解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用
矩阵合同的定义
矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用
解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。
矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。
本文先阐述了三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体体现三种关系的差别与应用。
关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同引言随着技术的发展，矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。
本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。
一、矩阵的三种关系1）矩阵的等价关系定义：两个S ×n 矩阵A ，B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件：（1）矩阵A 与B 为同型矩阵，不要求是方阵；（2）存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。
性质：（1）反身性：即A ≌A ；（2）对称性：若A ≌B ，则B ≌A ；（3）传递性：即若A ≌B ，B ≌C 则A ≌C ；2）矩阵的合同关系定义：设A ，B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ，使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵（若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同引言在线性代数中，矩阵是一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究矩阵时，我们经常会遇到矩阵相似和矩阵合同这两个概念。
本文将介绍矩阵相似和矩阵合同的定义、性质和应用。
矩阵相似矩阵相似是一种关系，用来描述两个矩阵之间的某种变换关系。
两个矩阵相似，意味着它们可以通过一个相似变换相互转化。
具体来说，对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B相似。
相似关系具有以下性质：1.相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.相似矩阵具有相同的特征值。
3.相似矩阵具有相同的秩、行列式、迹等性质。
矩阵相似在实际应用中具有重要意义。
例如，在线性代数中，我们经常需要对矩阵进行对角化处理，而矩阵相似关系可以帮助我们找到相似矩阵来简化计算。
矩阵合同矩阵合同是另一种矩阵之间的关系。
与矩阵相似不同，矩阵合同是通过正交变换来定义的。
对于给定的两个n阶矩阵A和B，如果存在一个正交矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B合同。
合同关系具有以下性质：1.合同关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性成立。
2.合同矩阵具有相同的正惯性指数和负惯性指数。
矩阵合同在实际应用中也具有重要意义。
例如，在数值计算中，我们经常需要将矩阵进行对称化处理，而矩阵合同关系可以帮助我们找到合同矩阵来简化计算。
相似与合同的关系矩阵相似和矩阵合同之间存在着一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵相似，则它们一定是合同的。
这是因为如果矩阵A和B相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们可以取正交矩阵Q等于P-1，则有QTAQ = B，即A和B是合同的。
然而，矩阵合同并不一定意味着矩阵相似。
换句话说，合同关系是相似关系的一个子集。
这是因为矩阵相似要求相似变换是可逆的，而矩阵合同要求正交变换是可逆的。
正交矩阵是一类特殊的矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵，因此正交变换一定是可逆的。
矩阵的等价,相似 合同的关系及应用
目录摘要 (1)1引言 (2)2矩阵间的三种关系 (2)2.1 矩阵的等价关系................................................................... 错误!未定义书签。
2.2 矩阵的合同关系 (3)2.3. 矩阵的相似关系 (3)3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 (4)3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别 (4)3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5)3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5)4矩阵的等价、合同和相似的应用 (6)4.1矩阵等价的应用 (7)4.2矩阵相似的应用 (9)4.3矩阵合同的应用 (9)4.4三种关系在概率统计中的应用 (10)5结论 (12)结束语 (12)参考文献 (13)摘 要:本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。
并且详细说明了三者的相同点和不同点。
关键字：矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用1.引言高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？2.矩阵的三种关系2.1矩阵的等价关系定义2.1.1 : 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使得B PAQ =矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使B PAQ =. 2.1.2矩阵等价的性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅.（3）传递性：若A B ≅，B C ≅，则A C ≅. (4)A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ）(5)设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000rE PAQ .(6)(Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ0*1其中nλλ,,1 为矩阵A 的特征值.定理2.2.1： 若A 为m n ⨯矩阵，并且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭，其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论2.2.1：设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.2.2 矩阵的合同关系定义2.2.1 ：设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,TP AP B =2.2.2矩阵合同的性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. (4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5) 在数域P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. (6) 矩阵合同与数域有关.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等. 定理2.2.1 ：数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理2.2.1 ：复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++2.3. 矩阵的相似关系定义2.3.1 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）. 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件 (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-12.3.2相似矩阵的性质 (1)反身性 : TA E AE = ;(2)对称性 :由TB C AC =即得()11TA CBC --=;（3）传递性: 111T A C AC =和2212TA C A C =即得 ()()21212TA C C A C C(4)11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）；(5）1111212()()()PA A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）； (7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式； 即：如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似； 设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理 定理2.3.1 相似矩阵的特征值相同. 推论2.3.1 相似矩阵有相同的迹3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别3.1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别定理3.1.1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价但对于矩阵100010A ⎛⎫=⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理定理 3.1.2：对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(A 与B 等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111PAP B -=,则矩阵,A B 也相似． 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别定理3.2.1：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2得，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =， 若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价但对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．什么时候等价矩阵是合同的？只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵3.3 矩阵的合同与相似之间的关系与区别合同矩阵未必是相似矩阵例 单位矩阵 E 与 2E.两个矩阵的正负惯性指数相同故合同但作为实对称矩阵的特征值不同, 故不相似 相似矩阵未必合同例如A 与B 相似，则存在可逆矩阵P 使B=P\BP,如果P 的逆矩阵与P 的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵定理3.3.1： 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，同时有1T B P AP P AP -==，所以A 与B 合同.同理可知，若存在一个正交矩阵P ，使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒定理3.3.2：如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同． 证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21，由于A 与n 阶实对称矩阵，一定存在一个n 阶正交矩阵Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同时，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211，从而有BP P AQ Q 11--=将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B由于TQ Q E =，T P P E =，1P P E -=有()()()()1111111TTTT QPQP P Q QP P EP PP E -------====，所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理知A 与B 相似．定理3.3.3：若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同．证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U=A ，有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，由合同矩阵的定义知AB 与BA 既相似又合同．定理3.3.4：若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00 既相似又合同．证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，则存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==，令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似． 又因为A 与B 合同，C 与D 合同，故存在可逆矩阵12,Q Q ，122,T TQ AQ B Q CQ D ==，令1200Q Q Q ⎛⎫=⎪⎝⎭而1200TT T Q Q Q ⎛⎫=⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T TB Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同．4.矩阵的等价、合同和相似在实际问题中的应用4.1矩阵等价的应用例4.4.1试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组0m n A X ⨯=的一种解法． 解 设A 的秩等于r ，存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使000rE PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，于是线性方程组0AX =可化为110000rE P Q X --⎛⎫= ⎪⎝⎭，记121n y y Y Q X y -⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭：，则原方程组等价于 120000r n y y E y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 即120r y y y ====．令()121,,,,,,r r n Q q q q q q +=，容易验证12,,,r r n q q q ++都是0AX =的解，从而它们构成0AX =的一基础解系． □下面是具体的操作过程． 首先构造矩阵()n m n nA B E +⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后对矩阵B 作如下的初等变换：对A （即B 的前m 行）作初等的行变换， 对B 作初等的列变换，则经过有限次上述的初等变换后，B 可变为000r n E A B E Q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时Q 的后n r -个列向量构成0AX =的一基础解系．试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组m n A X b ⨯=的一种解法．解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到．首先构造矩阵()()10nm n n A b B E +⨯+⎛⎫=⎪⎝⎭， 然后对矩阵B 作如下形式的初等变换： 对B 的前m 行(),A b 作行的初等变换，对B 的前n 列n A E ⎛⎫⎪⎝⎭作列的初等变换， 则经过有限次上述变换后，B 可变为00000r nE Ab b B E Q ⎛⎫'⎛⎫ ⎪=→⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，记11r r m b b b b b +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()121,,,,,,r r n Q q q q q q +=，此时可得如下的结论：AX b =有解当且仅当120r r m b b b ++====；当120r r m b b b ++====时，1122r r b q b q b q +++是AX b =的一个特解，12,,,r r n q q q ++是AX b =所对应的齐次线性方程组0AX =的一基础解系．试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法．解 设A 是个n 阶可逆阵，A 的秩等于n ，存在可逆阵P 和Q ，使PAQ E =，11A P Q --=，进而1AQP -=．这给出了求逆矩阵的一种方法．首先构造矩阵220n nA EB E ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭， 然后对B 进行如下形式的初等变换： 对B 的前n 行(),A E 进行初等的行变换，对B 的前n 列A E ⎛⎫⎪⎝⎭进行初等的列变换， 则经过有限次上述变换后，B 可变为00A E E P B E Q ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此求得1AQP -=．4.2矩阵相似的应用例4.2.1判断矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ ， 320210111C ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦是否相似？ 解： 对A ，C 的特征矩阵E A λ-，E C λ-分别作初等变换可得：E A λ-=12613114λλλ+-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→210001000(1)λλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦E C λ-=320210111λλλ--⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→210001000(1)λλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以A ，C 有相同的初等因子1λ-，2(1)λ-，所以A ，C 相似.4.3矩阵合同的应用例4.3.1设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121211A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211C 。
考研数学：令人头大的相似、合同、等价
考研数学：令人头大的相似、合同、等价摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。
接下来一起看看三者的纠缠吧。
关于矩阵的相似、合同、等价的关系总结起来就是一句话相似必合同，合同必等价（反之，则不一定）...........背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。
分割线卡通一、等价的定义两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ矩阵等价的性质(1)反身性:即A~=A(2)对称性:若A~=B，则B~=A.(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)(5)设A为m*n矩阵，r(A)合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵(6)合同矩阵的秩相等三、相似的定义设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B矩阵相似的性质(1)反身性:即A~A(2)对称性:若A~B，则B~A.(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB(6)若矩阵A、B相似，则A(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
浅谈矩阵的等价、合同与相似之间的关系
1 、引 言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍 ，对矩阵的应用学习有一定的帮助.2、矩阵的等价，相似，合同2.1矩阵的等价2.1.1矩阵等价的定义：矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是，如果有两个m ×n 阶矩阵A 和B ，而且这两个矩阵满足B=QAP ，其中P 是n ×n 阶可逆矩阵，Q 是m ×m 阶可逆矩阵，那么这两个矩阵是等价的。
即，矩阵A 经过有限次的初等变换得到矩阵B2.1.2初等变换（1）换法变换：对调矩阵的两行（列），得初等矩阵E(i,j).用m 阶初等矩阵),mj i E （左乘nm ij a A ⨯=)(，相等于对矩阵A 实行第一种矩阵初等行变换，把A 的第i 行与第j 行对调，记作（r r j i ↔）类似的，用n 阶初等矩阵()j i E n ,右乘矩阵n m ij a ⨯=）（A ，相当于都矩阵A 实行第一种矩阵初等列变换，把A 的第i 列与第j 列对调，记作)c c j i ↔（ （2）倍法变换：以数K ≠0乘某一行（列）中的全部元素，得初等矩阵))((K i E 。
用））（（K i m E 左乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 行，记作（K r i ⨯）。
用））（（K i nE 右乘矩阵A ，相当于以数K 乘A 的第i 列，记作（K ⨯c i ）。
（3）消法变换： 以数K 乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵））（（K E ij ，以））（（K E ij m 左乘矩阵A ，相当于把A 的第j 行乘以K 加到第i 行上，记作（r r j i K +）。
以））（（K E ij n右乘矩阵A ，相当于把A 的第i 列乘以K 加到第j 列上，记作（c c i j K +）。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析(可编辑)
矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析（可编辑）矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化的理论与应用分析学院:数学与信息科学学院专业:数学与应用数学摘要:矩阵的等价、合同、相似与正交相似对角化是对矩阵的研究有很大的意义,而且也是解题的重要工具.利用它们的性质可以帮助我们解决许多的问题.关键词:矩阵等价;矩阵合同;矩阵相似;矩阵的逆The Theory And Application Analysis Of TheEquivalence,Congruence,Similarity And Orthogonal Similarity Diagonalization Of MatrixAbstract: The equivalence, congruence, similarity and orthogonal similarity diagonalization of matrices is important to the study of Matrix, and is also an important tool of problem-solving. Use the properties of them can help us solve many problems.Key words: equivalence of matrices; congruence of matrices; similarity of matrices; inverse of a matrix0前言本文从矩阵等价、合同、相似与正交相似对角化的定义、性质出发来探求判断两个矩阵的等价、合同、相似,并应用这些知识解决一些问题.并对它们之间的关系进行了简单的探索.并在结尾简单的给出了合相似与合对角化的定义.1矩阵的等价1.1定义1 矩阵与称为等价的,如果可以由经过一系列初等变换得到.1.2矩阵等价的性质反身性:,对称性:若,则,传递性:若,,则.例1 用初等变换将下列矩阵化为标准型,解1.3 矩阵等价的判断1.3.1 利用定义:如果可以由经过一系列初等变换得到,则称矩阵与称为等价的.1.3.2 、等价的充分必要条件是有初等矩阵,,使得1.4 矩阵等价的应用矩阵的等价在线性代数中具有重要的作用,而且也是解题的重要工具。
矩阵的等价,规定合同,相似的联系与区别
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
等价、相似、合同的关系
矩阵等价、相似与合同的区别与联系等价、相似与合同是矩阵的三大变换.应了解其定义，关系及有关性険.1）定义及相互之间的关系设川，舟是曲X并矩璋.若花 S阶可逆矩阵卩和用阶可逆矩阵0,使得PAQ=B t则称£与j?等价，记为A=B■设〃是科谕方阵，若存在用阶可龙矩阵尸，使^P-i AP = Bf则称Z 与苏祸似，记为A -肌若存在闯阶可湮矩阵P使猱戸AP= E贝U称』与舟合同-记为4R ;若存总艸阶正交矩阵0 使得Q l AQ= Q^AQ= B则称M与E正交相f以.由定文可知其关系*如下图所示*2）性质（1）等价、相似与合同都具有反身性、对称性及传递性，即A - At At A a A （反身性）；若A", A~ R,则丹=』，E- A A｛对称性）；若』卷R,若A", K〜C则貝〜C；若, B^C则/ = C（传递性）•（2） A = E O A 与耳司型＞且rank A = rank S・若rank 4 = F *则（£A= r，称旨者为矩阵』的等价标准形O O⑶rank A= rank B ? det A - det B J A与E的释3E 澄7冃司“注听给閔都是必要条件，即由rank A= rank B?或det A = dctB ,或J4与必的特征值相同不能筆知』〜J!.但若/与J?都可对兔址，旦特花值相同，则4- J?.（3）用正交相似变换可将/化简成Q J AQ=Q-l AQ^对实对称矩阵/的这三种变换，一个比一个特殊，一个比一个限毛:更多，各有其优诀点•总的来说则为：限制越少则化简后的形式越简单，但变换后丢掉原矩阵的性质就越多.如（1）的形式量简单.但变换后只保留了秩不变：（2）的形式虽然比（1）稍复杂.叵变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变；（3）的形式又更复杂一点，但变换后保留秩不变，对称性不变，正、负惯性指数不变，特征值不变.。
2019年矩阵的合同与相似-优秀word范文 (18页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==矩阵的合同与相似篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别201X09113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。
2、矩阵等价的充要条件：A?B?{A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP=B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B=P-1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A-1~B-1(前提，A,B均可逆)|λE-A|=|λE-B|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~B?r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B?(λE-A)?(λE-B)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A=(λ1,λ2, ,λn)，B=(β1,β2, ,βm)1、若向量组（β1,β2, ,βm）是向量组（λ1,λ2, ,λn）的极大线性无关组,则有m≤n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
矩阵等价相似合同
矩阵等价相似合同引言矩阵是现代数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
当我们研究矩阵时，经常会遇到矩阵的等价和相似这两个概念。
本文将介绍矩阵等价和矩阵相似的定义、性质以及它们在实际应用中的意义。
矩阵等价矩阵等价是指两个矩阵具有相同的秩、行列式以及特征值。
具体来说，对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们就称矩阵A和B是等价的。
矩阵等价的主要性质包括：•矩阵等价是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。
•矩阵等价保持了矩阵的很多重要性质，比如秩、行列式和特征值等。
矩阵等价在线性代数中有着广泛的应用。
比如，当我们求解线性方程组时，我们可以通过矩阵等价的变换来简化计算。
此外，在图论、网络分析等领域中，矩阵等价也有着重要的应用。
矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值和Jordan标准型。
具体来说，对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP = B，那么我们称矩阵A和B是相似的。
矩阵相似的主要性质包括：•矩阵相似是一种等价关系，即它具有自反性、对称性和传递性。
•相似矩阵具有相同的特征值和Jordan标准型，因此它们在矩阵的特征值分析和对角化方面具有重要意义。
矩阵相似在线性代数和数值计算中有着广泛的应用。
比如，在求解微分方程、特征值问题和矩阵对角化等领域，矩阵相似都扮演着重要的角色。
矩阵等价与矩阵相似的关系矩阵等价和矩阵相似在定义上有些相似，但它们之间存在一些细微的差别。
具体来说，矩阵等价关注的是矩阵的秩、行列式和特征值，而矩阵相似关注的是特征值和Jordan标准型。
简单来说，矩阵等价更侧重于矩阵的代数性质，而矩阵相似更侧重于矩阵的几何性质。
然而，矩阵等价和矩阵相似之间存在一定的联系。
具体来说，如果两个矩阵是相似的，那么它们一定是等价的，但反之不一定成立。
这是因为相似矩阵具有相同的特征值和Jordan标准型，而等价矩阵只需要具有相同的秩、行列式和特征值。
矩阵的等价,合同,相似的联系与区别
目录摘要 (I)引言 (1)1矩阵间的三种关系 (1)1.1 矩阵的等价关系 (1)1.2 矩阵的合同关系 (1)1.3. 矩阵的相似关系 (2)2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (3)3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 (5)结束语 (6)参考文献 (6)摘要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件引言：在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.1矩阵间的三种关系1.1 矩阵的等价关系定义1 两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.性质1（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅定理1 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000r m nI PAQ B ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. 推论1 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =.1.2 矩阵的合同关系定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵.(2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =性质2（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：22212r f y y y =++ 1.3. 矩阵的相似关系定义3 设,A B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1,则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似，必须同时具备两个条件(1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1性质3(1)反身性 T A E AE = ;(2)对称性 由T B C AC =即得()11T A C BC --=;（3）传递性 111T A C AC =和2212T A C AC =即得 ()()21212T A C C A C C总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.(4) 11111221122()P k A k A P k P A P k P A P ---+=+（其中12,k k 是任意常数）； (5）1111212()()()P A A P P A P P A P ---=；(6）若A 与B 相似，则m A 与m B 相似（m 为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果1B P AP -=为满秩矩阵，那么11111()B P AP P A P -----==.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果1B P AP -=，则有：11B P AP P A P A --===(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设1B P AP -=，若B 可逆，则11111()B P AP PA P -----==从而A 可逆.且1B -与1A -相似.若B 不可逆，则1()P AP -不可逆，即A 也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理定理4 相似矩阵的特征值相同.推论3 相似矩阵有相同的迹.2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系（1） 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 相似，由定义3知存在n 阶可逆矩阵1P ，使得111P AP B -=，此时若记11P P -=,1Q P = ,则有PAQ B =,因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来，对于矩阵100010A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,121010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不相似，即等价矩阵未必相似．定理 6 对于n 阶方阵,A B ，若存在n 阶可逆矩阵,P Q 使PAQ B =,(即A 与B等价)，且PQ E = (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似．证明： 设对于n 阶方阵A 与B ,若存在n 阶可逆矩阵,P Q ,使PAQ B =,即A 与B 等价．又知PQ E =,若记11P P -= ,那么1Q P =,也即111P AP B -=,则矩阵,A B 也相似．定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．证明： 设n 阶方阵,A B 合同，由定义2有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得11TP AP B =，若记1TP P =,1Q P =,则有PAQ B =因此由定义1得到n 阶方阵,A B 等价反过来对于矩阵1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．证明：若存在一个正交矩阵P ,即T P P E =使得1P AP B -=即~A B ，则有1T B P AP P AP -==，即A 与B 合同.同理，若存在一个正交矩阵P ，即T P P E =使得T P AP B =即A 与B 合同，则有1~T B P AP P AP A B -==⇒由此可得1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A 与B 既相似又合同．证明：设A 与B 的特征根均为n λλλ ,,21因为A 与n 阶实对称矩阵，则一定存在一个n 阶正交矩阵 Q 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n AQ Q λλλ..211同理，一定能找到一个正交矩阵P 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n BP P λλλ..211从而有BP P AQ Q 11--= 将上式两边左乘P 和右乘1-P ,得()()()1111111-------===QP A QP QP AQP PQ B 由于T Q Q E =,T P P E =,1P P E -=有()()()()1111111T T T T QP QP P Q QP P EP PP E -------====,所以，1-P Q 是正交矩阵，由定理8知A 与B 相似．定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明：不妨设A 是正交矩阵，则A 可逆，取U A =,有()()111U ABU A ABA A A BA BA ---===，则AB 与BA 相似，又知A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同．定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00 既相似又合同． 证明: 因为A 与B ,C 与D 相似，故存在可逆矩阵1P ,2P ，使111122,P AP B P CP D --==,令1200P P P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则1111200P P P ---⎛⎫= ⎪⎝⎭且10000A B P P C D -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00相似． 又因为A 与B 合同，C 与D 合同,故存在可逆矩阵12,Q Q , 122,T T Q AQ B Q CQ D ==令1200Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭而1200T T T Q Q Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭11112222000000000000T T T T T Q Q A A Q Q A Q Q Q Q C C Q Q C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000T T B Q AQ D Q CQ ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00合同． 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别1、矩阵等价：a.同型矩阵而言b.一般与初等变换有关c.秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等2、矩阵相似：a.针对方阵而言b.秩相等是必要条件c.本质是二者有相等的不变因子3、矩阵合同：a.针对方阵而言，一般是对称矩阵b.秩相等是必需条件c.本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关系最弱、合同与相似是特殊的等价关系.由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立.相似与合同不可互推，需要一定的条件.而且等价是经过有限次初等变换变得；相似不一定会都与对角阵相似，相似矩阵可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；合同可以通过二次型的非退化的线性替换来理解.结束语：矩阵中的这三种关系，在高等代数中是至关重要的，他们既包含着联系，又蕴涵着差别.相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵也不一定是合同矩阵；相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致；秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量，特征值是可对角化矩阵相似的不变量，正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量.参考文献：[1]张禾瑞.高等代数[M].北京：高等教育出版社,1983.[2]姚慕生.高等代数学[M].复旦：复旦大学出版社,1999.[3]北大数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1988 .[4]李志惠，李永明.高等代数中的典型问题与方法[M].北京：科学出版社，2006.[5]同济大学教研室. 线性代数[M].北京：高等教育出版社.，2001.[6]阎家灏.线性代数[M].重庆：重庆大学出版社.，1994.。
矩阵之间的三个关系总结
矩阵之间的三个关系总结
来源：文都教育
相信在学习《线性代数》的过程中，同学们和我一样都对矩阵之间的三个关系印象深刻，但又因为这三个关系之间类似的表现形式让人欢喜让人忧，等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵每每出现都要经历一番头脑风暴。
为了在考试中不再因此带来困扰，本文将这三种关系列出，理清每种关系的特征，使同学们再也不用担心碰到三种关系时不知所措。
以上总结了等价矩阵、相似矩阵和合同矩阵的定义和一些性质，在具体的题目中往往会将其结合起来进行考查，因此掌握他们的本质特征至关重要。
通过比较记忆再结合一些有针对性的习题，相信与这部分内容有关的题目可以迎刃而解。
矩阵的合同与相似及其等价条件讲解
矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念1.1矩阵等价的定义[1]定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2]定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B .1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C .性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （21,k k 是任意常数）性质1.5 ))(()(2111211P A P P A P P A A P ---=.性质1.6 若矩阵A 与矩阵B 相似，则m A 与m B 相似. （m 为正整数） 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P m m m11--==，故可以得到m A 与相m B 相似.性质1.7 如果矩阵A 、B 都是满秩，则A ～B ，那么1-B ～1-A . 证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，那么()P A P B AP P 11111-----==，故可以得到1-B ～1-A .性质1.8 如果矩阵A ～B ，那么B A =.证明 存在一个可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，又因为B AP P =-1，11=-P P ，故可以得到B A =.性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明 设AP P B 1-=，若矩阵B 可逆，()P A P AP P B 11111-----==，从而1-B 和1-A 也相似.若B 不可逆，则AP P 1-不可逆，即A 也不可逆.性质1.10 相似矩阵有相同的特征值.证明 设AP P B 1-=，AP P EP P B E 11---=-λλ ()PA E P -=-λ1A E -=λ故矩阵A 的特征值与矩阵B 有相同的特征值.性质1.11 相似矩阵有相同的迹.证明 可以设矩阵A 与矩阵B 相似，那么存在一个可逆矩阵P ,使得B AP P =-1，()()AP P t B t r r 1-=()PA P t r 1-= ()A t r =例1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3002A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2003B ，求分别求矩阵A 、B 的特征多项式，特征值秩,迹，行列式，矩阵A 与B 是否相似，它们之间有什么关系？解 从已知可知63002==A ，,2)(=A Rank 5)(=A t r 对于A 的特征多项式3002--=-λλλA E )3)(2(--=λλ 故A 的特征值为2和3.对于矩阵B ,62003==B ，,2)(=B Rank 5)(=B t r 矩阵B 的特征多项式)3)(2(23--=--=λλλλB .故矩阵B 的特征值是2和3.存在一个可逆矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P 使得B AP P =-1，从定义矩阵B 与矩阵A 相似. 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4].例2 设实数域上的3级实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=124242421A ，对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=400050005B .求矩阵A 、B 的特征值，特征多项式并且矩阵A 与矩阵B 相似吗？如果相似求出可逆矩阵P .解 由矩阵A 的特征多项式为11020242421124242421-+---=---λλλλλλλ1242421---=λλλ )4()5(2+-=λλ 故矩阵A 的特征值为5和—4.容易知道矩阵B 的特征多项式和矩阵A 的相同，故矩阵B 的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=325310315152552325154551P 验证得到B AP P =-1，那么矩阵A 与矩阵B 相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2]定义1.5 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶可逆矩阵C ，使得B AC C T =，则称A 与B 合同，记作B A ≅.n 阶矩阵的合同关系具有下列性质：⑴ 反身性: 即任一n 级矩阵与自身合同. ⑵ 对称性: 即如A 与B 合同，则B 与A 合同. ⑶ 传递性: A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同. ⑷ 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ⑸ 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵.⑹ 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等.2. 合同矩阵与相似矩阵的关系2.1 矩阵的相似与合同的相同点[5].⑴ 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性；合同关系也具有反身性、对称性、传递性.⑵ 相似 、合同矩阵均有相同的秩.若矩阵A 相似与矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =，若矩阵A 合同于矩阵B ，则)()(B Rank A Rank =.可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同.⑶ 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵.若矩阵A 于矩阵B 相似，则要求A 、B 都是方阵；若A 合同与B ，则要求A 、B 都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2 矩阵的相似与合同的不同点[5].矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A ～B ，则B A =，A 与B 有相同的特征值.但若A ≅B ，那么A 与B 的行列式的值不一定相等；A 与B 也不一定有相同的特征值.例1 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32455032454513145252T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001B , 不难验证：B AT T T =，有B A ≅.我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T 为正交矩阵，故A ～B ，矩阵A 的行列式可以等于B 的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况.例2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3221A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12441B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001C . 经过验证可以知道1-=A ，4-=B ，然而B AC C T =，B A ≠，可以得到矩阵A 合同于B ，但是行列式可以不等.我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A ～B ，则有可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，于是111()E B E P AP P E P P AP λλλ----=-=-=1()P E A P λ--=E A λ-故特征值相同.然而对于矩阵A 合同与矩阵B ，但是它们的特征值不一定相同:例3 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121211A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10211C 不难验证B AC C T =,即B A ≅，但是A 的特征值为21和23，B 的特征值为1和43显然，矩阵的相似与矩阵的合同是不同的概念. 2.3 矩阵等价、合同与相似的联系[7].结论2.1 相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.证明 设n 级矩阵A 、B 相似，从定义知道存在n 阶矩阵P ，使得B AP P =-1，从等价的定义B A ≅.反过来，对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010121B ，A 与B 等价，但是A 与B 并不相似.结论2.2 合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵未必是合同矩阵.证明 设n 阶方阵B A ,合同，由定义1.5有，存在n 阶可逆矩阵1P ，使得B AP P T =1，若记11,P Q P P T== ,则有B PAQ =因此由定义1.3得到n 阶方阵B A ,等价.反过来对于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021B 等价，但是A 与B 并不合同，即等价矩阵未必合同．2.4矩阵合同与相似的关系[7]结论2.3 如果M 与N 都是n 级对称矩阵，且有相同的特征值，则M 与N 既合同又相似.证明 设M 、N 的特征值均为1λ 、2λ、 n λ，因为M 与N 都是n 级实对称矩阵，则一定存在n 阶正交矩阵P ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n MP P λλ 11同理，可以找到一个正交矩阵Q ，使得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n NQ Q λλ 11从上面两式有：NQ Q MP P 11--=将上式两边分别左乘Q 和又乘1-Q ，得：MPQ QP N 1`-= ()()11`1---=PQ M PQ由于 E QQ E PP T T ==, 故 T PQ 可逆，又由于：（1111)()()T TPQ PQ PQ Q P ----=T T QP PQ =E =所以1-PQ 是正交矩阵故M ～N N M ≅,结论2.4 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同． 证明 不妨A 是正交矩阵,则A 可逆取,A P =, 有()()BA BA A A ABA A ABP P ===---111，则AB 与BA 相似， 又A 是正交阵，所以AB 与BA 既相似又合同.结论2.5 若A ～B ,且B A ≅，C ～D 且D C ≅，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00，⎪⎪⎭⎫⎝⎛≅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 0000证明 从已知，C ～B , C ～D ，故存在可逆矩阵1P ，2P 使得BAP P =-111D CP P =-212令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210P P P 则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1211100P P P且 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21211110000CP P AP P P C A P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D B 00故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00～⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00又因为D C B A ≅≅，，，故存在可逆矩阵1T ，2T ，使得 1122,T TT AT B T CT D ==令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100T T T则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T TTT T T 2100 然而 112200000000T TT T A A T T T T C C T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11220000TT T T T T ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11220000T TBT AT D T CT ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00≅⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 003 相似矩阵的应用3.1 相似矩阵的简单应用[8]在矩阵m A 的求解过程中，很难得到它的值，然而可以找到与矩阵A 相似的简单的矩阵，可把矩阵化简为对角矩阵，使得BP P A 1-=，其中P 为可逆矩阵,B 对角矩阵，可知矩阵A 与矩阵B 相似，那么()P B P BPP A m mm 11--==，从而可以使得不宜求的矩阵简单化。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）≅（12,,,m βββ）则有矩阵A,B同型且()()~,,r A r B A B A B A B =⇒≅r()()A r B A B =⇒≅。
3、若r()()A B A r B ≅⇒=⇒两向量组秩相同，⇐两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ≅≠>≅综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
【精编范文】矩阵的合同与相似-范文word版 (18页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==矩阵的合同与相似篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别201X09113 李娟娟一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。
2、矩阵等价的充要条件：A?B?{A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP=B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B=P-1AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：AT~BT,Ak~Bk,A-1~B-1(前提，A,B均可逆)|λE-A|=|λE-B|即A,B有相同的特征值（反之不成立）A~B?r(A)=r(B)tr(A)=tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B?(λE-A)?(λE-B)二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A=(λ1,λ2, ,λn)，B=(β1,β2, ,βm)1、若向量组（β1,β2, ,βm）是向量组（λ1,λ2, ,λn）的极大线性无关组,则有m≤n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
矩阵及其等价、合同、相似之间的联系及应用
矩阵及其等价、合同、相似之间的联系及应用a. 矩阵的定义及类型① 矩阵是一种数学工具，用于表示和操作数据。
② 矩阵分为实数矩阵、复数矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
③ 矩阵在工程、物理、经济等领域有广泛应用。
b. 矩阵等价的概念及性质① 矩阵等价是指两个矩阵在某种变换下可以相互表示。
② 矩阵等价具有传递性、对称性、反身性等性质。
③ 矩阵等价在求解线性方程组、矩阵分解等方面有重要作用。
c. 矩阵合同的概念及性质① 矩阵合同是指两个矩阵在某种变换下可以相互表示。
② 矩阵合同具有传递性、对称性、反身性等性质。
③ 矩阵合同在求解线性方程组、矩阵分解等方面有重要作用。
第二条矩阵相似及其性质a. 矩阵相似的定义及性质① 矩阵相似是指两个矩阵在某种变换下可以相互表示。
② 矩阵相似具有传递性、对称性、反身性等性质。
③ 矩阵相似在求解线性方程组、矩阵分解等方面有重要作用。
b. 矩阵相似与合同的关系① 矩阵相似是矩阵合同的一种特殊情况。
② 矩阵合同和相似在数学上有密切联系。
③ 矩阵相似和合同在求解线性方程组、矩阵分解等方面有重要作用。
c. 矩阵相似的应用① 矩阵相似在求解线性方程组、矩阵分解等方面有重要作用。
② 矩阵相似在数值计算、优化算法等方面有广泛应用。
③ 矩阵相似在理论研究和实际应用中具有重要意义。
第三条矩阵及其等价、合同、相似之间的应用a. 矩阵在工程领域的应用① 矩阵在结构分析、电路分析、信号处理等领域有广泛应用。
② 矩阵在工程优化、控制理论等方面有重要作用。
③ 矩阵在工程设计和实际应用中具有重要意义。
b. 矩阵在物理领域的应用① 矩阵在量子力学、电磁学、热力学等领域有广泛应用。
② 矩阵在物理实验、理论研究和实际应用中具有重要意义。
③ 矩阵在物理领域的应用推动了科学技术的发展。
c. 矩阵在其他领域的应用① 矩阵在经济学、金融学、统计学等领域有广泛应用。
② 矩阵在数据分析、预测、决策等方面有重要作用。
③ 矩阵在其他领域的应用为人类社会发展提供了有力支持。
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解析矩阵间的等价、相似、合同变换关系及其应用摘要：等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有具足轻重的地位。
矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系。
本文先阐述了三种关系相关的定义、定理，并进行比较得出三种关系间的区别，结合实例具体体现三种关系的差别与应用。
关键词：矩阵的等价、矩阵的相似、矩阵的合同引言随着技术的发展，矩阵在实际生产中发挥着越来越明显的作用，尤其是矩阵所具有的特点以及特有的变化方式，受到各行的重视。
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系。
本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致，还有矩阵的相似与合同之等价条件，并给出例子加以说明。
一、矩阵的三种关系1）矩阵的等价关系定义：两个S ×n 矩阵A ，B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备两个条件：（1）矩阵A 与B 为同型矩阵，不要求是方阵；（2）存在存在可逆的s 阶矩阵P 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B =PAQ 。
性质：（1）反身性：即A ≌A ；（2）对称性：若A ≌B ，则B ≌A ；（3）传递性：即若A ≌B ，B ≌C 则A ≌C ；2）矩阵的合同关系定义：设A ，B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆方阵P ，使得B AP P ='则称矩阵A 与B 为合同矩阵（若若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件：（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。
（2）存在数域p 上的n 阶矩阵P ，B AP P ='。
性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同。
（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同。
（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同。
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得，合同矩阵的秩相等。
3）矩阵的相似关系定义：设A ，B 均为数域p 上n 阶方阵，若存在数域p 上n 阶可逆矩阵p 使得B AP P =-1，则称矩阵A 与B 为相似矩阵（若n 级可逆矩阵p 为正交阵，则称A 与B 为正交相似矩阵）。
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A 与B 相似必须同时具备两个条件：（1）矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵。
（2）在数域p 上n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1。
性质：（1）反身性：A AE E T =；（2）对称性：由AC C B T =即得()11--=BC C A T ；（3）传递性：111AC C A T =和222AC C A T =即得()()21212C C A C C A T=。
总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的。
（4）()P A P k P A P k P A k A k P 21211122111---+=+（其中错误！未找到引用源。
，2k 是任意常数)；（5）()()()P A P P A P P A A P 2111211---=；（6）若A 与B 相似，则m A 错误！未找到引用源。
与m B 相似（m 为正整数）；（7）相似矩阵有相同的秩，而且如果错误！未找到引用源。
B AP P =-1为满秩矩阵，那么()P A P AP P B 11111-----==。
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似。
（8）相似的矩阵有相同的行列式。
（9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似。
设B AP P =-1，若B 可逆，则()P A P AP P B 11111-----==，从而A 可逆，且1-B 与1-A 相似，若B 不可逆，则()AP P 1-不可逆，即A 也不可逆。
除了他们各自定义所决定的性质外，这三种关系还具备着各自特定的性质，以及三种关系彼此间的联系。
二、相关定理由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系。
定理1 若A 为m ×n 矩阵，且r (A )=r ，则一定存在可逆矩阵P (m 阶)和Q（n 阶)， 使得B I PAQ nm r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯000，其中错误！未找到引用源。
为r 阶单位矩阵。
推论1 设A ，B 是两m ×n 矩阵，则A ≌B 当且仅当r (A )=r (B ）。
定理2 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同。
定理3 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：2232221r y y y y f ++++=定理4 相似矩阵的特征值相同。
推论2 相似矩阵有相同的迹。
以上为三种关系各自的特点，以下是阐述三种关系彼此间的联系的定理。
定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵。
定理6 对于n 阶方阵A ，B ，若存在n 阶可逆矩阵P ，Q ，使PAQ =B (即A 与B 等价)，且PQ =E (E 为n 阶单位矩阵)，则A 与B 相似。
定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵。
定理8 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵。
但相似矩阵与合同矩阵有着一定的内在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系，另外，在一定条件下，两者是等价的，若矩阵A 与B 正交相似，则它们既是相似也是合同的，对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理：定理9 如果A 与B 都是n 阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A 与B 既相似又合同。
定理10 若n 阶矩阵A 与B 中只要有一个正交矩阵，则AB 与BA 相似且合同。
定理11 若A 与B 相似且又合同，C 与D 相似也合同，则有错误！未找到引用源。
与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B 00既相似又合同。
通过以上的介绍，对于矩阵的三种关系有了一定的了解，一下再将这三种关系做对比，从而进一步了解矩阵最重要的这三种关系。
三、矩阵的等价、相似、合同之间的联系与差别1、矩阵等价A 、同型矩阵而言；B 、一般与初等变换有关；C 、秩是矩阵等价的不变量，其次，两同型矩阵相似的本质是秩相等。
2、矩阵相似A 、针对方阵而言；B 、秩相等是必要条件；C 、本质是二者有相等的不变因子。
3、矩阵合同A 、针对方阵而言，一般是对称矩阵；B 、秩相等是必需条件；C 、本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同。
通过上述的横向对比可知，等价关系是三种关系中条件最弱的。
合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。
相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵式相似的，那一定是合同的。
具体的差别就体现在相似与合同之间，相似矩阵用的比较多的性质是相似矩阵有相同的秩，相同的行列式，相同的特征值等。
合同矩阵用的比较多的性质是合同矩阵有相同的秩，与对称矩阵合同的矩阵只能是对称矩阵，与实对称矩阵合同的矩阵除了有相同的秩，还要有相同的正惯性指数等。
具体点儿说就是：（1）秩是矩阵等价的不变量；不变因子是相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量；正负惯性指数是对称矩阵合同的不变量。
（2）对于实对称矩阵，特征值是相似的不变量，秩和正惯性指数（秩等于非零特征值的数目，正惯性指数等于正特征值的数目）是合同的不变量，因此实对称矩阵相似则一定合同。
但是一般情况下，相似不一定合同，合同也不一定相似，两者不能互推。
（3）A ,B 相似不一定A ，B 都与对角阵相似，因此A 不能与对角阵相似时，并不意味着A 不能与某一矩阵B 相似。
（4）等价是经过有限次初等变换A 可变为B ，相似矩阵可看作同一线性变化在不同基下的矩阵；合同可通过二次型的非退化线性替换来理解。
只是通过文字描述并不能很好的体现它们之间的关系，下面用几个例子来说明下：例1 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121211A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211C 。
不难验证：B AC C T =即矩阵A ，B 合同，但A 的特征值为21和23；B 的特征值为 1和43。
相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即两者都是等价关系。
两者都具有反身性、对称性和传递性，且相似或合同的两矩阵分别有相同的秩。
另外，在一定条件下，两者是等价的。
若矩阵A ，B 正交相似时，则它们既是相似的又是合同的。
本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。
例2 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400040004A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400140014A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200022022A 。
试判断A ，B ，C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同？解 矩阵A 的秩和矩阵B ,C 的秩不等，则A 不可能与B ，C 相似或合同，只有讨论B ， C 了；A 的秩为3，而B ，C 的秩为2，故A 和B ，C 既不相似又不合同，又B 的迹是8，而C 的迹是6，不相等，故B 和C 不相似，最后，C 是对称矩阵，而B 不是，所以，B 和C 也不合同。
所以，矩阵A ，B ，C 相互之间既不相似又不合同。
这个例子阐述了三种关系的判别方法，以及它们之间的差别。
对于矩阵的三种关系，在实际生产中也得到了广泛的应用，下面仅举一例来说明下：例3 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率60%，能否预测n 年后该产品市场占有状况？解：设第i 年购买该公司产品的客户为i x ，不购买该公司产品的客户为i y ，则有i i i y x x 25,06.01+=+，写成矩阵的形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++i i i i y x y x 75.04.025.06.011，其中，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4.06.000y x ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i i y x U ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=75.04.025.06.0P ，则有01PU U =，022U P U =，……，0U P U n n =，由()()35.01--=-λλλP E 得P 的特征值1λ=1，2λ=0.35，分别解()=-x P E λ0，i =1,2，得到相应的特征向量为()T 8,51=α，()T 1,12-=α，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1815T ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-58111311T ，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-35.00011PT T ，则135.0001-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4.06.0581135.00011815131n n U ，当n =5时，计算5U ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛641.0385.0。