(完整版)第五讲格点与割补

正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题．通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题．

1．如图6-1，每一个小方格的面积都是l平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?

【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L

2

-1)×单位正方形面

积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：（4+7

2

-1)×1=6.5(平方厘米)

方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5，

②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米．

2．如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?

【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．

有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．

方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米)．

3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?

【分析与解】 如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置．

设整个七巧板组成的正方形的边长为1，显然整幅图形的面积为1，且有第2块的面

积为12×12×12=18．

有3S =4S ，2S =5S =7S =23S ，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为1

2

，所以4S =IGFB S 长方形，

7S =18

．

所以第2块板的面积等于整幅图面积的1

8

，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积

的116+18=316．

4．把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?

【分析与解】 方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形．

120块小正三角形的面积为1，所以每块为1

120

，那么原来的正三角形由81块小正三

角形组成，其面积显然为27 40

．

方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种，设A形正三角形面积

为“1”，则B、C两种正三角形的面积依次为“1

9

”、“

1

81

”．

在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1，3，12，所以图6-5中图形的

面积为1+3×1

9

+12×

1

81

=

40

27

．所以有“1”对应

27

40

，而原来的正三角形即为三角形A，所

以原来的正三角形的面积为27 40

.

5．如图6-6，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P 是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?

【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形．

正六边形ABCDEF的面积为6，所以每个小正三角形的面积为6÷24=1

4

，所以三角形MNP

的面积为9×1

4

=2.25(平方厘米)．

6．把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?

【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5，所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米)．

而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米)．

7．图6-9是5×5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么所围图形的面积是多少平方厘米?

【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.

为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小．