4_透镜的傅里叶变换性质

xi
f
x0
yi
f
y0 dx0dy0
这是标准的傅里叶变换
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
19
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.3物体放置在透镜后一定距离处的求解
Ul'
Uf
U0
d’
U0' t(x0,y0)
d
f
若照明光场为：
U0 ( x0, y0 )
Af d
exp
jk 2d
( x02
y02 )
透镜前任意距 将物看做是谱，物面到镜头前的空间传递函数是可以知道
离处
的，两者相乘是透镜前的谱函数即:F(U1)， F(U1)X位相弯曲因子因子即是U1在焦平面的傅里叶变换
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
13
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.1 透镜傅里叶变换新分析方法
物面（x0,,y0）
透镜（,）
像面（xi,yi）
Uo
do
Ul
Ul’
di
Ui
位置
分析方法
透镜前任意距离处 两次菲涅尔衍射，再简化成后焦面的两次菲涅尔衍射 当前面距离=f时，简化为2f系统
物体紧靠透镜前后 后焦面的两次菲涅尔衍射的中d0=0的情况的求解
物体在透镜后一定 经过透镜后任意距离处照明物面上的光波仍是会聚的
距离
球面波的求解，其会聚点在焦面上
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
6
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
L(x,y)
Ul
Ul
Ul
Q
Q
(x,y) 0
Q (x,y)
Ul Q 0
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
透镜孔径内 其他
F f
透镜透光范围
tl (x, y)
exp
j
k 2f
(x2
y2 ) P(x, y)
透镜位相调制
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
11
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.0 高斯函数的傅里叶变换
F (e ) e e dx e dx ax2
ax2 j 2 fx
d0
xi
di
)
( y0
d0
yi
di
)
d
d
=
j 2d0di
exp
j
k 2di
( xi2
yi2
)
U0(x
0,
y0 ) exp
j
k 2d0
( x02
y02
)
exp
j
(
x0
d0
xi
di
)2
( y0
d0
yi
di
)2
dx0dy0
j 2d0di
exp
j
k 2di
(1
di
yi2 )
U0
(
x
0,
y0
)
exp
j2
xi
f
x0
yi
f
y0 dx0dy0
U0 (x0,y0) Ul
1 1 11 d0 di f d0,di f
Ul'
Uf (xf,yf)
考虑d0=f 特殊情况？ 有何结论？有何用？
t(x0,y0)
d0
f
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
18
二、透镜的傅里叶变换推导
–
2.2、物紧贴透镜d0=0处的傅里叶变换结果
di
f ，1
1 d0
1 di
1 f
1 =
d0
Ui ( xi ,
yi )
j 2d0di
exp
j
k 2di
(1
di
)( xi2
yi2
)
U 0 ( x
0,
y0
)
exp
j
k 2d0
(1
d0
)( x02
y02
)
)( xi2
yi2
)
exp(
j
/
2)
U 0 ( x
0,
y0 ) exp
j
k 2d0
(1
d0
)( x02
y02
)
exp
j2
xi
d0di
/
x0
yi
d0di
/
y0
dx0dy0
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
17
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.2、物在透镜前d0处的傅里叶变换结果
a
(
x
2
2
j f a
x
j f a
2
a
j f a
2
=e e dx 2 f 2 a
ax
j f a
2
2 f 2
e a
= a
eu2 du
2 f 2
ea a
当a
当a j
xy型时
F (e x2 ) e f 2
F
(e
j
x2
)
e
Fra Baidu bibliotek
j 4
e
j f 2
F (e j ( x2 +y2 ) ) je ( 2 +2 )
U i(xi,yi )
1 j di
exp(jkdi )exp j
k 2di
(xi2
y
2 i
)
.
U l'(,)
exp j
k 2di
(
2
2) exp j
2 di
(
xi
yi ) d d
两次衍射展开
Ui(xi,yi )
1 2d 0di
exp j
k 2di
(xi2
y
2 i
)
U 0(x 0,y 0)P(,)
x2 1
di d0 f
y2
)
ti (x, y)
exp
j
k 2f
(x2
y
2
)
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
5
透镜的光波变换性质
– 1.2、透镜对于入射波前的作用：结论 透镜对光波具有变换作用，这种变换作用满足透镜的成像公式。
11 1 di d0 f
ti (x, y) exp
P
P`
d0
d1
透镜的变换作用
透镜前入射光波
U1 ( x,
y)
A exp(
jkd0
)
exp
j
k 2d0
(x2
y
2
)
透镜后出射光波
tl
(x,
y)
U l( x, Ul (x,
y) y)
exp[
j
U '1 (x, y) Aexp(
k 2
(x2
y2
)
1 d1
1 d0
jkdi ]
)
exp j
1
k( 12di
则显然可以证明：U0’到焦平面为傅里叶变换关系
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
20
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.3物体在透镜后一定距离处照明光场证明 透镜后光场
Ul ( ,)
1
jd
'
exp(
jkd
') exp
j
k 2d
'
( x02
y02
)
.
exp
j
k 2f
(x2
y
2
)
在d’距离 处分布
透镜的傅里叶变换
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
– 1.2、透镜对入射波前的作用：无穷远光场
Lens introduces a path length difference, or PHASE SHIFT.
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
4
透镜的光波变换性质
– 1.2、透镜对于入射波前的作用：有限距光场
U1(x,y)
U11(x,y)
R12 (x2 y2 ) ] 01 R1 1
1
(
x
2
R12
y
2
)
2 ( x, y) 02 [-R2
R22 ( x2 y2 ) ] 02 +R2 1
1
(
x2
R22
y
2
)
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
8
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
exp j
k 2d
0
(x
2 0
y
2 0
)
exp
j
2 d 0
(x
0
y
0)
dx
dy
0
0
tl( , )
P(,)exp j
k 2f
( 2
2)
U l'(,) U l(,)tl(,)
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第五章 光学成像系统
15
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.1、物在透镜前任意位置的两次菲涅尔衍射推导
第二次菲涅尔衍射
exp j
k(1
2
d 0
1 di
1 f
)(
2
2) exp j
k 2d 0
(x
2 0
y
2 0
)
exp j
2 d 0
(x 0
y 0 )
exp j
2 di
(
xi
yi ) dx0dy0d d
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第五章 光学成像系统
16
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.1、物在透镜前任意位置的两次菲涅尔衍射推导
(x, y) 1(x, y) 2(x, y)
01 02 R1 1
1
x2 y2 R12
+R2
1
1
x2 y2 R22
1
x2 y2 R12
1
x2 y2
R
2 2
1 1
x x
2 y2
2R12
2 y2
2R
2 2
( x,
y)
0
(x2
2
y2)
1 R1
1 R2
ti (x,
y)
exp(
jkn0 ) exp
jk(n 1)
x2
2
y2
1 R1
1 R2
1 f
(n
1)
1 R1
1 R2
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
(x,y)
x2 y2
1(x,y) R1
2(x,y) -R2
(x,y)
x2 y2
R12 ( x2 y2 )
01 (x, y) 1(x, y) 2(x, y)
R22 ( x2 y2 )
02
1(x, y) 01 [R1
exp
j2
xi
d0di
/
x0
yi
d0di
/
y0
dx0dy0
=
1
j f
exp
j
k 2f
(1
d0 f
)(
xi2
yi2 )
U0
(
x
0,
y0
)
exp
j2
xi
f
x0
yi
f
y0 dx0dy0
=
1
j f
exp
j
k 2f
( xi2
yi2 )
U0
(
x
0,
y0
)
exp
j2
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
ul (x,
y) tl (x,
y)
exp
j
k 2f
(x2
y2 )
表示一会聚平面波
F f
正透镜
F
f f<0
负透镜
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
10
透镜的光波变换性质
– 1.4、透镜孔径对复振幅透过率的影响
1 P(x,y) 0
jk 2f
(x2
y2 )
当入射光波为平面光波时，变换以后光波的会聚点便是透镜的焦点。
di f
1.正透镜可产生会聚光波，因此我们有理由相信，利用正透镜可 以实现任意物体的富里叶变换。但准确的FT还需具体地由光学 系统的参数决定。
2.利用透镜可以实现准确的富里叶变换，如果再进行一次FT， 则可得到原物体的镜像。所以利用透镜可以实现任意物体的成 像现像。
假定
Ui ( xi , yi )
1 1
1d0
2d0di
1 di
exp
1
f
j
k 2d
i
( xi2
exp(i
yi2
)
x2) exp(i / 4) exp(i 2)
U0(x
0,
y0 ) exp
j
k 2d0
( x02
y02
)
dx0dy0
exp
j
2 2
(
)
exp
j2
(
x0
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第四章 透镜的傅里叶变换性质
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二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.1、物在透镜前任意位置的两次菲涅尔衍射推导
第一次菲涅尔衍射
物面（x0,,y0）
透镜（,）
像面（xi,yi）
Uo
do
Ul
Ul’
di
Ui
Ul(,)
1 j d0
exp(jkd0)exp j
k 2d
0
(
2
2) .
U 0(x0,y 0)
Ui ( xi ,
yi )
j 2d0di
exp
j
k 2di
(1
di
)( xi2
yi2
)
U 0 ( x
0,
y0
)
exp
j
k 2d0
(1
d0
)( x02
y02
)
exp
j2
xi
d0di
/
x0
yi
d0di
/
y0
dx0dy0
=
1
j f
exp
jk 2f
(1
d0 f
)(
xi2
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
12
二、透镜的傅里叶变换推导
– 2.0 透镜傅里叶变换传统分析方法
U0 (x0,y0) Ul
Ul'
Uf (xf,yf)
t(x0,y0)
d0
f
位置
分析方法
物体紧靠透镜 会聚球面波照明下的菲涅尔衍射即是入射场的FT 前后
物体在透镜后 经过透镜后任意距离处照明物面上的光波仍是会聚的球面 一定距离处 波，其会聚点在焦面上
透镜成像公式
透镜的焦距计算
2015/4/2
(n'n)C1 (n n')C2
n'(C1 C2 ) n(C1 C2 ) (n' n)(C1 C2 ) (n' 1)(C1 C2 )
Lens Maker's Equation n 1(in air)
第四章 透镜的傅里叶变换性质
3
一、透镜的光波变换性质
exp
j
k 2d
'
(x2
y
2
)
exp
j2
( x0
d
'
x
y0
d
'
y) dxdy
1
jd
'
exp(
jkd
') exp
j
k 2d
'
( x02
y02 )
exp
j ( 1 d
'
1
f
)( x2
y
2