们最大公约数的约数.a 和b 的任一公倍数都是它们最小公倍数的倍数.(2) 若|b a ，则(,)a b b =，[,]a b a =.(3) +∈N m ,则()()b a m bm am ,,=,[][]b a m bm am ,,=.(4) 若n 是b a ,的公约数，则(,)(,)a ba b n n n =，[,][,]a b a b n n n=. (5) 设n a a a ,,,21 是任意n 个正整数.① 如果()()()n n n c a c c a c c a a ===-,,,,,,1332221 ,则()n n c a a a =,,,21 . ② 如果[][][]n n n m a m m a m m a a ===-,,,,,,1332221 ,则[]n n m a a a =,,,21 .(6) 对任意的正整数,a b ,()[]ab b a b a =,,,若()1,=b a ,则[]ab b a =,.(7) 若|a bc ，且(,)1a b =，则|a c . (8) 若|a c ，|b c ，且(,)1a b =，则|ab c .(9) 若()1,=b a ,则()()b c b ac ,,=. (10) 若[,]a b m =，则(,)1m m a b=. (11) 若b a ,均与m 互素,则ab 也与m 互素.一般的,如果n a a a ,,,21 均与m 互素,则n a a a 21也与m 互素.例7.已知()[]144,,6,==b a b a ,求b a ,.例8．数列1001,1004,1009的通项是10002+=n a n ,其中+∈N n ,对每一个n ,用n d 表示n a 与1+n a 的最大公约数,求n d 的最大值,其中n 取一切正整数.例9.正整数a 和b 互素,证明:b a +与22b a +的最大公约数等于1或2.例10.两数之和为667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120,求这两个数. 例11.若在各项都是正整数的数列{}i a 中,对于任何j i ≠,都有()()j i a a j i ,,=. 证明:对一切N i ∈,都有i a i =.知识点9. 因数分解定理（算术基本定理）：每个大于1的正整数均可分解成有限个素数的积,如果不计素因数在乘积中的次序,则其分解方式是唯一的.即k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.知识点10.n 的约数的标准分解：设n 的标准分解为: k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.则正整数d 是n 的约数的充分必要条件是:其标准分解为: k k p p p d βββ 2121=,其中k i i i ≤≤≤≤1,0αβ.知识点11.n 的正约数的个数及正约数的和记:()n r 表示n 的正约数的个数, ()n δ表示n 的正约数的和,且k k p p p n ααα 2121=,则有:()()()()11121+++=k n r ααα ,()111111121211121----⋅--=+++k k p p p p p p n k αααδ 知识点12.n 为完全平方数的充要条件是()n r 为奇数.知识点13.n ！的标准分解:设α是n ！的标准分解中出现的p 的幂,则∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=α1i i p n由于当m p i >时,0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡i p n ,所以上式中的和只有有限多个项不为零. 例12.求自然数N ,使它能被5和49整除,并且包括1和N 在内,它共有10个约数.例13.数20！有多少个正整数的因数?二 巩固练习1.若12+n是质数)1(>n ,则n 是2的方幂.2.求正整数b a ,.使得()[]144,,24,,120===+b a b a b a .3.证明：若n 是正整数，则()1314,421=++n n .4.设c b a ,,是正整数,证明:[]()abc ca bc ab c b a =⋅,,,,.5. 设b a ,是正整数，证明：()[][]b a b a b a b a +⋅=⋅+,,. (,)(,)(,).a b a a b b a b +=+=提示：6.写出51480的标准分解式.7.求!12,!15,!20的标准分解式.。
最小公倍数和最大公约数的关系证明
最小公倍数和最大公约数的关系证明最小公倍数和最大公约数是数学中非常重要的概念。
它们是两个相反的概念，一个是求得两数中的最大公约数，一个是求得两数中的最小公倍数。
但是，它们之间存在一种神奇的关系，即最小公倍数等于两数的乘积除以最大公约数。
这个定理可以用以下方法来证明。
假设a和b是两个正整数，它们的最大公约数为d，那么我们可以将a和b表示为a=dx，b=dy，其中x和y互质（如果x和y不互质，则a、b还可以被它们的公因数整除，这样就可以继续约束它们的最大公约数）。
现在，让我们来证明a和b的最小公倍数等于dxy。
我们首先要证明dxy是a和b的公倍数。
根据前面的表述，a和b都可以被d整除，即它们都是d的倍数。
这意味着a和b都可以表示为d的倍数和x或y的积，即a=d*x和b=d*y。
那么dxy就是a和b的公倍数。
因为d*x和d*y都是dxy的因数，所以dxy整除a和b。
现在，我们要证明dxy是最小公倍数。
让我们假设z是a和b的另一个公倍数。
那么z 肯定可以表示为z=m*a=n*b的形式。
因为a=d*x，b=d*y，所以我们可以把z表示为z=m*dx=n*dy。
我们可以把m*dx=n*dy的左边乘以y，右边乘以x，这样我们得到了my*dx=nx*dy。
因为x和y互质，所以my和nx都必须是d的倍数。
我们可以把它们写成my=d*p和nx=d*q的形式，这样我们得到了pqxy=mn。
因为x和y互质，所以研究x和y的乘积和其他数字没有什么关系。
我们可以仅仅考虑p和q的关系。
我们知道p和q都是mn的因数。
因为pqxy=mn，所以xy也是mn的因数。
但是x和y互质，所以xy是mn的最小公倍数。
因此，任何一个公倍数z都必须至少包含一个mn的因数，这就说明了dxy至少是一个公倍数，它必须是最小的公倍数。
因此，我们可以总结出最小公倍数为dxy，即两数的乘积除以它们的最大公约数。
最大公倍数和最小公因数概念
最大公约数和最小公倍数一、最大公约数1. 最大公约数的定义：最大公约数，也被称为最大公因数，是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
例如，12和15的最大公约数是3。
2. 最大公约数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果gcd(a, b)存在，那么gcd(a, b)是唯一的。
（2）如果a和b都是合数，那么gcd(a, b)可能大于1。
（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。
即：a ×b = gcd(a, b) ×lcm(a, b)。
3. 最大公约数的求法：（1）辗转相除法：这是求最大公约数的一种常用方法。
它是通过不断将较大的数除以较小的数，同时记录余数，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。
例如，用辗转相除法求12和15的最大公约数：15÷12=1…3，12÷3=4…0，所以最大公约数是3。
（2）欧几里得算法：这是一种基于辗转相除法的更高效的算法，可以在对数时间内计算出最大公约数。
它的基本思想是：对于任意两个非负整数a和b，如果b是0，那么a就是最大公约数；否则，最大公约数就是a对b的余数和b的最大公约数。
例如，用欧几里得算法求12和15的最大公约数：gcd(12, 15)=gcd(15, 12%15)=gcd(15,3)=gcd(3, 0)=3。
二、最小公倍数1. 最小公倍数的定义：最小公倍数，也被称为最小公因数，是指两个或多个整数共有的倍数中最小的一个。
例如，6和9的最小公倍数是18。
2. 最小公倍数的性质：（1）对于任何两个非零整数a和b，如果lcm(a, b)存在，那么lcm(a, b)是唯一的。
（2）如果a和b都是合数，那么lcm(a, b)可能大于它们的最大公约数。
（3）如果a和b互质，即它们的最大公约数为1，那么它们的乘积可以表示为它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。
最大公约与最小公倍
二、最小公约数和最小公倍数1、公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公．．．约数．．。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公约数有：1，2，3，6。
其中6是12和18的最大公约数，记做（12，18）＝6。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公．．．倍数．．。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，90，…；18的倍数有：18，36，54，72，90，108，…。
12和18的公倍数有：36，72，90，…。
其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
3、互质数如果两个数的最大公约数为1，那么这两个数叫做互质数．．．。
二、最大公约数与最小公倍数最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：（8，12）=4，（6，9，15）=3。
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：[8，12]=24，[6，9，15]=90。
求最大公约数的方法：1．分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：231=3×7×11，252=22×32×7，所以（231，252）=3×7=21；2．短除法：先找所有共有的约数，然后相乘。
例如：（12，18）=2×3=6 ；3．辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。
最大公约数与最小公倍数的应用
最大公约数与最小公倍数的应用1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6, 24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。
例如：（18，12）= 6，[18，12]=36 （18，12）×[18，12]=36×6=216 3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
练一练：1、甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。
2、例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
练一练已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
练一练：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？例6、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
至少能剪多少块？练一练三根铁丝，长度分别是120厘米，180厘米，300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？例7：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？练一练有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。
如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？例8 38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。
最大公倍数和最小公约数的公式
最大公倍数和最小公约数的公式
最大公倍数和最小公约数是数学中常见的概念，它们是用来描述两个或多个数之间的关系。
最大公倍数是指两个或多个数的公共倍数中最大的那个数，而最小公约数是指两个或多个数的公共约数中最小的那个数。
最大公倍数和最小公约数可以用以下公式进行计算：
设a和b为两个正整数，它们的最大公约数为g，最小公倍数为l，则有：
l = a*b/g
g = gcd(a,b)
其中gcd(a,b)表示a和b的最大公约数。
通过这些公式，我们可以很方便地计算出两个或多个数的最大公倍数和最小公约数，从而更好地理解它们之间的关系。
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如何求最大公约数和最小公倍数
如何求最大公约数和最小公倍数
1、分解素因数法：把每个数分别分解素因数，再把各数中的全部公有素因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数；先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积。
2、短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数；把数字依次相乘，最小公倍数等于它们所有因数的乘积。
最小公倍数 最大公约数 主要定理
最小公倍数最大公约数主要定理
最小公倍数是指两个或多个数中能够同时整除的最小的正整数。
求最小公倍数的方法可以使用素因子分解法或者列举法。
最大公约数是指两个或多个数中能够同时整除的最大的正整数。
求最大公约数的方法可以使用素因子分解法、辗转相除法或者欧几里得算法。
主要定理是指质因数分解定理，它指出任何一个大于1的自然数都可以唯一地表示为几个质数的乘积。
因此，如果要求两个数的最小公倍数或最大公约数，只需将两个数分别质因数分解，然后取公共质因数的乘积得到最大公约数，取全部质因数的乘积得到最小公倍数。
求最大公约数和最小公倍数
求最⼤公约数和最⼩公倍数 最⼤公约数（greatest common divisor，简写为gcd。
最简单的是求2个整数的最⼤公约数。
常见的算法是辗转相除法。
辗转相除法，⼜称欧⼏⾥得算法。
结果为⾮零的除数即为最⼤公约数。
原理及其详细证明 设两数为a、b(b<a），⽤gcd(a,b）表⽰a，b的最⼤公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。
第⼀步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc 第⼆步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c第三步：根据第⼆步结果可知c也是r的因数第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最⼤公约数成为cd，⽽⾮c】从⽽可知gcd(b,r)=c，继⽽gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。
⾮递归算法如下：int gcd(int m,int n){if(m<n) //m为最⼤的{int tmp=m;m=n;n=tmp;}if(n==0)return m; //除了0以外的所有⾃然数都是0的约数。
while(n!=0){int tmp=m%n;m=n;n=tmp;}return m;}要考虑0 的约数问题。
看定义：整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数⽽没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
a叫b的倍数，b叫a的约数（或因数）。
从这个来看0可以任何⾮0⾃然数的倍数，递归算法：int gcd2(int m,int n){if(m<n){int tmp=m;m=n;n=tmp;}if(n==0)return m; //这个很关键elsereturn gcd(n,m%n);}gcd(6,4) | gcd(4,2) | gcd(2,0) | n==0,返回2 ，程序最终返回2 欧⼏⾥德算法是计算两个数最⼤公约数的传统算法，⽆论从理论还是从实际效率上都是很好的。
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最大公约数和最小公倍数
1、老师将301本笔记本，215支铅笔和86块橡皮分给班里同学，每个同学得到的笔记本、铅笔、橡皮的数量相同，那么，每个同学各拿到多少？
2、两个合数的积是5766，它们的最大公约数是31，那么这两个数是多少？
3、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是多少？
4、全体同学列队，无论他们人数相等地分成2队，3队，4队，5队，6队，7队，8队，9队，都会多出1人，那么该校至少有多少名学生？
5、写出三个小于10的自然数，使这三个数中有两个数的最大公约数为1，其余的最大公约数大于1。
6、甲数为24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公约数为4，乙数是多少？
7、现有4个自然数，他们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能地大，那么这四个数的最大公约数是多少？
8、设A、B两个数都只含有质因数3和5，他们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和是多少？
9、写出20以内的三个自然数，使他们的最大公约数是1，且其中任意两个数都不互质。
10、有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米，已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，几分钟后三人可以相遇？
11、有一块长方形土地，长2430米，宽1686米，要划成面积相等的正方形土地，最少能划成几块？
12、一箱机器零件，每个零件的重量相等，且都是超过1的整千克数。
不算箱子，零件净重343千克，拿出几个零件后，剩下的净重301千克，一个零件的重量是几千克？
13、动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果只分给第一群，则每只猴子可得12粒，如果只分给第二群，则每只猴子可得15粒，如果只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？
14、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍，4倍，3倍，2倍。
”爷爷和小明现在分别是几岁？
图形的面积计算
1、如图所示，三角形ABC的面积为1，并且A E=3AB，B D=2 BC，那么，三角形B D E的面积是多少？
2、如图所示，在三角形ABC中，B D=1 / 3 BC，三角形ABC的面积是1平方厘米，那么三角形A D C的面积是多少平方厘米？
3、如图所示，在三角形ABC中，A D=1 / 3 AB，B E= EF= F C，C G=
1 / 3 C A，阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？
4、如图所示，B D=1 / 3 BC，三角形ABC的面积是48平方厘米，
A C=16厘米，A E=11厘米，三角形A D E的面积是多少？
5、如图所示，A E=1 / 5AC，CD=1 / 4 BC，B F=1 / 6AB，求三角形
DEF与三角形ABC的面积之比。
6、如图所示，把三角形ABC的B A边延长1倍到D点，AC边延长3倍到F点，C B边延长2倍到E点，连接DE、EF、F D，得到三角形DEF，它的面积是54平方厘米，三角形ABC的面积是多少？
7、如图所示，设BD、DE、E C的长分别是2、4、2，F是线段A E的中点，三角形ABC的边BC上的高为4，求三角形DEF的面积。
8、如图所示，三角形ABC的面积是1，A E= E D，BD=2 /3 BC，求阴影部分的面积。
9、如图，ABCD是平行四边形，三角形E AB是直角三角形，AB=80米，E B=70米，阴影部分比三角形EFH的面积大120平方米，则
H B长多少米？
10、如图，两个正方形地块，边长分别是80米和40米，那么阴影部分的面积是多少平方米？
11、如图，在三角形ABC中，CD=2 BD，CE=3 AE，阴影部分的面积是20平方米，那么三角形A B D与E CD的面积之和是多少？
12、如图，已知正方形甲的边长是50米，正方形乙的边长是40米，则图中阴影部分的面积是多少平方米？。