2021届全国学海大联考新高考模拟考试(七)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟考试（七）
文科数学
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合{
}
2
|560,{|22}A x x x B x x x Z =+-<=-<<∈且，则A B =（ ）
A. (2,1)-
B. {5,4,3,2,1,0}-----
C. {1,0}-
D. (1,0,1)-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先分别化简集合A ，B ，再求交集即可.
【详解】因为2
{|560}{|61}A x x x x x =+-<=-<<，
{|22}{1,0,1}B x x x Z =-<<∈=-且，
所以{1,0}A B ⋂=-. 故选：C
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了一元二次不等式，属于简单题. 2.已知()121i z i -=+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）
A.
5
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数除法运算计算得到z ，根据模长定义可求得结果. 【详解】
()121i z i -=+，()()()()11211313121212555
i i i i z i i i i +++-+∴=
===-+--+，
5z ∴==. 故选：A .
【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数除法运算计算得到复数，属于基础题. 3.已知3
413
log 3,4,ln 4
a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a <<
C. b c a <<
D. c a b <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性可确定临界值，从而比较出大小.
【详解】1
34443ln ln10log 1log 3log 41444
<==<<==<，c a b ∴<<.
故选：D.
【点睛】本题考查比较指数和对数的大小关系的问题，关键是熟练应用指数函数和对数函数的单调性确定临界值，属于基础题.
4.已知向量()2,3AB →
=，()3,AC t →
=，且AB →与BC →
夹角不大于2
π
，则t 的取值范围为（ ） A. 7,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
B. 7,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C. 79,32⎛⎫
⎪⎝⎭ D. 9,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出cos θ，根据夹角的范围知0cos 1θ≤≤，由此构造不等式求得结果.
【详解】由题意得：AB →
=
=
BC AC AB →→→
=-=
37AB BC AB AC AB t →→→
→→
⎛⎫
⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭
，
设AB →与BC
→
夹角为θ，则
cos AB BC AB BC
θ→→
→
→
⋅==
⋅，
02
π
θ≤≤
，0cos 1θ∴≤≤
，即
01
≤
≤，
()()22370131337t t t -≥⎧⎪∴⎨⎡⎤+-≥-⎪⎣
⎦⎩，解得：73t ≥，即t 的取值范围为7,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：B .
【点睛】本题考查根据向量夹角的范围求解参数范围的问题，关键是熟练应用向量的坐标运算和向量夹角公式；注意两个向量所成角的范围为[]0,π.
5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗（ ） A.
14
7
B.
127
C.
107
D.
87
【答案】B 【解析】 【分析】
根据羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列和总赔偿数，可构造方程分别求得羊主人和牛主人赔偿的斗数，进而得到结果.
【详解】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为2，设羊主人赔偿x 粟， 则244x x x ++=，解得：47
x =
；
∴羊主人赔偿4
7
粟，牛主人赔偿
416
4
77
⨯=粟，∴牛主人比羊主人多赔偿
16412
777
-=粟.
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列的实际应用，属于基础题.
6.以双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
E a b
a b
-=>>
的一个焦点(),0F c为圆心，2c为半径的圆与E的渐近线相切，则
E的离心率等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据以F为圆心，以
2
c
2
c
=，整理化简即可得结果．
【详解】由已知双曲线的渐近线为
b
y x
a
=±，选取其中一条计算，即0
bx ay
-=，
由F点到渐近线0
bx ay
-=的距离d b
==得
2
c
b
=，
故有22222
444
c b c c a
=⇒=-，解得
3
c
a
=
即离心率e=
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，关键是要找到,,
a b c之间的等量关系，是基础题.
7.某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（）
A. 1260
B. 1230
C. 1200
D. 1140
【答案】D
【解析】
【分析】
由分层抽样方法列方程求解即可．
【详解】设女生总人数为：x 人，由分层抽样的方法可得： 抽取女生人数为：804238-=人， 所以
8038
2400x
=，解得：1140x = 故选D
【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．
8.已知直线a 、b ，平面α、β，且//,a b a β⊥，则//b α是αβ⊥的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据线面平行、线面垂直和面面垂直的性质和判定定理，结合充分必要条件的定义，即可得出结论. 【详解】若//,,a b a αββ⊥⊥，如果b α⊂，则//b α不成立； 若//,,//a b a b βα⊥，过b 做一平面γ，且l γα⋂=， 则//,//,,,b l a l l l βααβ∴∴⊥⊂∴⊥.
所以当//,a b a β⊥时，//b α是αβ⊥的充分不必要条件. 故选：A .
【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，涉及到空间线、面位置关系，熟记有关判定和性质定理是解题的关键，属于基础题. 9.将函数()sin (0)2x f x ϕϕπ⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
的图像向右平移23π个单位长度后得到函数()g x 的图像，且()g x 的图像关于点(),0π对称，则ϕ=（ ）
A.
6
π B.
3
π
C.
23
π D.
56
π 【答案】D
【解析】 【分析】
由题得()g x =1
sin()2
3x πϕ=-
+，根据题意得sin()06π
ϕ+=，0ϕπ<<，可得选项. 【详解】由题得()g x =121sin[()]sin()2323
x x ππ
ϕϕ-
+=-+， 因为()g x 的图象关于点(),0π对称，所以1sin()023ππϕ⨯-+=，sin()06
π
ϕ+=，所以
,6
k k Z π
ϕπ+=∈，
因为0ϕπ<<，所以ϕ=56
π. 故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24n n S a m =+，且数列{}n na 的前6项和等于321，则m 的值等于（ ） A. 1- B. 2-
C. 1
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知，1n =时，求出1a ，2n ≥由1n n n a S S -=-，得出数列{}n a 的递推关系，进而求出{}n a 的通项公式，结合已知建立m 的方程，求解即可.
【详解】依题意，当1n =时，1111224,2
m S a a m a ==+∴=-， 当2n ≥，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-∴=， 若0,0n m a ==，则数列{}n na 的前6项和等于0，不合题意，
10,0,
2n
n n a m a a -∴≠≠=，所以数列{}n a 是以2
m -为首项， 公比为2的等比数列，1
2222
n n n m a m --=-=-⋅， 数列{}n na 的前6项和为 12345623456a a a a a a +++++
1(26164096)2m =-+++++3213212
m =-=
2m ∴=-.
故选：B .
【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项公式的关系，注意对参数m 的的分类讨论，考查计算求解能力，属于中档题.
11.已知直线:0()l kx y k k R --=∈与抛物线2
1:22C y px p ⎛
⎫
=>
⎪⎝
⎭
相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 为（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
【答案】C 【解析】 【分析】
直线l 方程与抛物线方程联立，根据根与系数关系，得到,A B 两点纵坐标关系，结合抛物线方程得出横坐标关系，进而求出0OA OB ⋅<，即可得出结论.
【
详解】直线:0()l kx y k k R --=∈与抛物线2
1:22C y px p ⎛⎫
=> ⎪⎝
⎭
相交于A ，B 两点， 所以0k ≠，将直线方程化为11,x my m k
=+=
， 联立212x my y px
=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2
220y pmy p --=，
22480p m p ∆=+>，设112212(,),(,),2A x y B x y y y p =-，
22
1212121211,120,()222
y y x x OA OB x x y y p p p p =⋅=⋅=+=-<>，
所以AOB ∠为钝角，故AOB 钝角三角形.
故选：C.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，并利用向量数量积的正负判断角的类型，要注意抛物线二级结论的总结，如直线过(2,0)p 点与抛物线()2
20y px p =>交于,A B 两点，则有OA OB ⊥，而直线过定
点(1,0)是在(2,0)p 的左侧，则有AOB ∠为钝角，即刻得出结论，提高解题效率，属于中档题. 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()2f x x =-，设函数
()|2|(26)x g x e x --=-<<，则()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和等于（ ）
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得，函数()f x 和()g x 的图象都关于直线2x =对称，据此画出它们的图象即可求出答案． 【详解】解：∵定义在R 上
的
偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-， ∴函数()f x 的图象关于直线2x =和y 轴对称， 而函数()|2|
(26)x g x e
x --=-<<的图象也关于直线2x =对称，
当(]
2,2x ∈-时，()2
x g x e -=，
先画出函数()f x 和()g x 在(]2,2-上的图象，再根据对称性得到()2,6-上的图象如图，
由图可知，函数()f x 和()g x 在()2,6-上的图象共有2个交点，且关于直线2x =对称， ∴函数()f x 和()g x 的图象所有交点横坐标之和为224⨯=， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.随着养生观念的深入，国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高．吃烧烤的人数日益减少，烧烤店也日益减少．某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计，具体统计数据如下表： 年份
2015 2016 2017 2018 2019 年份代号（t ）
1
2 3 4 5 盈利店铺的个数（y ） 260
240
215
200
180
根据所给数据，得出y 关于t 的回归方程273y bt =+，估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______． 【答案】165 【解析】 【分析】
根据回归方程必过中心点(,)t y ，求出
b ，再代入6t =可求得答案. 【详解】t =
1234535
++++=,260240215200180
2195y ++++=
=, 由273y bt =+，则219=3273b +，得b =18-，故18273y t =-+， 令6t =，得y =165. 故答案为：165
【点睛】本题考查了回归方程相关知识，应用回归方程必过中心点求得回归方程是解决问题的关键.
14.若变量x 、y 满足约束条件20
0220x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-+≥⎩
，则函数2z x y =+的最小值等于_______．
【答案】32
- 【解析】 【分析】
首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义即可得到答案. 【详解】不等式组表示的可行域如图所示：
根据2z x y =+得到2y x z =-+，
z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.
20220x y x y +=⎧⎨
-+=⎩，解得1
12x y =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
，即1(1,)2B -. 当函数2z x y =+经过1
(1,)2
B -时，z 取得最小值.
min 3
2
z =-.
故答案为：32
-
【点睛】本题主要考查线性规划问题，理解目标函数表示的几何意义为解题的关键，属于简单题. 15.
已知函数())f x x a =++，且()1ln 3ln 13f f ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
，则a =_________． 【答案】12
【解析】 【分析】
利用()()2f x f x a -+=，再根据1
ln 3ln 3
-=，即可得到答案；
【详解】
()()))2f x f x x a x a a -+=+++=，
1
ln 3ln 3-=，∴()()()1ln 3ln ln 3ln 3213f f f f a ⎛⎫
+
=+-== ⎪⎝⎭
， ∴12
a =
， 故答案为：
12
. 【点睛】本题考查对数运算法则和函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
16.如图，在边长等于2正方形ABCD 中，点Q 是BC 中点，点M ，N 分别在线段,AB CD 上移动（M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//BC MN ，沿着MN 将四边形AMND 折起，使得面AMND ⊥面MNBC ，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为________；当三棱锥D MNQ -体积最大时，其外接球的表面积为________．
【答案】 (1).
13
(2). 5π 【解析】
【分析】 （1）依题意设设AM DN x ,则2MB NC x ,利用椎体体积公式列式,再根据二次函数可得出最大值. （2）依题意建立如图空间直角坐标系,列出各点的坐标,设球心坐标, 根据球心到各点距离等半径求球心坐标,即可得出半径,最后求出三棱锥的外接球面积.
【详解】依题意设AM DN x ,则2MB NC x ,
因为//MN AD ,所以DN MN ⊥,又面AMND ⊥面MNBC ，面AMND ⋂面MNBC MN =，所以DN ⊥面MNBC ，
所以DN 是三棱锥D MNQ -的高，
所以三棱锥D MNQ -的体积()()11112223323D MNQ MNQ V DN S x x x x -=
⨯⨯=⋅⋅⨯⨯-=⋅⋅-， 当1x =时，D MNQ V -有最大值13
， （2）由（1）知道三棱锥D MNQ -体积取得最大值时, 1x =，
折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：所以()0,0,0N ,()2,0,0M ,()0,0,1D ,()1,1,0Q ， 设三棱锥D MNQ -外接球的球心为(),,O x y z ，R ON OM OD OQ ∴====
()()()()222222
2222222222222111x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧++=-++⎪⎪++=++-⎨⎪++=-+-+⎪⎩
， 解1012x y z ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩,所以222151022R ON ， 外接球面积为254454
S
R . 故答案为：5π.
【点睛】
本题利用函数求解三棱锥的体积,考查函数最值的求法；还考查三棱锥外接球的体积,解决此类题需要有良好的空间想象力，属于难度题.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足1cos 2a c B b =+
． （1）求角C 的大小；
（2）若7a b +=，ABC 的面积等于3
3c 边长． 【答案】（1）
3
π（213【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理可化边为角，利用三角恒等变换即可；
（2）由面积公式可求得ab ，联立7a b +=求出,a b ，利用余弦定理即可求出c .
【详解】（1）由正弦定理可知， 1sin sin cos sin 2
A C
B B =⋅+， 1sin()sin cos sin 2
B C C B B ∴+=⋅+， 即1sin cos sin 2
B C B = sin 0B ≠
1cos 2
C ∴=， 0C π<<，
3C π
∴=
（2）13sin 3324
ABC S ab C ab ===， 12ab ∴=
7a b +=
2222cos c a b ab C ∴=+-
2()3493613a b ab =+-=-=
13c ∴=
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
18.已知四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，且4PA PB ==，2AB =，
3BC =，O 为AB 的中点，点E 在AD 上，且13
AE AD =．
（1）证明：EC PE ⊥；
（2）在PB 上是否存在一点F ，使//OF 面PEC ，若存在，试确定点F 的位置．
【答案】（1）证明见解析（2）存在F 为PB 的三等分点(靠近点B )，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接,OE OC ，利用勾股定理可证明EC OE ⊥，由面PAB ⊥面ABCD 可得PO CE ⊥，可得CE ⊥面POE ，即可求证；
（2）取F 为PB 的三等分点(靠近点B )，N 为BC 的三等分点(靠近点B )，连接 ,OF NF ，可证明平面//
ONF 平面PEC ，即可得证
【详解】（1）连接,OE OC ,PO ，如图，
在四棱锥P ABCD -中，4PA PB ==，O 为AB 的中点，
PO AB ∴⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，
PO ∴⊥面ABCD ，
PO CE ∴⊥
在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，11,2,13AE AD DE AO BO =
==== 由勾股定理知222OE OA AE =+，解得2OE =，
222221310OC BO BC =+=+=,
22222228CE DE CD =+=+=,
222OE CE OC ∴+=,
EC OE ∴⊥
又EO PO O =，
CE ∴⊥面POE ,又PE ⊂平面POE ，
EC PE ∴⊥
（2）存在F 为PB 的三等分点(靠近点B ).
证明：取BC 的三等分点M (靠近点C ) ,连接AM , 如图
易知//AE MC ,AE MC =
∴四边形AECM 是平行四边形，
//AM EC ∴，
取BM 中点N ，连接ON ，
//ON AM ∴
//ON EC ∴
N 为BM 中点，∴ N 为BC 的三等分点(靠近点B )，
连接 ,OF NF ，
//NF PC ∴,
又,ON NF N EC PC C ⋂=⋂=，
∴平面//ONF 平面PEC ，又OF ⊂平面ONF
∴//OF 面PEC
【点睛】本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，考查了线面平行的探索性问题，考查线面平行的判定，考查逻辑思维能力及空间想象力，属于中档题.
19.近年来，我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的
新机遇，但是电子商务行业由于缺乏监管，服务质量有待提高．某部门为了对本地的电商行业进行有效监管，调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额（单位：万元），得到如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些？
（2）如果日销售额超过平均销售额，相应的电商即被评为优，根据统计数据估计两家电商一个月（按30天计算）被评为优的天数各是多少．
【答案】（1）甲更稳定（2）甲15天，乙12天
【解析】
【分析】 （1）由茎叶图数据分别计算均值、方差可得出结论；
（2）计算10天中甲、乙被评为优的频率，利用频率估计30天中甲、乙优的天数.
【详解】（1）105107113115119126128132134141=12210x +++++++++=
甲(万元)， 22222221(105122)(107122)(113122)(115-122)(119122)(126122)10
s ⎡=⨯-+-+-++-+-⎣甲 22(128122)(132122)+-+-+22(134122)(141122)131⎤-+-=⎦，
10711511711812312513213613914812610
x +++++++++=
=乙(万元) 22222221(107126)(115126)(117126)(118126)(123126)(125126)10s ⎡=⨯-+-+-+-+-+-⎣乙222(136126)(139126)(148126)142.6⎤+-+-+-=⎦
因为22s s <甲乙，
所以甲电商对这种产品的销售更稳定.
（2）由题中茎叶图可知，甲电商该类产品这10天的日销售额数据超过122万元的为126，128，132，134，141，共5天，即评为优的频率为50.510
=，由此可估计一个月30天甲被评为优的天数为0.53015⨯=天， 乙电商该类产品这10天的日销售额数据超过126万元的为132，136，139，148，共4天，即评为优的频率为.40410
=，由此可估计一个月30天乙被评为优的天数为0.43012⨯=天. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，平均值，方差，用频率估计总体，考查了运算能力，数据分析处理能力，属于中档题.
20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，过椭圆内点()1,0P -的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，C 为椭圆的左顶点，当直线l 过点()0,Q b 时，PQC △的面积为
2
b ． （1）求椭圆E 的方程；
（2）求证：当直线l 不过C 点时，ACB ∠为定值． 【答案】（1）22
3144
x y +=（2）证明见解析 【解析】
【分析】
（1）根据PQC △的面积为2
b 可求出a ，由离心率可求出
c ，即可写出椭圆方程； （2）设()1122(,),A x y B x y ，，:1l x my =-，联立方程，由韦达定理可求出1212,y y y y +，利用向量
()()11222,2,CA x y CB x y →→
=+=+，可证明90ACB ︒∠=.
【详解】（1）由题意可知111||(1)222
PQC S
CP b a b b =⋅=-⋅=， 2a ∴=
又c e a ==
3c ∴=， 22284433
b a
c ∴=-=-=， ∴所求椭圆的标准方程为223144
x y += （2）设()1122(,),A x y B x y ，，
由直线l 不过C 点可设:1l x my =-，
联立直线与椭圆方程22341
x y x my ⎧+=⎨=-⎩，可得：()223230m y my +--= 12122223,33m y y y y m m -∴+=
=++， ()()11222,2,CA x y CB x y →→=+=+，
()12121224CA CB x x x x y y →→
∴⋅=++++ ()()()121212112114my my my my y y =--+-+-++
()()2121211m y y m y y =++++
()22
2231
2133
m m m m -+=++++ 2231=03
m m --=++ CA CB ∴⊥
即90ACB ︒∠=为定值.
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积运算，考查了运算能力，属于难题.
21.已知函数()ln f x x x a =-+．
（1）求函数()f x 的最大值；
（2）若函数()f x 存在两个零点()1212,x x x x <，证明：122ln ln 0x x +<．
【答案】（1）最大值是(1)1f a =-+；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）求出导数，由导数确定单调性后可得最大值．
（2）由（1）知两个零点()1212,x x x x <，1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，零点间关系是
1122ln ln x x a x x a -+=-+，变形为2211ln x x x x -=，引入变量21x t x =，则1t >，1ln 1t x t =-，2ln 1
t t x t =-，要证的不等式等价变形为2
12
1x x <，33ln 1(1)t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >），为此引入新函数33()ln (1)g x t t t =--，利用导数研究函数的单调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．
【详解】（1）函数定义域是(0,)+∞，由题意11()1x f x x x
-='-=， 当01x <<时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减，
所以1x =时，()f x 取得唯一的极大值也是最大值(1)1f a =-+．
（2）由（1）(1)10f a =->，即1a >时，()f x 有两个零点12,x x ，（12x x <），则1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞， 由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=，得221211
ln ln ln x x x x x x ， 令21x t x =，则1t >，11ln tx x t -=，1ln 1
t x t =-， 122ln ln 0x x +<221212ln()001x x x x ⇔<⇔<<，2120x x >显然成立，
要证122ln ln 0x x +<，即证2121x x <，
只要证33ln 1(1)
t t t <-，即证33ln (1)t t t <-，（1t >）， 令33
()ln (1)g x t t t =--，(1)0g =，
322()ln 3ln 3(1)g t t t t '=+--，(1)0g '=，
令()()h t g t '=，则2223ln 6ln 3()6(1)[ln 2ln 22)t t h t t t t t t t t t
'=+--=+-+，(1)0h '=， 令22()ln 2ln 22m t t t t t =+-+，
22ln 22()42(ln 12)t m t t t t t t t t
'=+-+=+-+，(1)0m '=， 令2()ln 12n t t t t =+-+，
1()41n t t t
'=-+，0t >时，()n t '是减函数，所以1t >时，()(1)20n t n ''<=-<， 所以()n t 是减函数，()(1)0n t n <=，即()0m t '<（1t >），
所以()m t 是减函数，()(1)0m t m <=，所以()0h t '
<，()h t 在1t >时是减函数， ()(1)0h t h <=，即()0g t '<，所以()g t 在(1,)+∞上是减函数，()(1)0g t g <=，
所以33ln (1)0t t t --<，即33
ln (1)t t t <-，
综上，122ln ln 0x x +<成立．
【点睛】本题考查用导数求函数最值，用导数证明有关函数零点的不等式，掌握导数与单调性的关系是解题基础．证明不等式关键在于转化与化归，如转化为研究函数的最值，研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论．在需要引入新函数时，应对不等式进行变形，使新函数越来越简单． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22.已知圆C 的参数方程为33cos 13sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩
（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）求直线l 被圆C 截得弦的长．
【答案】（1）22(3)(1)9x y -++=，10x y +-=（2【解析】
【分析】
（1）利用消元法将参数方程化成普通方程，利用cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
结合两角差的余弦公式，即可得到答案；
（2）利用圆的弦长公式
【详解】（1）33cos 13sin x y αα
=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），∴22(3)(1)9x y -++=， ∴圆C 的普通方程22(3)(1)9x y -++=；
2cos 2(cos sin 422πρθρθθ⎛⎫-=⇒⋅+⋅= ⎪⎝
⎭ 又cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
代入上式得：10x y +-=. ∴直线l 的直角坐标方程10x y +-=.
（2）圆C 的圆心坐标为(3,1)-，设圆心到直线的距离为d ，
∴
2d ==，
∴弦长===【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、圆的弦长公式，考查运算求解能力.
【选修4-5：不等式选讲】
23.已知函数()|21||2|f x x x =-+-．
(1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；
(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．
【答案】(1) 17,
33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
(1)分绝对值中的正负去绝对值，将()f x 写成分段函数再求解()4f x <即可.
(2)根据(1)中()f x 的解析式求解()f x 的最小值，再根据恒成立问题的方法求解实数a 的值范围即可.
【详解】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤； 当122x <<时，14x +<恒成立，解得122
x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<
.综上有3137x -<<. 故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭； 当122x <<时，()332
f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为
32
. 故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<. 故实数a 的值范围为15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，同时也考查了求函数的最值求解恒成立的问题，需要分区间去绝对值，写成分段函数再求解.属于中档题.。