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杭高2010学年第一学期期末考试

高二数学试卷(文科)

注意事项：

1．本卷考试时间90分，满分100分．

2．本卷所有答案必须答在答题卷上，否则无效．不能使用计算器． 一、选择题

1．已知复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，若||5z =，则1

z

的虛部是( ) A ．13

-

B ．13

i -

C ．15

i -

D ．15

-

2．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+

a

f x x x

在区间(1，2)上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是

( )

A ．01<≤a

B ．12≤

C ．02≤≤a

D ．012<<≥或a a

3．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题： ①若;,//m l ⊥则βα②若;//,βα则m l ⊥③若;//,m l 则βα⊥ ④若.,//βα⊥则m l

其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③④ D ．①②④

4．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是( )． A ．1

B ．2

C ．21

D ．2

1

5．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为(球的表面积为2

π4R S =)( ) A ．π28

B ．π8

C ．π24

D ．π4

6．2m =-是直线(2)30m x my -++=与直线30x my --=垂直的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．非充分也非必要条件

7．若圆2

2

1x y +=和2

2

4470x y x y ++-+=关于直线l 对称，则l 的方程是( ) A ．0=+y x B ．02=-+y x C ．02=--y x

D ．02=+-y x

8．若双曲线过点0m n n m >>(，)()，且渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上

B ．在y 轴上

C ．在x 轴或y 轴上

D ．无法判断是否在坐标轴上

9．对于R 上的可导的任意函数)(x f ，若满足,0)(')(≥-x f a x 则必有( ) A ．)()(a f x f ≥ B ．)()(a f x f ≤ C ．)()(a x f >

D ．)()(a f x f <

10．已知函数f x ()的导函数2f x ax bx c '

=++()的图象如右图，则f x ()的图象可能是( )

二、填空题

11．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =__________．

12．设12cos x A x +

=成立，可得2212cos 2x A x +=，331

2cos3,,x A x +=由此推得1

()n n x n x

+∈=*N ____．

13．如图(1)，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的

中点，将AEF ∆沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得

到图(2)．则三棱锥BC A F '-的体积为___________．

14．A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使2

OPA π

∠=,

则椭圆离心率的范围是______________________． 15．有下列命题：

①0x =是函数3y x =的极值点；

②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是___________． 三、解答题

16．(本题满分10分)

直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，

O 90,2,BAC AB AC ∠===122,AA E F =、

分别是1BC AA 、的中点.求： (Ⅰ)FE 与底面所成角的大小；

(Ⅱ)异面直线EF 和1A B 所成角的大小.

17．(本题满分10分)已知函数()2

2f x x x =-，()2g x ax =+，其中0a >．

(Ⅰ)对[]1,2x ∀∈-，有()()2f x g x <+成立，求正数a 的取值范围．

(Ⅱ)对[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使()()10g x f x =，求正数a 的取值范围．

18．(本题满分10分)

在平面直角坐标系xoy 中，以C (1，—2)为圆心的圆与直线3210x y +++=相切． (Ⅰ)求圆C 的方程；

(Ⅱ)是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，

若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

19．已知函数3211()(,)32

a f x x x bx a a

b +=

-++∈R ，其导函数()f x '的图象过原点. (Ⅰ)当1a =时，求函数()f x 的图象在3x =处的切线方程； (Ⅱ)当0a >时，确定函数()f x 的零点个数.

20．已知抛物线C 的方程为y x 42

=，直线2=y 与抛物

线C 相交于N M ,两点，点B A ,在抛物线C 上. (Ⅰ)若,AMN BMN ∠=∠求证：直线AB 的斜率为