最小相位系统和非最小相位系统
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20
(rad / s)
G1
(Hale Waihona Puke Baidu)
0
90
G2
(rad / s)
180
5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统
• 定义：在幅频特性相同的系统中，相频变化最小的 那个系统称为最小相位系统。 • 结论：一个最小相位系统没有右半复平面的零极点， 也没有延迟环节。 • 应用：最小相位系统的传递函数可以由幅频唯一确 定。
5.3.2 幅角原理
• 幅角原理：设F(s)是从复数域C 到复数域C的一个函数。这两 个域分别称为s域和F域。 设是s平面的一条闭围线， 不含 F(s)的零极点。那么s顺 时针绕一圈，则F(s)是一条闭 围线，它绕原点的圈数N满足 N=Z-P， 其中Z和P分别是F(s) 在中的 零点和极点。
关于最小相位系统的计算
• 求传递函数。关键在于计算K。 • 基本规律: 1. 根据任何一个L(ω)可以求出K； 2. 在这个ω之后的转角对计算没有作用。
L(w)
K 2 K 1 20 log 20 log L 2 1
w1
w2 w
w3
w4
关于最小相位系统的计算 • 计算L(ω)：包括已知L求ω 和给出ω求L。 • 基本规律: 1. 先确定传递函数； 2. 在ω以后的转角频率对L(ω)没有影响。
Im
r=
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
3. • 乃氏路径的修正
Im
j
r=
幅角原理规定不能包含F(s)的零极 点，如果虚轴上有开环极点，那么我 们采用小的半圆去包围这样的极点， 如图。 4. 圈数的计算 开环频率特性要包含-1，必须在-1的 左面穿越虚轴，由下到上为正穿越， 由上到下为负穿越，起于-1左面负实 轴的为半穿越。 N等于穿越数的两倍。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.2 幅角原理
• 说明： 1. F(s)绕F()运动的方向和s绕 运动的方向一致。 2. 如果F()不包含原点，那么 N=0。 3. N只与零极点个数有关，与具 体位置无关。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
1. 乃氏路径 • 我们将右图所示的路径称为乃氏路 径，乃氏路径是一条闭围线。当 r=时，乃氏路径包围了整个右半 平面。 2. 乃氏稳定判据 • 如果将闭环的特征式F(s)看成映射， 那么当s沿着乃氏曲线运动的时候， F(s)包围原点的圈数N等于F(s)在右 半平面的零点个数减去极点个数。 即闭环不稳定极点个数Z减去开环 不稳定极点个数P。 N=Z-P, Z=N+P。
Re
-j
j
Im
r=
Re
-j
5.3.3 Nyquist稳定判据
2. 乃氏稳定判据 • 由于F(s)=1+G(s)H(s),因此F(s)包围原 j 点等于G(s)H(s), 包围-1点。 • 由于当r=时，圆弧退化成一点。事 实上乃氏曲线就是虚轴， G(s)H(s)就 是G(jw)H(jw)。 • 于是得到 ： 闭环不稳定极点个数=开环不稳定极 点个数+ G(jw)H(jw)顺时针绕-1点圈数。 -j
5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统
• 一个事实：两个不同的传递函数可以有相同的幅频 特性。例如
G1 ( s) 1 T2 s 1 T1s
G2 ( s) 1 T2 s 1 T1s
• 但是它们的相频变化的范围不同
L( ) dB
1
0
1 1 1 2 m T2 T1T2 T1
L(w) w1 w2 w w3 w4
什么地方的幅频为-10dB？
5.3 频域中的稳定性判据（Nyquist判据）
• Nyquist判据是用开环频率特性来判别闭环的稳定性（这 个事实与根轨迹相同）。 • 设开环传递函数是
P( s) G ( s) H ( s) Q( s)
那么闭环的特征式是
F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 P( s) P( s) Q( s) 闭环极点 Q( s ) Q( s ) 开环极点
(rad / s)
G1
(Hale Waihona Puke Baidu)
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G2
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5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统
• 定义：在幅频特性相同的系统中，相频变化最小的 那个系统称为最小相位系统。 • 结论：一个最小相位系统没有右半复平面的零极点， 也没有延迟环节。 • 应用：最小相位系统的传递函数可以由幅频唯一确 定。
5.3.2 幅角原理
• 幅角原理：设F(s)是从复数域C 到复数域C的一个函数。这两 个域分别称为s域和F域。 设是s平面的一条闭围线， 不含 F(s)的零极点。那么s顺 时针绕一圈，则F(s)是一条闭 围线，它绕原点的圈数N满足 N=Z-P， 其中Z和P分别是F(s) 在中的 零点和极点。
关于最小相位系统的计算
• 求传递函数。关键在于计算K。 • 基本规律: 1. 根据任何一个L(ω)可以求出K； 2. 在这个ω之后的转角对计算没有作用。
L(w)
K 2 K 1 20 log 20 log L 2 1
w1
w2 w
w3
w4
关于最小相位系统的计算 • 计算L(ω)：包括已知L求ω 和给出ω求L。 • 基本规律: 1. 先确定传递函数； 2. 在ω以后的转角频率对L(ω)没有影响。
Im
r=
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
3. • 乃氏路径的修正
Im
j
r=
幅角原理规定不能包含F(s)的零极 点，如果虚轴上有开环极点，那么我 们采用小的半圆去包围这样的极点， 如图。 4. 圈数的计算 开环频率特性要包含-1，必须在-1的 左面穿越虚轴，由下到上为正穿越， 由上到下为负穿越，起于-1左面负实 轴的为半穿越。 N等于穿越数的两倍。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.2 幅角原理
• 说明： 1. F(s)绕F()运动的方向和s绕 运动的方向一致。 2. 如果F()不包含原点，那么 N=0。 3. N只与零极点个数有关，与具 体位置无关。
Im
Re
Im F()
Re
5.3.3 Nyquist稳定判据
1. 乃氏路径 • 我们将右图所示的路径称为乃氏路 径，乃氏路径是一条闭围线。当 r=时，乃氏路径包围了整个右半 平面。 2. 乃氏稳定判据 • 如果将闭环的特征式F(s)看成映射， 那么当s沿着乃氏曲线运动的时候， F(s)包围原点的圈数N等于F(s)在右 半平面的零点个数减去极点个数。 即闭环不稳定极点个数Z减去开环 不稳定极点个数P。 N=Z-P, Z=N+P。
Re
-j
j
Im
r=
Re
-j
5.3.3 Nyquist稳定判据
2. 乃氏稳定判据 • 由于F(s)=1+G(s)H(s),因此F(s)包围原 j 点等于G(s)H(s), 包围-1点。 • 由于当r=时，圆弧退化成一点。事 实上乃氏曲线就是虚轴， G(s)H(s)就 是G(jw)H(jw)。 • 于是得到 ： 闭环不稳定极点个数=开环不稳定极 点个数+ G(jw)H(jw)顺时针绕-1点圈数。 -j
5.2.6 最小相位系统和非最小相位系统
• 一个事实：两个不同的传递函数可以有相同的幅频 特性。例如
G1 ( s) 1 T2 s 1 T1s
G2 ( s) 1 T2 s 1 T1s
• 但是它们的相频变化的范围不同
L( ) dB
1
0
1 1 1 2 m T2 T1T2 T1
L(w) w1 w2 w w3 w4
什么地方的幅频为-10dB？
5.3 频域中的稳定性判据（Nyquist判据）
• Nyquist判据是用开环频率特性来判别闭环的稳定性（这 个事实与根轨迹相同）。 • 设开环传递函数是
P( s) G ( s) H ( s) Q( s)
那么闭环的特征式是
F ( s) 1 G( s) H ( s) 1 P( s) P( s) Q( s) 闭环极点 Q( s ) Q( s ) 开环极点